1.4正方形的性质与判定-第2课时 正方形的判定 课件 -2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定定理，通过回顾平行四边形、菱形、矩形的特征及对角线性质，构建知识脉络，以旧知为支架引出正方形的判定条件，帮助学生建立特殊平行四边形间的联系。 其亮点在于采用“猜想-证明-归纳”探究流程，结合中点四边形系统探索，培养推理意识与几何直观。例题变式注重应用，小结用表格梳理中点四边形与原图形关系，助力学生发展合情推理能力，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第一章 特殊平行四边形 九年级上│BS 1.4 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 1. 理解并掌握正方形的判定定理. 2. 能够运用正方形的判定定理进行证明和计算. 3. 经历探索中点四边形的过程，发展合情推理能力. 学习目标 回顾 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系. 有一个角是_____ 有一组_____相等 有_____________ 有_____________ 平行四边形 矩形 菱形 正方形 有_______________________________ 直角 邻边 一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角且有一组邻边相等 对角线_________ 对角线_____ 相等 互相垂直 ______________ _______________ ？ ？ 新课引入 满足什么条件的矩形是正方形，满足什么条件的菱形是正方形？ 思考 正方形具有菱形和矩形的所有性质 正方形 的性质 菱形的性质 矩形的性质 1.四条边相等 2.对角线互相垂直 1.四个角都是直角 2.对角线相等 平行四边 形的性质 新知学习 满足什么条件的矩形是正方形，满足什么条件的菱形是正方形？ 思考 有一个角是_____ 有一组_____相等 有_____________ 有_____________ 平行四边形 矩形 菱形 正方形 有_______________________________ 直角 邻边 一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角且有一组邻边相等 对角线_________ 对角线_____ 相等 互相垂直 ______________ _______________ 对角线相等 对角线互相垂直 新知学习 已知：四边形ABCD 是矩形，且 AB = BC. 求证：四边形ABCD 是正方形. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°，四边形ABCD 是平行四边形， 又∵AB = BC， ∴□ ABCD 是正方形(正方形的定义). 猜想1 归纳总结 定理 有一组邻边相等的矩形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形. A B C D 新知学习 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD=AB=BC=CD(垂直平分线的性质)， ∴ □ ABCD是正方形(正方形的定义). 猜想2 归纳总结 定理 对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，DB交于点O，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 新知学习 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=DA，四边形ABCD 是平行四边形， 又∵∠A=90°， ∴□ ABCD 是正方形(正方形的定义). 猜想3 已知：四边形ABCD 是菱形，∠A=90°. 求证：四边形ABCD 是正方形. 归纳总结 定理 有一个角是直角的菱形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. A B C D 新知学习 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB. ∵AC=DB，∴ AO=BO=CO=DO， ∴△AOD，△AOB是等腰直角三角形， ∴∠DAB=90°， ∴□ ABCD是正方形. (正方形的定义) 猜想4 归纳总结 定理 对角线相等的菱形是正方形. 已知：如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC，DB交于点O，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 新知学习 定义法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 矩形法 菱形法 对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 归纳总结 正方形的判定方法： 新知学习 例 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE， CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°， 又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°， ∴∠EBC =∠ECB. F A B E C D 新知学习 例 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE， CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. F A B E C D ∴EB = EC， ∴□ BECF 是菱形 (菱形的定义) . 在 △EBC 中， ∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 180°-∠EBC-∠ECB= 180°-45°-45°= 90°， ∴菱形 BECF 是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形). 新知学习 变式 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°. 求证：矩形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°， ∵∠CEF=45°，∴∠CFE=45°， ∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°， ∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形 (有一组邻边相等的矩形是正方形). 新知学习 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想. 尝试·思考 正方形. 证明：如解图，连接 AC、BD， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD，AC⊥BD， ∵A1、D1分别为 AB、AD 的中点， ∴A1D1∥BD，A1D1 = BD， 同理 B1C1∥BD，B1C1 = BD，A1B1∥AC，A1B1 = AC， A B C D A1 B1 C1 D1 新知学习 ∴A1D1 = B1C1，A1D1∥B1C1， ∴四边形 A1B1C1D1 是平行四边形， ∵AC = BD， ∴A1B1 = B1C1， ∴四边形 A1B1C1D1 是菱形， ∵AC⊥BD，A1B1∥AC，A1D1∥BD， ∴A1B1⊥A1D1，∠D1A1B1=90°， ∴四边形 A1B1C1D1 是正方形． A B C D A1 B1 C1 D1 如果四边形ABCD是矩形呢？ 新知学习 H G F E D C B A 证明：如解图，连接 AC、BD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ EF = GH = FG = EH. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 猜想 以矩形各边的中点为顶点，得到一个菱形. 新知学习 (2)类比上述问题，你还能提出什么问题？你能解决它们吗？ 尝试·思考 如果以平行四边形各边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？ 如果以菱形各边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？ 如果以任意一个四边形各边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？ 新知学习 A B C D 猜想1 证明：如解图，连接 AC、BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. E F G H 以平行四边形各边的中点为顶点，得到一个平行四边形. 新知学习 猜想2 以菱形各边的中点为顶点，得到一个矩形. 证明：如解图，连接 AC，BD交于点O， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 的中点， ∴ EF∥AC ，同理可得 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD， ∴ EF∥HG，EH∥FG，∴四边形 EFGH 、PEQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠1 = 90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. O P Q 1 2 A B C D E F G H 新知学习 ∵E，H 分别是 AB，BC 的中点. C A B D E F G H ∴EH∥AC， EH = AC. 同理可得， FG∥AC， FG = AC. ∴EH = FG，EH∥FG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 证明：如解图，连接AC、BD. 猜想3 以任意一个四边形各边的中点为顶点，得到一个平行四边形. 新知学习 决定中点四边形形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系. 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相 等且垂直 正方形 (3)在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律，请说明理由. 尝试·思考 新知学习 1.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c ③a→b→c 则正确的是( ) A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ C 随堂练习 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，不能使矩形ABCD为正方形的是(　    ) A. AC⊥BD B. AC平分∠BAD C. AB=BC D D. △OCD是等边三角形 随堂练习 3.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形. 下列四个叙述： ①中点四边形EFGH一定是平行四边形； ②当四边形ABCD是矩形，中点四边形EFGH也是矩形； ③当四边形ABCD是菱形，中点四边形EFGH也是菱形； ④当四边形ABCD是正方形，中点四边形EFGH也是正方形． 其中正确的结论是________ .(只填序号) ①④ 随堂练习 4. 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，分别以点 B，C 为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； 解：四边形BPCO为平行四边形． 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OC=OA= AC，OB=OD= BD， ∵以点B，C为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P， ∴OB=CP，BP=OC， ∴四边形BPCO为平行四边形. 随堂练习 (2)请说明当□ ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形BPCO为正方形． ∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°， ∵AC=BD，OB= BD，OC= AC， ∴OB=OC， ∴□ BPCO为正方形． 4. 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，分别以点 B，C 为圆心， AC， BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． 随堂练习 5.如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2cm/s的速度同时分别向点B，C，D，A运动. 在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？请说明理由. 解：四边形EFGH是正方形．理由如下： 设运动时间为 t，∴AE=BF=CG=DH=2t， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=10cm， ∴BE=CF=DG=AH， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG， 随堂练习 5.如图，正方形ABCD的边长为10cm，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D出发，以2cm/s的速度同时分别向点B，C，D，A运动. 在运动的过程中，四边形EFGH是何种四边形？请说明理由. ∴EH=EF=FG=HG， ∴四边形EFGH是菱形， ∵△AEH≌△BFE， ∴∠AEH=∠EFB， ∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°， ∴∠HEF=90°，∴菱形EFGH是正方形. 随堂练习 定义法 有一组邻边相等的矩形是正方形. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 矩形法 菱形法 对角线互相垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 1.正方形的判定方法： 课堂小结 图形 原图形 中点四边形 常见 结论 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 2.中点四边形： 课堂小结 $