精品解析：吉林四平市第三中学校2025-2026学年七年级下学期期末测试数学试题

四平三中2025—2026学年度第二学期期末测试卷 七年级数学 一．选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数， 故选：D． 2. 在隧道或桥洞前都有限高标志，如图所示的限高标志表示通过的车辆高度不超过，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的实际应用，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 在数轴上表示为： 故D正确． 故选：D． 3. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 等角的余角相等 D. 平行于同一直线的两条直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题，涉及内错角定义、对顶角、互余及平行线性质等知识，根据常见的几何定义及性质逐项验证即可得到答案，熟记常见几何定义及性质是判断命题真假的关键． 【详解】解：A、内错角相等是假命题，符合题意； B、对顶角相等是真命题，不符合题意； C、等角的余角相等是真命题，不符合题意； D、平行于同一直线的两条直线平行是真命题，不符合题意； 故选：A． 4. 在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中的不等关系，即可得到答案． 【详解】根据题意，，B选项符合条件． 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 的算术平方根是 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 的立方根等于 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：∵，而的平方根为， ∴的平方根是，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 6. 对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题是新定义题型，主要考查解二元一次方程组的能力，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．根据新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得 ， 故选B． 二．填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，点P到一条笔直的公路共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段去公路，这一选择用到的数学知识是______ 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段去公路， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关键． 8. 图①为超市手推车，图②为其模型，已知，直线与交于点O，若，则______度． 【答案】125 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质以及邻补角的计算．熟练掌握平行线的性质以及邻补角的计算是解题的关键． 根据，可得出，再根据邻补角的定义可知，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：125． 9. 方程组中，若未知数，满足，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】将方程组的两个方程相减得到的表达式，结合列不等式求解即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，． ， ， 解得． 10. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到则四边形的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】先利用的性质得到，然后利用等线段代换得到四边形ABFD的周长． 【详解】∵沿方向平移个单位得到 ∴ ∵的周长为 ∴ ∴四边形ABFD的周长 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形平移的问题，掌握平移的性质、三角形周长公式是解题的关键． 11. 已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】m≥-3 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ∵不等式①的解集是x＜−3， 不等式②的解集是x＞m， 又∵不等式组无解， ∴m≥−3， 故答案为：m≥−3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据找不等式的解集和已知得出关于m的不等式组． 三．解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数计算，涉及算术平方根、化简绝对值、立方根等知识，先由算术平方根、化简绝对值、立方根计算，再由加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 13. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 14. 已知点，解答下列问题． （1）若点A在y轴上，求出点A的坐标； （2）若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 【答案】（1）点A的坐标为 （2）点A的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握在轴上的点的横坐标为零，平行于轴的直线上的两个点的纵坐标相等是解题的关键． （1）根据在轴上的点的特征，横坐标为零，得到，求出的值即可得到点的坐标； （2）由点的坐标为，且轴可得，求出的值即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点A在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 ∵点B的坐标为，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 四．解答题（每小题7分，共21分） 15. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），， （2）４ 【解析】 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：当，，时，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 【答案】（1），， （2） 解：画出三角形如图所示： ． （3）7 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再根据点坐标的平移变换规律解答即可； （2）先在平面直角坐标系中描出点，再顺次连接即可； （3）利用一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点为， ∴平移方式是：先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∵把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，且，，， ∴，，， 即，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：三角形的面积为． 