3.3.1垂径定理 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦垂径定理，通过回顾等腰三角形轴对称性激活旧知，结合市政管道预留检测口的实际情境导入新课，搭建从轴对称图形到圆的对称性的学习支架。 以动手折叠圆形纸片探究圆的对称性，引导学生归纳垂径定理，体现数学眼光与思维。通过构造直角三角形解题、分类讨论平行弦距离等实例，强化数学语言应用，培养几何直观与推理能力，助力学生理解定理本质，提升教师教学效率。

第1课时　垂径定理 课题 第1课时　垂径定理 授课人 教 学 目 标 1.经历探索垂径定理的过程. 2.探索并掌握垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 3.会运用垂径定理解决一些简单的几何问题. 教学 重点 掌握垂径定理及其应用. 教学 难点 从对称的角度出发,理解垂径定理的本质内涵. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　将一个等腰三角形沿底边上的高对折,启发学生共同回顾等腰三角形是轴对称图形,复习轴对称图形的概念. 师生活动:学生自由回答,教师及时鼓励、评价. 　　从已有的知识出发,激发学生学习的兴趣,营造主动思考、积极探索的氛围. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 市政铺设地下圆形输水管道,计划在管道弧形管壁正中预留检测口.施工人员标记出弧形管壁的两个端点,借助管道圆形横截面的几何特征确定开孔位置.想要明白选址的科学依据,我们一起学习垂径定理. 图3-3-11 　　通过生活中的实际情境,展示垂径定理在生活中的应用,从而拉近数学与生活的距离. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 圆的对称性 学生动手操作:把事先准备好的一张圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你有什么发现?由此你能得到什么结论?试一试! 师生活动:学生动手操作,教师观察操作结果,在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和衔接性. 结论:圆是轴对称图形,每一条过圆心的直线都是圆的对称轴. 【探究2】 垂径定理 问题1:从上面的动手操作可知,如图3-3-12,如果☉O的直径CD垂直于弦AA',垂足为M,那么点A和点A'是对称点,把☉O沿着直径CD折叠,点A与点A'重合,你能找出图中有哪些相等的线段和相等的弧吗?能将你的发现归纳成一般的结论吗? 图3-3-12 师生活动:学生进行观察、分析,通过合情推理总结结论,教师指导学生分析题目中的条件和结论,并用多媒体演示,再让学生尝试归纳垂径定理,教师补充、完善定理内容,最后用几何语言进行描述. 教师板书: 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 几何语言:如图3-3-12,因为CD⊥AA',CD是☉O的直径, 所以AM=MA',=,=. 问题2:垂径定理是由几个条件得到几个结论? 师生分析得条件:①直径;②垂直于弦.结论:①平分弦;②平分优弧;③平分劣弧. 问题3:为什么这些线段(或弧)相等呢? 学生讨论、交流,并用语言进行总结. 教师引导,点拨,强调:圆具有对称性,与直径垂直的弦,关于直径所在的直线对称,即该直径所在的直线为弦的垂直平分线. 即时小练:下列命题中,正确的是 (　C　) A.垂直于直径的弦,平分该直径　　 　 B.垂直于弦的直线必过圆心 C.垂直于弦的直径平分弦所对的弧　　 D.弦的垂线平分弦所对的弧 　　在探索问题的过程中,培养学生动手操作的能力,让学生感受圆的对称性,掌握证明轴对称图形的方法. 探究垂径定理的性质,培养学生的思维能力和语言表达能力. 【应用举例】 例1　如图3-3-13,在☉O中,若弦AB的长为8 cm,圆心O到AB的距离OE为3 cm,求☉O的半径. 图3-3-13 [答案:5 cm] 师生活动:教师引导学生分析,学生书写解答过程,教师做好点评. 　　通过例题,让学生学习作辅助线的方法,强调弦心距在垂径定理中的应用,体会用半径、弦心距、弦的一半构造直角三角形的重要作用. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　已知☉O的半径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm, CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是　2或14　 cm.  例3　如图3-3-14,线段AB=10,AC=8,点D,E在以AB为直径的半圆O上,且四边形ACDE是平行四边形,过点O作OF⊥DE于点F,求AE的长. 图3-3-14 [答案:] 师生活动:学生思考,小组讨论,教师作适当引导,使学生能运用分类讨论思想解决问题. 　　通过例题,让学生利用垂直径定理解决问题,同时把握这一类题的解题方法. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列命题中错误的有 (　B　) ①弦的垂直平分线经过圆心;②垂直于弦的直径经过弦的中点;③圆的对称轴是直径. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图3-3-15,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8 cm,OC=5 cm,则OD的长是 (　A　) 图3-3-15 A.3 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm 3.已知P为☉O内的一点,OP=3 cm,☉O的半径为5 cm,则经过点P的最短弦长为　8 cm　,最长弦长为　10 cm　.  4.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口,假设钢珠的直径是10 mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,如图3-3-16所示,则这个小孔的宽口AB是　8　mm.  图3-3-16 师生活动:学生进行达标检测,完成后,教师进行个别提问,并指导学生的做题方法,让学生在思考解答的基础上,共同交流,形成共识,确定答案. 　　达标测评是为了加深学生对所学知识的理解运用,在问题的选择上以基础为主,重难点突出,增加探究型问题,使学生的思维得到拓展,能力得以提升. 【课堂小结】 (1)你在本节课的学习中有哪些收获?有哪些进步? (2)学习本节课后,还存在哪些困惑? 教师讲解主要内容:求弦的长度,常常需要过圆心作弦的垂线段,利用勾股定理进行解答. 　　巩固、梳理所学知识.对学生进行鼓励,并进行思想教育. 活动 三: 课堂 总结 反思 【板书设计】 第1课时　垂径定理 垂径定理: 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境环节中,通过比较熟悉的赵州桥问题进行引入,提高学生的积极性,通过折叠圆达到让学生动手动脑的目的,通过讨论,让学生相互交流,培养学生独立思考问题的能力. ②[讲授效果反思] 教师强调以下几点:(1)垂径定理中辅助线的作法;(2)常用的计算公式. ③[师生互动反思] 从课堂表现来看,学生能够深入课堂,表现出严谨、认真的学习状态.通过动手、动脑、交流、讨论等活动,培养学生的语言表达能力和逻辑思维能力. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $