第六章 概率 单元测试-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 北师大版高中数学选择性必修一第六章概率单元测试，覆盖随机变量、正态分布、条件概率等核心知识，题型多样且梯度合理，适配单元复习，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项分布、正态分布图像、独立事件概率|基础巩固，考查概念辨析| |多选题|3/18|离散型随机变量分布列、正态分布性质|能力提升，强调多维度理解| |填空题|3/15|超几何分布均值、贝叶斯公式|情境应用，体现数据观念| |解答题|5/77|独立事件、分布列、数学期望、正态分布应用|综合创新，结合游乐场射箭等实际情境，培养模型观念与推理能力|

北师大版高中数学选择性必修一第六章概率单元测试 一、单选题 1．设随机变量服从，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项分布公式，计算概率. 【详解】， . 故选：A 【点睛】本题考查二项分布，属于基础题型. 2．已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接根据图像的对称轴，以及图像的胖瘦进行判断即可. 【详解】由题意知：正态曲线关于直线对称，且越大，对称轴越靠右，故， 又越小，数据越集中，图像越瘦高，故. 故选：D. 3．从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（    ） A．两个都不是白球 B．两个不全是白球 C．两个都是白球 D．两个球中恰好有一个白球 【答案】B 【分析】由条件可直接求出两个球全是白球的概率为，从而得到两个球不全是白球的概率为，由此得出结论. 【详解】解：∵从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是， 故两个球全是白球的概率为， 故两个球不全是白球的概率为， 故选：B. 4．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可 【详解】由分布列的性质可得，，即①， ， ，即②， 联立①②解得，， 故． 故选：A． 5．甲、乙、丙三人分别参加三种类型的公务员考试，合格的概率分别是、、，则三人中恰有两人合格的概率和三人中至少有一人合格的概率分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立事件概率运算法则可求得三人中恰有两人合格的概率；利用对立事件概率公式可求得三人中至少有一人合格的概率. 【详解】记三人中恰有两人合格为事件，三人中至少有一人合格为事件， 则；； . 故选：D. 6．连续抛掷一枚质地均匀的硬币12次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每次试验得分为，则取（正面，概率）和（反面，概率）.12次独立重复试验的总得分，利用期望和方差的性质，即可判断. 【详解】计算的期望： . 计算的方差： ， . 于是，故A、B错误. ，故C正确，D错误. 故选：C. 7．某不透明的盒子中有5个红色小球和4个黑色小球(小球的形状、大小均相同)，小明从中随机取出1个小球丢掉(未看被丢掉小球的颜色).现从剩下8个小球中取出2个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典型概率公式、全概率公式以及条件概率公式分析计算即可. 【详解】用事件表示“丢掉一个小球后任取两个小球均为红球”， 事件表示“丢掉的小球为红球”，事件表示“丢掉的小球为黑球”， 则， 由全概率公式可得：， 所以. 8．一只青蛙沿着数轴线跳跃，其规则如下： 起点为0； 若青蛙在0处，则有的概率跳到1，有的概率消失； 若青蛙在，2或3处，则有的概率跳到，有的概率跳到，有的概率消失. 问青蛙能跳到4处的概率是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出从位置出发能跳到4的概率，根据已知条件可得，，，消去即可求得. 【详解】设为从位置出发能跳到4的概率，其中， 在处，有的概率跳到1，的概率消失，故. 在处，各有的概率跳到相邻点，的概率消失， 故，， 将代入，得， 解得，再代入， 得，解得， 又，所以，解得. 二、多选题 9．已知离散型随机变量的分布列为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由随机变量的分布列可知，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确. 10．若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．若越大，则越大 D．若越大，则的正态密度曲线越“矮胖” 【答案】BC 【分析】对于选项A，利用正态分布的对称性，判断，再比较4和μ的大小，结合p的范围推导概率大小；对于选项B，将看作关于p的二次函数，在的范围内求其最大值；对于选项C，根据关于p的函数单调性，判断p增大时的变化趋势；对于选项D，根据正态分布密度曲线的形态与方差的关系，结合随p的变化规律，判断曲线形态变化. 【详解】由可得， 结合，可得； 对于A，正态分布，曲线关于对称， 因此， 由于 ，则，即均值， 在正态分布中，远离均值的右侧概率更小，因此，故A 错误； 对于B，， 当时，取最大值1，故B正确； 对于C，，是关于p的一次函数，该函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，当时，单调递增，此时曲线随着p的增大变矮胖， 当时，单调递减，此时曲线随着p的增大变瘦高，故D错误. 11．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为．在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（   ） A．6维“立方体”的顶点有36个 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可. 【详解】对于6维坐标，其中，即有2种选择， 故共有种选择，即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误； 当时，在与中有3个坐标值不同， 即有3个（，）满足，有3个满足， 所以满足的顶点对有组，因此，故B正确； 满足的顶点对有组，所以， 即，，，，，. 因此，故C正确； 而，故D正确. 三、填空题 12．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数的均值为__________． 【答案】/0.4 【分析】服从超几何，即，使用超几何分布均值计算公式即可求解. 【详解】从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，那么取得次品数服从超几何分布，即，则. 13．