第六章概率第七章统计案例章末综合检测（能力提升）-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第六章《概率》第七章《统计案例》 章末综合检测（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 2. 已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4. 某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在90分以上的概率为（     ） （参考数据：，） A． B． C． D． 5. 2025年3月14日是星期五.学校于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 6. 为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A．-2 B．-1 C． D． 7. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（    ） A．当，时， B．时，有 C．当，时，当且仅当时概率最大 D．时，随着的增大而增大 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的命题是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B．， C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好． D．已知随机变量服从正态分布，，则 10. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 11. 有形状、质量完全相同的个不同白色小球，另有一个红色小球与每一个白色小球仅有颜色差异，将这个红色小球命名为“2025幸运星球”，将这个小球装在一个盒子里，并随机摇动放匀，则下列说法正确的是（   ） A．从盒子里任取3个小球，“2025幸运星球”被选中的概率为 B．从盒子里任取3个小球，记事件“2025幸运星球’被选中”；事件“取得的3个小球都是白色球”，则事件为对立事件 C．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为171 D．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为231 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某类考试报名人数为10000人，已知考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为________．（结果四舍五入取整数） （参考数据：若服从正态分布，则） 13. Deepseek爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则的最小值为 ． 附：．      0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 14. 为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是 ；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是 ． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于2024年1月1日开始在各电视媒体投放，统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得数据如下： 月份 1 2 3 4 5 销售收入/万元 380 460 580 670 860 （1）已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业2024年7月份的销售收入 （2）为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 观看广告 未观看广告 总计 购买 30 45 未购买 10 总计 请将上表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联？ 参考数据：． 参考公式：最小二乘法估计，． ，其中． 0.10 0.05 0.001 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16. 为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 17. 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． （1）求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； （2）记甲、乙两人抽奖获得现金总金额为，求的分布列与期望． 18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 19. 购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种. (1)若种款式的盲盒各有一个. （i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率. （ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为，求的数学期望. (2)若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）. ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《概率》第七章《统计案例》 章末综合检测（能力提升） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D D B C C A AC BC ABC 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 【解析】C 因为事件与独立，且， 所以，故， 所以. 2. 已知随机变量X的分布规律为（），则（   ） A． B． C． D． 【解析】A 因为随机变量X的分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 3. 离散型随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【解析】D 由题设，则，A对； 由，则，联立， 所以，则，D错； ，B对； ，C对. 4. 某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在90分以上的概率为（     ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【解析】D 由知， 则，， 可知10名学生的成绩在90分以上的人数， 所以． 5. 2025年3月14日是星期五.学校于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【解析】B 由已知得，故. 6. 为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A．-2 B．-1 C． D． 【解析】C 由已知可得，，， 所以，有，解得， 所以，， 由，得， 所以，，则. 7. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级， 共种走法， 若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级， 共， 所以第二步走两级台阶的概率为. 8. 在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（    ） A．当，时， B．时，有 C．当，时，当且仅当时概率最大 D．时，随着的增大而增大 【解析】A 由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 对于A：当，可取， 所以， 因为，所以，， 所以，故A项错误； 对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确； 对于C：当，，此时，， 当取得概率最大时，即， 即，解得，故C项正确； 对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布， 由二项式的均值公式， 当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的命题是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B．， C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好． D．已知随机变量服从正态分布，，则 【解析】AC 对A：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，A正确； 对B：，，故B错误； 对C：用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故C正确； 对D：已知随机变量服从正态分布，，则，故D错误. 10. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（    ） A． B． C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为 D．当时， 【解析】BC 对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为， 则，则，， 故A错误，B正确； 对于C，由题意一天至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误. 11. 有形状、质量完全相同的个不同白色小球，另有一个红色小球与每一个白色小球仅有颜色差异，将这个红色小球命名为“2025幸运星球”，将这个小球装在一个盒子里，并随机摇动放匀，则下列说法正确的是（   ） A．从盒子里任取3个小球，“2025幸运星球”被选中的概率为； B．从盒子里任取3个小球，记事件“2025幸运星球’被选中”；事件“取得的3个小球都是白色球”，则事件为对立事件； C．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为171； D．当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为231； 【解析】ABC 依题意知：盒子中共有个小球，从中任取3球的取法总数为， “2025幸运星球”被选中取法总数为，所以“2025幸运星球”被选中的概率为，故A正确； 事件“取得的3个小球都是白色球”，即取得的球中没有“2025幸运星球”，所以事件A，B为对立事件，故B正确； 依题意，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球， 所以有序数组的个数等于不定方程的非负整数解个数， 相当于在17个小球摆成一排所形成的18个空位中放入两块隔板， 两块隔板可以占一个空位，也可以占两个空位， 故隔板方法总数为，故C正确，D错误. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某类考试报名人数为10000人，已知考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为________．（结果四舍五入取整数） （参考数据：若服从正态分布，则） 【解析】，所以录取人数为（人）． 13. Deepseek爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷．某人工智能服务商提供了两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．根据独立性检验，有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则的最小值为 ． 附：．      0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】由题意可得用户类型与购买的套餐类型列联表如下： 总计 个人用户 公司用户 总计 ， 解得，又因为必须是10的倍数，所以的最小值为170． 14. 为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是 ；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是 ． 【解析】对于小明，在图③的情况下，再放2枚白棋形成两条线的不同情况有4种， 而样本空间共有种不同情况，所以小明获二等奖的概率是； 对于小红，9枚棋子形成三条线的形状（简称“三线”）必然由一行、一列、一对角线构成， 由于第一列已经确定，则当第一或第四行连上时，对角线还有1种情况；当第二行或三行连上时， 对角线还有2种情况，因此“三线”共有种，由于小红总能保证奖励最大化， 则只需随机出来的形状恰好是“三线”去掉2枚棋子（简称“准三线”）即可， 于是从第一列外的5枚棋子中去掉2枚棋子形成的“准三线”共种， 但是，有一些“准三线”可以由多个“三线”得到： 第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由3个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有次； 第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由2个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有次， 因此，“准三线”实际上只有种，第一列之外随机放上3枚棋子的所有情况为种， 所以小红获得一等奖的概率. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业为了打开产品销路，斥资摄制了一部广告宣传片，于2024年1月1日开始在各电视媒体投放，统计该企业2024年前5个月的销售收入，获得数据如下： 月份 1 2 3 4 5 销售收入/万元 380 460 580 670 860 （1）已知与呈线性相关关系，求经验回归方程，并据此预测该企业2024年7月份的销售收入 （2）为了解此次广告投放的效果，该企业随机抽取60名消费者进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 观看广告 未观看广告 总计 购买 30 45 未购买 10 总计 请将上表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买产品与观看广告有关联？ 参考数据：． 参考公式：最小二乘法估计，． ，其中． 0.10 0.05 0.001 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）因为，， ，又， 所以，， 所以经验回归方程为，当时，（万元）， 所以预测年月份该公司销售金额约为万元； （2）补全列联表如下： 观看广告 未观看广告 总计 购买 30 15 45 未购买 5 10 15 总计 35 25 60 零假设：购买产品与观看广告无关， 根据以上数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验我们推断不成立， 认为购买产品与观看广告有关联，此推断犯错误的概率不大于. 16. 为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. (1)在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【解析】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时， 则，，，， 由全概率公式可得， 由条件概率公式可得. 因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为. （2）从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为， 由题意可知，所以，，. 17. 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． （1）求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； （2）记甲、乙两人抽奖获得现金总金额为，求的分布列与期望． 【解析】（1）若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率． 若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率． 故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率． （2）记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则． 由题可知，，， ，， 则，，，． 的分布列为 15 25 35 45 ． 18. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【解析】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 19. 购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种. (1)若种款式的盲盒各有一个. （i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率. （ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为，求的数学期望. (2)若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）. 【解析】（1）（i）设小刘第次抽到特别喜欢的款式为事件. 则小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率为. （也可以用） （ii）的可能取值为， 则， 所以的分布列为 1 2 19 20 则. （2）记的可能取值为. 因为前9次（包含第9次）没有保底， 则，其中， ， 所以的分布列为 1 2 9 10 则. 记， 则， 两式相减，得， 所以. ( 第 1 页 共 14 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$