17. 如图，在三角形中，点D，E分别在上，且． （1）与平行吗？为什么？ （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） ，理由：， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）只要证明即可解决问题． （2）根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 五．解答题（每小题8分，共16分） 18. 古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： （1）参加此次活动的七年级师生共有________人； （2）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 【答案】（1） （2）座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． 【解析】 【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解方程得到a的值，再将其代入中，即可解答； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， ， 参加此次活动的七年级师生共有420人． 【小问2详解】 解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元． 19. 端午节是中华民族的传统节日，为弘扬传统文化，培育爱国情怀，某校组织“端午话粽情”知识大赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据成绩绘制了不完整的频数分布表和如图所示的频数分布直方图（每组包含最小值，不含最大值）． 请根据上述统计图表，解答下列问题： 成绩 频数 百分比 60～70 15 70～80 20 40% 80～90 20% 90～100 5 10% （1）共抽取了_______名学生进行调查，m=_________； （2）补全频数分布直方图； （3）如果成绩80分及以上者为“优秀”，请你估计全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生有多少人． 【答案】（1）50， （2） 补全频数分布直方图如下： （3）450人 【解析】 【分析】（1）利用成绩在这组的频数除以对应的百分比可得抽取调查的学生总人数，再利用15除以总人数即可得的值； （2）先利用乘以总人数可得的值，再据此补全频数分布直方图即可； （3）用全校总人数乘以样本中的优秀率即可得． 【小问1详解】 解：抽取调查的学生总人数为（名）， 则， 故答案为：50，． 【小问2详解】 解：（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生有450人． 【点睛】本题考查了频数分布表和频数分布直方图、利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 六．解答题（每小题10分，共20分） 20. 综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动、如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点． （1）试判断边与直线的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板的直角顶点放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由； 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请求出的度数． 【答案】 （1），理由如下： ∵ ∴， ∵， ， ． （2），理由如下： 过点作直线，如图2， ∵， ， ， ， ∴， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）证明即可由平行线的判定定理得出结论； （2）过点作直线，则，由平行线的性质可得出，，再根据，即可得出结论； （3）过点作，则则，先证明，结合角平分线的定义可证，进而可求出； 【详解】解：（1）略 （2）略 （3），理由如下： 如图3，过点作， 则， ，， ，， 由（2）知：， ， 和分别平分 和， ，， ， ，即； 21. 围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史，围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，现为全球个正式体育项目之一，兼具文化传承与智力竞技双重价值．年两种棋类都被列入国家级非物质文化遗产名录．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．根据下表中的素材，探索并完成任务． 如何设计购买方案？ 素材 已知购买副象棋和副围棋共需元，购买副象棋和副围棋共需元． 素材 甲学校购买象棋和围棋共副，总费用不超过元． 素材 若某超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折； 方案二：办理超市会员卡元，围棋一律打七折． 乙学校购买副象棋和若干副围棋． 问题解决： （1）任务1：求每副象棋和围棋的单价． （2）任务2：求甲学校最多能购买多少副围棋． （3）任务3：求乙学校购买围棋数量在什么范围时，选用方案二比方案一更省钱？ 【答案】（1）每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元； （2）最多能购买50副围棋； （3）当乙校购买围棋数量超过10副时，选用方案二比方案一更省钱． 【解析】 【分析】（1）设每副象棋的价格是x元，每副围棋的价格是y元，根据题意可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲学校购买m副围棋，则购买副象棋，根据总价不超过2250元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）设学校购买10副象棋，a副围棋，分别列出两种方案所需的费用，再根据题意列不等式，进而可得出结论． 【小问1详解】 解：设每副象棋的价格是x元，每副围棋的价格是y元， 根据题意，得， 解得． 答：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元； 【小问2详解】 解：设购买m副围棋，则购买副象棋， 根据题意，得， 解得， 的最大值为50． 答：甲学校最多能购买50副围棋； 【小问3详解】 解：设乙学校购买10副象棋，a副围棋， 则选用方案一所需费用为， 选用方案二所需费用为， 要使方案二比方案一更省钱， 则， 解得， 当乙校购买围棋数量超过10副时，选用方案二比方案一更省钱． 七．解答题（每小题12分，共12分） 22. 已知，点，将线段平移至线段（说明：平移前后的线段是平行的），，其中点与点对应，点与点对应，是的算术平方根，正数满足． （1）直接写出、的坐标：（________），（________）； （2）如图，连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，若，点为轴的负半轴上一动点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）， （2）存在，点的坐标为或 （3）当点在轴的负半轴上且在点上方（含与点重合）时，；当点在轴的负半轴上且在点下方时， 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和平方根的定义，进行解答即可； （2）先根据三角形的面积公式，得出，再设点的坐标为，进一步得出，最后解方程即可； （3）根据题意，需要分情况讨论，先延长交轴于点，当点在轴的负半轴上且在点上方（含与点重合）时，利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余，得出，再利用外角的性质和平角的定义，即可得出；当点在轴的负半轴上且在点下方时，同理可得． 【小问1详解】 解：是的算术平方根， ， ． 正数满足， ， （负值已舍去）， ． 【小问2详解】 解：存在， ，， ，， ． 设点的坐标为，则． ， ，即， 解得，， 在轴上存在一点，使得，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，延长交轴于点，当点在轴的负半轴上且在点上方（含与点重合）时， ， ． ， ， ； 如图，延长交轴于点，当点在轴的负半轴上且在点下方时， ， ． ， ， ． 综上，当点在轴的负半轴上且在点上方（含与点重合）时，；当点在轴的负半轴上且在点下方时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四平三中2025—2026学年度第二学期期末测试卷 七年级数学 一．选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 在隧道或桥洞前都有限高标志，如图所示的限高标志表示通过的车辆高度不超过，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 等角的余角相等 D. 平行于同一直线的两条直线平行 4. 在我们的生活中，不等关系随处可见．小明与妈妈今年分别是x岁与y岁．他们母子对话包含的数学依据是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列说法中，错误的是（ ） A. 的算术平方根是 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 的立方根等于 6. 对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二．填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，点P到一条笔直的公路共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段去公路，这一选择用到的数学知识是______ 8. 图①为超市手推车，图②为其模型，已知，直线与交于点O，若，则______度． 9. 方程组中，若未知数，满足，则的取值范围是________ 10. 如图，将周长为的沿方向平移个单位得到则四边形的周长为___． 11. 已知不等式组无解，则的取值范围是________． 三．解答题（每小题6分，共18分） 12. 计算：． 13. 解不等式组：． 14. 已知点，解答下列问题． （1）若点A在y轴上，求出点A的坐标； （2）若点B的坐标为，且轴，求出点A的坐标． 四．解答题（每小题7分，共21分） 15. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，把三角形平移后得到三角形，其中点的对应点分别为点，点的对应点为． （1）写出点的坐标： ， ， ； （2）画出三角形； （3）写出三角形的面积为 ． 17. 如图，在三角形中，点D，E分别在上，且． （1）与平行吗？为什么？ （2）若平分，求的度数． 五．解答题（每小题8分，共16分） 18. 古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话： 王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．” 小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．” 小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”． 根据以上对话，解答下列问题： （1）参加此次活动的七年级师生共有________人； （2）客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 19. 端午节是中华民族的传统节日，为弘扬传统文化，培育爱国情怀，某校组织“端午话粽情”知识大赛活动，从中随机抽取部分同学的比赛成绩，根据成绩绘制了不完整的频数分布表和如图所示的频数分布直方图（每组包含最小值，不含最大值）． 请根据上述统计图表，解答下列问题： 成绩 频数 百分比 60～70 15 70～80 20 40% 80～90 20% 90～100 5 10% （1）共抽取了_______名学生进行调查，m=_________； （2）补全频数分布直方图； （3）如果成绩80分及以上者为“优秀”，请你估计全校1500名学生中，获得“优秀”等次的学生有多少人． 六．解答题（每小题10分，共20分） 20. 综合与实践 问题情境： 数学课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动、如图1，已知，直角三角板中，，将其顶点A放在直线上，并使边于点D，与相交于点． （1）试判断边与直线的位置关系并说明理由； 操作探究： （2）如图2，将图1中三角板的直角顶点放在平行线之间，两直角边，分别与，相交于点E，F，得到和，试探究与的数量关系并说明理由； 深入探究： （3）受小明启发，同学们继续探究下列问题． 在图2中作线段和，使它们分别平分和的顶角，如图3，请求出的度数． 21. 围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史，围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，现为全球个正式体育项目之一，兼具文化传承与智力竞技双重价值．年两种棋类都被列入国家级非物质文化遗产名录．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．根据下表中的素材，探索并完成任务． 如何设计购买方案？ 素材 已知购买副象棋和副围棋共需元，购买副象棋和副围棋共需元． 素材 甲学校购买象棋和围棋共副，总费用不超过元． 素材 若某超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折； 方案二：办理超市会员卡元，围棋一律打七折． 乙学校购买副象棋和若干副围棋． 问题解决： （1）任务1：求每副象棋和围棋的单价． （2）任务2：求甲学校最多能购买多少副围棋． （3）任务3：求乙学校购买围棋数量在什么范围时，选用方案二比方案一更省钱？ 七．解答题（每小题12分，共12分） 22. 已知，点，将线段平移至线段（说明：平移前后的线段是平行的），，其中点与点对应，点与点对应，是的算术平方根，正数满足． （1）直接写出、的坐标：（________），（________）； （2）如图，连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图，若，点为轴的负半轴上一动点，直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $