3.2 圆心角 教案 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该教案聚焦圆心角概念、圆的旋转不变性及圆心角定理，通过复习弦、弧、垂径定理搭建旧知支架，引导学生从圆的基本概念自然过渡到圆心角的探究，梳理知识脉络。 以“观察-实验-探究-证明”为主线，通过旋转透明圆实验培养几何直观与空间观念（数学眼光），结合证明过程发展推理能力（数学思维），分层练习与典例精析（如证明弦心距相等）落实应用意识（数学语言），助力学生构建知识网络，为教师提供清晰教学流程与分层资源。

初中数学课时教学备课 课题： 3.2.1 圆心角 课型：新授课 设计时间： 2026 年 8 月 10 日 学习核心内容 教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。 学习目标 评价设计（指向学习目标） 1. 理解圆心角的概念，并掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的定理（圆心角定理）. 2. 经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程. 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题. 学习过程设计 环节一：引入新课 一、复习旧知，情境导入 教师出示问题： 1.什么是弦？ 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 2.什么是弧？ 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 3.垂径定理是什么？ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 设计意图：复习上节课知识，为本节课所学内容做铺垫。 环节二：新知探究 教师出示问题： 观察：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 把圆绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 观察：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ 由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，因此把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都和原图形重合. 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点 这两个角的顶点都在圆心上。 圆心角相关概念 顶点在圆心的角叫做圆心角. 如图：∠NON'就是一个圆心角. 圆心角∠NON'所对的弧为弧NN'. 圆心角∠NON'所对的弦为NN'. 如图 ， 在⊙O中，已知圆心角∠AOB 和圆心角 ∠COD相等. 探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦之间有什么关系? 实验过程：在两张透明的纸上，分别作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下. 在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠COD ，圆心固定. 将其中的一个圆旋转一个角度，使OA与OC重合. 思考：通过上面的操作，你能发现哪些等量关系？ ，AB=CD 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 已知：如图，在⊙O中， ∠AOB =∠COD.求证：弧AB=弧CD,AB=CD 证明：设∠AOC=α，∵∠AOB=∠COD， ∴∠BOD=∠BOC+∠COD=∠BOC+∠AOB=α. 将扇形AOB按顺时针方向旋转α角后，点A与点C重合，点B也与点D重合.根据圆的旋转的性质，重合，弦AB也与弦CD重合. 所以，AB=CD. 如果以⊙O的圆心O为端点作360条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧. 这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧. 【知识拓展】 在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的意义。 环节三：典例精析 例1：用直尺和圆规把⊙O四等分. 作法： 1.作⊙O的一条直径AB. 2.过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D. 点A，B，C，D就把⊙O四等分. 例2：求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. 已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE 是弦AB的弦心距， OF是弦CD 的弦心距. 求证:OE=OF. 证明：因为∠AOB=∠COD，所以AB=CD（圆心角定理）. 因为OE⊥AB，AO=BO 所以AE=BE=AB（等腰三角形“三线合一”）. 同理，由OF⊥DC，得DF=CF=CD. 所以AE=DF. 又因为OA=OD， 可得Rt△AOE≌Rt△DOF（HL)，所以OE=OF 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 2.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，弦AB所对的圆心角是(　　) A．∠AOB B．∠ACB C．∠OAB D．∠CAB 选做题： 3.如图，等边三角形ABC内接于⊙O．连结OA，OB， OC，延长AO，分别交于点D， BC于点P. 请找一找相等的角、弧、线段. 【综合拓展类作业】 4.如图，C，D是以AB为直径的圆O上的两点，且OD∥BC. 求证：AD=DC. 环节五：课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 2.顶点在圆心的角叫做圆心角. 3.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 4.n°的圆心角所对的弧就是n°的弧. 5.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，AB，CD是⊙O的直径．若∠BOD＝∠AOE＝32°，则弧CE的度数是(　　).　 A．32° B．60° C．68° D．64° 选做题： 2.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝110°，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为________． 【综合拓展类作业】 3.如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G. 判断弧EF和弧FG是否相等，并说明理由. 参考答案： 课堂练习： 1. D 2.A 2. 相等的角：∠ABC=∠BAC=∠ACB=∠BOD=∠COD=60°；∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°；∠BAD=∠CAD=∠ABO=∠OBC=∠OCB=∠ACO=30°；∠APB=∠APC=90° 相等的狐：；；；； 4.证明：如图，连接OC.∵OD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵OB=OC，∴∠B=∠3， ∴∠1=∠2，∴ AD=DC. 作业内容： 1. D 2.500 3.解：EF＝FG. 理由如下：连结AE. ∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠ABE＝∠GAF，∠FAE＝∠AEB. ∴∠GAF＝∠FAE.∴EF＝FG. 作业类别 1. £选用 £改编 £自编 2. £书面练习类 £口头训练类 £活动实践类 板书设计： 教学反思： 由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生又有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻，针对性训练构建学生头脑中新的知识网络。 学科网（北京）股份有限公司 $