某学校安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：校内职工被判定为“禁止入内”的概率为，校外访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该校的人员中，校外访客和校内职工的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是校内职工的概率为________． 【答案】 【分析】可先设出相关事件，在根据已知条件求出各事件发生的概率，最后利用条件概率公式计算即可. 【详解】设某人为校内职工为事件，系统判定为“允许通行”为事件， 则可得，，，，， . 14．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 【答案】 【详解】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况， 所以， 若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于将次重复操作后，盒中6个球全是红球转化为次抽到红球，3次抽到黑球，然后分情况计算概率即可. 四、解答题 15．游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. (1)求第2次射箭的人是甲同学的概率； (2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列如下： . 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，结合加法概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的乘法公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）第2次射箭的人是甲同学有以下两种情形： 情形一：第1次是甲同学，且射中； 情形二：第1次是乙同学，没射中， 所以第2次射箭的人是甲同学的概率为； （2）由题意可知， ，， ， 所以的分布列如下： 所以. 16．不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型计算公式计算即可； （2）分析随机变量的取值，并利用古典概型分别计算随机变量取值对应的概率即可. 【详解】（1）从5个小球中随机取出2个，对5个小球进行编号，分别为， 样本空间为，共计10个样本点， 其中数字相同的情况只有一种（取出两个标有数字1的小球）， 因此数字不同的情况有 种，故取出的2个小球上的数字不同的概率为 ； （2）随机变量的取值分别为：， 当时：取出数字 和 2，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 和 1，取法数 2 种， ； 当时：取出数字 和 0（1 种）、0 和 1（2 种）、0 和 2（1 种）， 总取法数 4 种， ； 当时：取出两个数字 1，取法数 1 种， ； 当时：取出数字 1 和 2，取法数 2 种，概率 ； 故 的分布列为：                                                             17．某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点值作代表）及样本的80%分位数（四舍五入精确到整数）. (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）. 附：若随机变量X服从正态分布，则，， 【答案】(1)样本平均数的估计值为，样本的分位数为 (2) 【分析】（1）根据平均数、80％分位数的求法计算即可； （2）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则， 所以，样本平均数的估计值为62； 由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为； （2）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为． 18．某景点提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是． (1)已知有6个家庭第一次购买产品，且购买产品的家庭个数比例为2：1，现从该6个家庭中抽出3个家庭，记录其购买产品的情况，记为购买产品的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)已知某家庭第二次购买的是产品，求该家庭第一次购买的是产品的概率； (3)现有6个家庭第二次购买产品，则有多少个家庭购买产品的概率最大？并求最大的概率值． 【答案】(1) 0 1 2 ，； (2)； (3)有4家选择产品的概率最大，最大概率为． 【分析】（1）由比例确定家庭数分别为4和2，抽取3个家庭中的个数服从超几何分布，列出分布列并求期望； （2）利用全概率公式求第二次买的总概率，再用贝叶斯公式反推第一次买的条件概率； （3）第二次购买的家庭数 ，用相邻项比值法确定使概率最大的值，并计算对应最大概率． 【详解】（1）购买，产品的家庭个数分别为4个和2个， 所以的可能取值为0，1，2， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望； （2）设“第次购买产品”，（i=1，2），则“第次购买产品”， 则与为对立事件， 由题意， 故． ， 该家庭第一次购买的是产品的概率； （3）每个家庭第二次购买产品的概率为 设有家选择产品，每家购买产品概率均为，故， 的可能取值为，设有家选择产品的概率最大，则 故 即 整理得， 又，故， 此时 故有4家选择产品的概率最大，最大概率为． 19．已知袋子中共有个大小形状完全相同的球，其颜色分别为红色、黄色和蓝色，其中红球有个，现从中随机、不放回的逐个取出小球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的是红球的条件下，第一次取出的不是红球的概率； (2)若红球、黄球和蓝球的个数分别为3个、2个和2个，求红球被全部取出时，剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率； (3)记随机变量为最后一个红球被取出时袋子中剩余球的个数，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件概率的公式求解即可； （2）先求出当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的概率，再结合黄球和蓝球个数相同，即可求解； （3）先根据题意得到的取值，再求出每个取值的概率，进而根据期望公式即可求解． 【详解】（1）设第一次取出的不是红球为事件A，第二次取出是红球为事件B， 则，， 所以． （2）当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的情况可分三类： ①最后一个红球为第3个时（前3个都是红球）， 即前3个红球全排列，后4个球（2黄2蓝）全排列，共有种； ②最后一个红球为第5个时（前4个球中有2红1黄1蓝，第5个是红球）， 即选1个红球放第5位，在2黄和2蓝中各选1个，前4个球（2红1黄1蓝）全排列，后2个球（1黄1蓝）全排列，共有种； ③最后一个红球为第7个时（前6个球中有2红2黄2蓝，第7个是红球）， 即选1个红球放第7位，前6个球（2红2黄2蓝）全排列，共有种， 所以当最后一个红球被取出时，剩余的黄球和蓝球个数相同的概率为， 又黄球和蓝球个数相同，所以黄球个数比蓝球个数多的概率与蓝球个数比黄球个数多的概率相同， 所以剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率为． （3）随机变量的取值为，，，，，， 设红球被全部取出时，一共被取出了个球， 则随机变量的分布列， 所以， 又， ， ， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版高中数学选择性必修一第六章概率单元测试 第I卷（选择题） 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设随机变量服从，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．从甲口袋内摸出一个白球的概率是，从乙口袋内摸出一个白球的概率是，从两个口袋内各摸1个球，那么概率为的事件是（    ） A．两个都不是白球 B．两个不全是白球 C．两个都是白球 D．两个球中恰好有一个白球 4．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（    ） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A． B． C． D． 5．甲、乙、丙三人分别参加三种类型的公务员考试，合格的概率分别是、、，则三人中恰有两人合格的概率和三人中至少有一人合格的概率分别是（ ） A． B． C． D． 6．连续抛掷一枚质地均匀的硬币12次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为，则（   ） A． B． C． D． 7．某不透明的盒子中有5个红色小球和4个黑色小球(小球的形状、大小均相同)，小明从中随机取出1个小球丢掉(未看被丢掉小球的颜色).现从剩下8个小球中取出2个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．一只青蛙沿着数轴线跳跃，其规则如下： 起点为0； 若青蛙在0处，则有的概率跳到1，有的概率消失； 若青蛙在，2或3处，则有的概率跳到，有的概率跳到，有的概率消失. 问青蛙能跳到4处的概率是多少？（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知离散型随机变量的分布列为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 10．若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为1 C．若越大，则越大 D．若越大，则的正态密度曲线越“矮胖” 11．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为．在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（   ） A．6维“立方体”的顶点有36个 B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数的均值为__________． 13．某学校安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：校内职工被判定为“禁止入内”的概率为，校外访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该校的人员中，校外访客和校内职工的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是校内职工的概率为________． 14．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15．游乐场中，甲、乙两位同学进行射箭游戏.规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭.两位同学每次射箭相互独立，甲同学命中率为0.6，乙同学命中率为0.8.由抽签确定第1次射箭的人选，第1次射箭是甲、乙的概率均为0.5. (1)求第2次射箭的人是甲同学的概率； (2)甲、乙两位同学一共射箭2次，用随机变量表示乙同学射箭的次数，求的分布列及数学期望. 16．不透明的盒中有五个大小形状相同的小球．它们分别标有数字，0，1，1，2，现从中随机取出2个小球． (1)求取出的2个小球上的数字不同的概率； (2)记取出的2个小球上的数字之积为，求的分布列． 17．某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值（同一组数据用该区间的中点值作代表）及样本的80%分位数（四舍五入精确到整数）. (2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）. 附：若随机变量X服从正态分布，则，， 18．某景点提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为；第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是． (1)已知有6个家庭第一次购买产品，且购买产品的家庭个数比例为2：1，现从该6个家庭中抽出3个家庭，记录其购买产品的情况，记为购买产品的家庭个数，求的分布列和数学期望； (2)已知某家庭第二次购买的是产品，求该家庭第一次购买的是产品的概率； (3)现有6个家庭第二次购买产品，则有多少个家庭购买产品的概率最大？并求最大的概率值． 19．已知袋子中共有个大小形状完全相同的球，其颜色分别为红色、黄色和蓝色，其中红球有个，现从中随机、不放回的逐个取出小球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的是红球的条件下，第一次取出的不是红球的概率； (2)若红球、黄球和蓝球的个数分别为3个、2个和2个，求红球被全部取出时，剩余的黄球个数比蓝球个数多的概率； (3)记随机变量为最后一个红球被取出时袋子中剩余球的个数，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $