暑假作业20 随机变量及其概率分布、正态分布（巩固培优,5知识10题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦随机变量及分布体系，从离散到连续层层递进，通过典型问题培养数学抽象与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |离散型随机变量|2典例|分布列构建与应用|从定义到分布列、均值方差，形成概念-性质-应用链条| |常见分布|超几何/两点/二项各2题|实际情境中分布判断与数字特征计算|对比二项与超几何分布差异，强化模型意识| |正态分布|5题型题|性质应用、3σ原则及综合问题|从密度函数到曲线特征，结合实际数据处理，发展数据分析能力|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业20 随机变量及其概率分布、正态分布 【知识点1 离散型随机变量】 1.随机变量的概念、表示及特征: 离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 定 义 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为 ． 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值xi的概率为的概率分布列，简称分布列． 性 质 (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是 ． (1) (2). 2. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 … … … … 则称为随机变量X的 ． 3. 离散型随机变量的方差： 设离散型随机变量X的分布列如表所示． … … … … 我们称为随机变量X的 . 【知识点2 超几何分布】 1.定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从 ． 2.均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 【知识点3 两点分布】 1.定义：如果随机变量X只取值 ，且其概率分布是，则称随机变量X服从两点分布，记作X～B(1，p)．两点分布又称0 ­ 1分布． 2.性质：若随机变量服从两点分布,则,.  【知识点4 二项分布】 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为 ． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 【知识点5 正态分布】 1 正态分布的概念： 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为 . 2 正态分布的期望与方差： 若，则 3 正态曲线的性质： ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. ⑥ 曲线的形状由确定，如图②. 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越 ； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越 ． 4正态分布的意义： 若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积. 5 原则： 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 【题型1 离散型随机变量的分布列】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 2．（25-26高三下·月考）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 【题型2 离散型随机变量的均值】 1．（25-26高二上·江西宜春·期末）赣正如火如荼地举行中，宜春队2名队员在某次训练时，推出的球车中装有个篮球，其中个是新的，个是旧的.进行两次取球使用：每次从球车中任取个球来用，用完后放回球车中（新球用完后变为旧球）.设第一次取出的新球数为，第二次取出的新球数为.设最终球车中旧球数为. (1)求的概率； (2)已知最终球车中旧球数为，求第一次取出的新球数不超过的概率； (3)求的分布列和数学期望. 2．（25-26高二上·江西南昌·期末）甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立． (1)求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； (2)求甲、乙最终平局的概率； (3)记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望． 【题型3 离散型随机变量的方差】 1.（25-26高三上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 2.（25-26高二下·全国·课后作业）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为________，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为________． 【题型4 两点分布】 1.（2026·浙江·期末）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 2.（2026·江西南昌·一模）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有 ． 【题型5 二项分布】 1.（多选）（2026·浙江·一模）随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·甘肃·模拟预测）某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【题型6 超几何分布】 1.（2026·浙江衢州·一模）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高三上·江西鹰潭·月考）为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【题型7 正态分布的概念与性质】 1.（2026·吉林长春·模拟预测）对两地国企员工的上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中地员工的上班迟到时间为 (单位: )，，对应的曲线为地员工的上班迟到时间为(单位: )， )，对应的曲线为，则下列图象正确的是 ( ) A. B.C. D. 2.(多选)（2026·浙江金华·一模）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位: )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 . 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出的分布密度曲线如图所示. 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是 ( ) A. 坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B. 若小明早上 7:50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C. 若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D. 若小明早上 出发，则应选择坐公交车 【题型8 利用正态曲线的对称性求参数】 1.（2026·四川成都·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2.（2026·天津·高考真题）随机变量服从正态分布，，，则（    ） A． B． C．1 D． 【题型9 正态分布的3σ原则】 1.（2026·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（   ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 2.（2026·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（   ） （参考数据：若，有，，） A．580 B．480 C．380 D．280 【题型10 正态分布与其他知识综合】 1.（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 2.（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 1．（2026高三·江西抚州·一模）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 2．（2026高三·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·月考）为庆祝神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，某中学举办了一次“航天知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题作答，若某选手先随机抽取2道题，再在剩下的5道题中随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 5．（25-26高三·全国·一模）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高三·广东清远·月考）已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高三·河南南阳·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高三·辽宁朝阳·期末）现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（2026高三·全国·月考）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则（    ） A．的所有可能取值为1，2，3 B． C． D． 10．(多选)（2026福建福州高三期中）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为（），有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为 C．函数在上单调递增 D． 11．（2026高三·浙江宁波·一模）一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 12．（2026高三·辽宁鞍山·二模）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 13．（2026高三·天津南开·月考）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 14． （2025·上海黄浦·一模）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． (1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； (2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； (3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 1.（2026高三·江西南昌·期末）某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（    ） （附：，，） A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名 2．（2026高三·江西萍乡·期末）有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______. 3．（2026·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 4.（2026·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业20 随机变量及其概率分布、正态分布 【知识点1 离散型随机变量】 1.随机变量的概念、表示及特征: 离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 定 义 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量． 一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值xi的概率为的概率分布列，简称分布列． 性 质 (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． (1) (2). 2. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 … … … … 则称为随机变量X的均值或数学期望． 3. 离散型随机变量的方差： 设离散型随机变量X的分布列如表所示． … … … … 我们称为随机变量X的方差 【知识点2 超几何分布】 1.定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 2.均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 【知识点3 两点分布】 1.定义：如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是，则称随机变量X服从两点分布，记作X～B(1，p)．两点分布又称0 ­ 1分布． 2.性质：若随机变量服从两点分布,则,.  【知识点4 二项分布】 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 【知识点5 正态分布】 1 正态分布的概念： 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态分布的期望与方差： 若，则 3 正态曲线的性质： ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； 当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. ⑥ 曲线的形状由确定，如图②. 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 4正态分布的意义： 若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积. 5 原则： 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 【题型1 离散型随机变量的分布列】 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． (1)求张同学至少取到1道乙类题的概率； (2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设事件：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为， 所以． （2）所有可能的取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 2．（25-26高三下·月考）若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分的分布列． 【答案】(1)125，135，145，235，245，345． (2)答案见解析 【详解】（1）个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345． （2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为， 随机变量可能的取值为. ，，． 所以的分布列为 0 1 【题型2 离散型随机变量的均值】 1．（25-26高二上·江西宜春·期末）赣正如火如荼地举行中，宜春队2名队员在某次训练时，推出的球车中装有个篮球，其中个是新的，个是旧的.进行两次取球使用：每次从球车中任取个球来用，用完后放回球车中（新球用完后变为旧球）.设第一次取出的新球数为，第二次取出的新球数为.设最终球车中旧球数为. (1)求的概率； (2)已知最终球车中旧球数为，求第一次取出的新球数不超过的概率； (3)求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）从球车中任取2个球的试验有个基本事件，的事件有个基本事件， 所以. （2）由最终球车中旧球数为4，得，则， ，， ，， 因此， 所以第一次取出的新球数不超过1的概率为. （3）最终球车中旧球数为，的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下： 2 3 4 5 6 P 数学期望. 2．（25-26高二上·江西南昌·期末）甲、乙进行足球点球比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各射门一次，若轮比赛结束后，两人的进球数相差2，则停止比赛，进球数多的获胜；若4轮比赛后，两人的进球数相差小于2也停止比赛，进球数多的获胜，进球数相同则平局．甲、乙射门的命中率分别为0.5和0.8.每轮点球比赛的结果相互独立． (1)求1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率； (2)求甲、乙最终平局的概率； (3)记甲、乙一共进行了轮比赛，求的分布列及期望． 【答案】(1)0.5 (2)0.1889 (3)分布列见解析，3.49 【详解】（1）记1轮点球比赛后，两人的进球数相同的概率为， 由两人的进球数相同可以是或， 则. （2）记一轮点球比赛后，甲比乙多进一个球的概率为，甲比乙少进一个球的概率为，． 因为甲、乙最终平局，所以甲、乙一定进行了4轮比赛，分三种情况： ①4轮比赛中，每轮比赛甲、乙的进球数均相同，其概率为． ②4轮比赛中，有2轮比赛甲、乙的进球数相同，有1轮比赛甲比乙多进一个球，有1轮比赛甲比乙少进一个球，其概率为． ③4轮比赛中，有2轮比赛甲比乙多进一个球，有2轮比赛甲比乙少进一个球，且前2轮比赛中甲或乙没有连续2轮比对方多进一个球，其概率为0.0064. 故甲、乙两人最终平局的概率为. （3）的所有可能取值为2，3，4． ， ， . 的分布列为 2 3 4 0.17 0.17 0.66 . 【题型3 离散型随机变量的方差】 1.（25-26高三上·上海普陀·期末）为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，， 【详解】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 2.（25-26高二下·全国·课后作业）一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．若采取放回抽样方式，从中摸出两个球，则两球恰好颜色不同的概率为________，若采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，则摸出白球的个数的方差为________． 【答案】 【详解】“有放回摸取”，每次摸出一球是白球的概率为． 所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为． “不放回抽取”时，设摸出白球的个数为， 依题意得，，． 所以， ． 【题型4 两点分布】 1.（2026·浙江·期末）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布． 【答案】分布列见解析 【详解】由题意知，， 故随机变量的概率分布列如下表所示： 0 1 2.（2026·江西南昌·一模）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论中： ①； ②； ③； ④. 正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以， 故， 因此，， ， 所以正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【题型5 二项分布】 1.（多选）（2026·浙江·一模）随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 2.（2026·甘肃·模拟预测）某大学为提升学生就业竞争力，免费提供数据分析与新媒体运营两项技能培训.每位学生可选择参加其中一项､两项或不参加.已知参加过数据分析培训的有，参加过新媒体运营培训的有，假设每位学生对培训项目的选择相互独立，且彼此选择互不影响. (1)任选1名学生，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名学生，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1)0.8 (2)分布列见解析，2.4 【详解】（1）任选1名学生，记“该人参加过数据分析”为事件，“该人参加过新媒体运营”为事件， 由题意可知，事件与相互独立，，则， 任选1名学生，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名学生，该人参加过培训的概率. （2）由题意结合（1）可知，3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 的期望. 【题型6 超几何分布】 1.（2026·浙江衢州·一模）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，. 则，， ， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：. 2.（25-26高三上·江西鹰潭·月考）为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为， ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， ∴方差. 【题型7 正态分布的概念与性质】 1.（2026·吉林长春·模拟预测）对两地国企员工的上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中地员工的上班迟到时间为 (单位: )，，对应的曲线为地员工的上班迟到时间为(单位: )， )，对应的曲线为，则下列图象正确的是 ( ) A. B.C. D. 【答案】B 【解析】 由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除 ； 由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除 . 故选: B. 2.(多选)（2026·浙江金华·一模）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位: )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 . 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出的分布密度曲线如图所示. 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是 ( ) A. 坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B. 若小明早上 7:50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C. 若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D. 若小明早上 出发，则应选择坐公交车 【答案】BCD 【解析】 坐公交车所花时间的均值为: ， 方差为 ，故错误； 根据题意，可以得到， 7:50 之后出发，并选择坐公交车，有 以上的可能性会超过 ，即8 点之后到校，会迟到，故正确； 由题中图可知，，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具. 小明早上 出发，有 可用，则应选择骑自行车，故正确； 小明早上 出发，只有 可用，则应选择坐公交车，故正确. 故选： . 【题型8 利用正态曲线的对称性求参数】 1.（2026·四川成都·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，. 故选：B. 2.（2026·天津·高考真题）随机变量服从正态分布，，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由对称性可知， 故. 故选：A 【题型9 正态分布的3σ原则】 1.（2026·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（   ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【详解】由题意可知，，所以，， 因为， 所以，根据比例成绩大于分为优秀， 因为，根据比例成绩在到之间的为良好， ，根据比例成绩在到之间的为合格， ，根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 2.（2026·河北秦皇岛·模拟预测）某地区组织了一次高三模拟考试，对该地区3000名考生的考试成绩进行统计分析发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同，据此可以估计本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为（   ） （参考数据：若，有，，） A．580 B．480 C．380 D．280 【答案】B 【详解】由题设，结合正态分布的对称性知，而， 所以， 所以本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为，故大约人. 故选：B. 【题型10 正态分布与其他知识综合】 1.（2025·河南·三模）为丰富学生的课余生活，某地举办了2025年数学文化知识挑战赛，举办方从中随机抽取了100名学生的成绩，并进行统计整理，现将成绩（满分100分）划分为四个分数段：，，，．已知，各分数段人数的频数统计如下表： 分数段 频数 10 30 m n (1)求m，n的值； (2)按成绩进行分层，采用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，设抽到的4人中成绩在内的人数为X，求X的分布列与期望； (3)由以往比赛成绩的数据分析可知，学生成绩．已知今年该地共有20000名学生参加比赛，估计成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）已知抽取的学生总数为100名，即各分数段频数之和为100，可得到方程，化简得. 又因为，解得，. （2）计算分层抽样后成绩在内的人数：成绩在内的频数为人.从100人中抽取10人， 根据分层抽样的特征，抽取的10人中成绩在内的人数为人，那么成绩不在内的人数为人. 表示抽到的人中成绩在内的人数，所以的可能取值为，，，，. 计算取各个值的概率： . . . . .   列出的分布列： 可得. （3）已知，则，. ，. . 今年该地共20000名学生参加比赛，所以成绩在内的学生人数约为人. 2.（2025·江西·二模）DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 【答案】(1) (2)317 (3)分布列见解析 【详解】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率 （2）由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. （3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400， 所以X的分布列为 x 0 800 1 600 2 400 P 1．（2026高三·江西抚州·一模）下列变量中，是离散型随机变量的是（    ） A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，投中的次数 【答案】D 【详解】因为离散型随机变量的取值是可以一一列举的， 对于A，描述是一个对象的集合，而不是一个数值变量，不满足题意； 对于B，C，由题意可知是连续型随机变量，不满足题意； 对于D，由题意可知投中的次数可能为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.满足题意. 故选：D. 2．（2026高三·山西大同·月考）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 3．（25-26高三·全国·月考）为庆祝神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，某中学举办了一次“航天知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题作答，若某选手先随机抽取2道题，再在剩下的5道题中随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设先抽取2道题中多选题的题数为，则的可能取值为0，1，2， 可得，，， 所以最后抽取到的题为多选题的概率为 ． 故选：C. 4．（25-26高三·辽宁朝阳·月考）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 5．（25-26高三·全国·一模）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 6．（25-26高三·广东清远·月考）已知随机变量X有三个不同的取值，分别是，其中，又，，随机变量X的方差的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以随机变量的期望为， 则方差为， 所以当时，方差取得最小值，最小值为. 故选：A. 7．（多选）（25-26高三·河南南阳·期末）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可得， 则，， 故A，C，D均正确，B错误． 故选：ACD. 8．（多选）（25-26高三·辽宁朝阳·期末）现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A.由条件可知，3人错位排列有2种方法，所以，解得，故A错误； B.表示4人全部坐错，4人全部坐错有种方法，4人的全部坐法有种坐法， 所以，故B正确； C.，，，, 所以，故C错误； D.，故D正确. 故选：BD 9．（多选）（2026高三·全国·月考）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为，则（    ） A．的所有可能取值为1，2，3 B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意的所有可能取值为1，2，3， 当时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有种选法． 则，， ． ． ． 故选：AC. 10．(多选)（2026福建福州高三期中）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为（），有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为，则下列说法中不正确的是（   ） A．打满三局结束比赛的概率为 B．的常数项为 C．函数在上单调递增 D． 【答案】ABD 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为 所以， ， 因此三局结束比赛的概率为，则A不正确； 故 由知常数项为，故B不正确； 由，故D不正确； 由二次函数性质可得函数在上单调递增， 而，所以函数在上单调递增，C正确. 故选：ABD. 11．（2026高三·浙江宁波·一模）一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 【答案】 【详解】， ， ， . 故答案为： 12．（2026高三·辽宁鞍山·二模）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 【答案】 【详解】由随机变量的分布列的性质，得，即. 再由期望公式， 所以， 由方差的性质得. 故答案为： 13．（2026高三·天津南开·月考）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________. 【答案】/ 【解析】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 14． （2025·上海黄浦·一模）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． (1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； (2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； (3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）该水果店过去20天苹果日销售量的平均数. （2）因为，所以第百分位数为，所以下个月每日苹果的平均进货量为. （3）20天中苹果销售量超过的有9天. 设“3天中每天的苹果销售量均超过”为事件，“3天中恰有2天的苹果销售量超过”为事件， 则，. 1.（2026高三·江西南昌·期末）某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（    ） （附：，，） A．第18名 B．第127名 C．第245名 D．第546名 【答案】B 【解析】因为成绩近似服从正态分布,，则， 且， 所以， 因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是． 故选：B． 2．（2026高三·江西萍乡·期末）有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______. 【答案】/ 【详解】由题意可知， 对于，当3次取到球上的数字仅有或5时，则概率为， 当3次各取到1次且1次或3或4，则概率为，所以； 对于，当3次取到数字仅有或仅有时，则概率为， 当3次各取到1次且1次或3，或当3次各取到1次且1次或4，则概率为，所以； 对于，当3次取到数字仅有或或时，则概率为， 当3次各取到数字恰好为或或 ，则概率为，所以； 对于，当3次取到或或或时，则概率为，所以； 对于，当3次取到相同数字时，则概率为，所以； 因此，，，，. 所以. 故答案为： 3．（2026·广东·模拟预测）已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 【答案】(1)， (2)0.9545 【详解】（1）． ． （2）由题意知，样本方差，故， 所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布． ， 所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545． 4.（2026·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表： 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表） (2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则. 【答案】(1)，样本中位数为 (2)8186 (3)分布列见解析， 【详解】（1）由题意，平均数， 前3组的频率为，前4组的频数为， 所以样本中位数位于，设为， 则，解得，则样本中位数为. （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为 . （3）由题意，的所有取值为， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $