2026年高二暑假数学复习回顾、查漏补缺专项练习- 利用向量法求解空间角、距离

**基本信息** 以标准化流程为核心，通过五类几何体载体系统提炼空间向量法建系技巧，强化空间观念与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |墙角模型|第1题|公共顶点为原点，三条棱为坐标轴|从基础垂直模型构建坐标体系| |面面垂直组合体|第2题|交线为轴，面面垂直性质定竖轴|垂直关系向复杂载体迁移| |常规棱柱/棱锥|第3-4题|底面特殊角用三角函数算坐标|结合平面几何特征拓展应用| |旋转体|第5题|底面圆心为原点，直径为坐标轴|融合圆的坐标特征与母线关系| |折叠类|第6题|区分折叠前后不变量与垂直关系|动态空间中提炼建系条件|

高二暑假复习回顾、查漏补缺- 利用向量法求解空间角、距离解析 1.如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，．求： (1)直线OB与平面ABC所成角的正弦值;(2)平面ABC与平面BOC所成角的余弦值； (3)点O到平面ABC的距离． 解:以为原点，以为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ，则，，，则，，， 若是平面ABC的一个法向量，则，令，则， （1）设直线OB与平面ABC所成的角为 所以， 故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为. （2）平面BOC的一个法向量是，所以， 故平面ABC与平面BOC所成角的余弦值是. (3) ，平面ABC的一个法向量是， 所以点O到平面ABC的距离是． 2.如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线AB与直线CD所成角的余弦值； （2）直线AD与平面BCD所成角的正弦值； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值； （4）点C到平面ABD的距离． 解:设，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，， ， ， （1）， 所以， 所以直线AB与直线CD所成角的余弦值是； （2） ，显然为平面BCD的一个法向量， 设直线AD与平面BCD所成的角为， 所以， 所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值是； （3）设平面ABD的法向量为则 所以，即，令，则，，则 所以 因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为． （4），平面ABD的一个法向量是 所以点C到平面ABD的距离是． 3. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值． （1）证明1：连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=B1C． 又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D． 由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND， 因此四边形MNDE为平行四边形，故MN∥ED． 又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． 证明2：连结，由已知可得为等边三角形，所以，从而， 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，所以 ，所以，即MN∥ED， 又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）解：，A1(2,0,4)，，，， ，，． 设为平面A1MA的法向量，则， 所以可取 设为平面A1MN的法向量，则 所以可取 于是， 所以二面角的正弦值为 4.在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． （1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故， 故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）解：在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 5.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O 的直径，FB是圆台的一条母线. （1）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB=AC=，AB=BC. 求二面角的余弦值. （1）证明：设的中点为,连接, 在,因为是的中点，所以 又所以又 在中，因为是的中点，所以， 又,所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）解：连接,则平面， 又且是圆的直径，所以 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，过点作于点， 所以可得 故. 设是平面的一个法向量. 由 因为平面ABC的一个法向量是 所以 由图可知，二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值是 6.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以 为折痕把 折起，使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值. (1)证明：由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF， 又,所以BF⊥平面PEF. 又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)解：作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 由 (1)可得，DE⊥PE. 又DP=2，DE=1， 所以PE=. 又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得. 则 平面ABFD的一个法向量是 设DP与平面ABFD所成角为，则， 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假复习回顾、查漏补缺- 利用向量法求解空间角、距离解析 空间向量法求解步骤： “建系→写坐标→求向量→代公式计算 / 证明” 的标准化流程 1.如图，在三棱锥中，OA，OB，OC两两垂直，．求： (1)直线OB与平面ABC所成角的正弦值;(2)平面ABC与平面BOC所成角的余弦值； (3)点O到平面ABC的距离． 2.如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线AB与直线CD所成角的余弦值； （2）直线AD与平面BCD所成角的正弦值； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值； （4）点C到平面ABD的距离． 3. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 4.在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 5.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O 的直径，FB是圆台的一条母线. （1）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（2）已知EF=FB=AC=，AB=BC. 求二面角的余弦值. 6.如图，四边形为正方形，分别为的中点，以 为折痕把 折起，使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值. 上述题型依托不同几何体载体考查，对应不同的建系技巧： 1.墙角模型（两两垂直型） 代表：第 1 题三棱锥（OA,OB,OC 两两垂直） 特点：直接以公共顶点为原点，三条棱为坐标轴建系，坐标书写最简单，是基础模型。 2.面面垂直组合体 代表：第 2 题（两个三角形所在平面互相垂直） 建系技巧：以两平面交线为坐标轴，利用面面垂直性质确定竖轴方向。 3.常规棱柱 / 棱锥 代表：第 3 题直四棱柱（菱形底面）、第 4 题四棱锥（正方形底面） 特点：底面含特殊角度（60°、90°），需用三角函数计算底面点坐标，是最常见的考查载体。 4.旋转体（圆台） 代表：第 5 题圆台 建系技巧：以底面圆心为原点，直径为坐标轴，结合圆的坐标特征和母线长度计算点坐标。 5.折叠类立体几何 代表：第 6 题（正方形折叠） 解题关键：区分折叠前后 “不变的长度 / 垂直关系” 和 “变化的空间位置”，折叠后优先找垂直关系建系。 学科网（北京）股份有限公司 $