2026年高二暑假数学复习回顾、查漏补缺专项练习-离散型随机变量分布列、数学期望与方差

**基本信息** 以六类题型为框架，系统整合分布列性质、期望方差计算及实际应用，形成“概念-性质-应用”递进逻辑，突出方法迁移与数学思维培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算类|题1|利用分布列概率和为1求参数，代入公式算期望方差|分布列基本性质→期望方差定义| |线性变换性质类|题2|应用线性变换期望方差公式|性质公式直接应用| |逆推参数类|题3|联立期望方差方程求分布列参数|方程思想解决逆向问题| |性质综合类|题6|结合等差数列等条件，用概率非负性及和为1性质|分布列性质与代数知识综合| |累积概率类|题7|根据累积概率确定参数区间|累积概率概念理解与应用| |实际应用类|题11-12|推导分布列，计算期望并决策优化|数学眼光观察现实场景，数学语言表达模型|

离散型随机变量分布列、数学期望与方差解析 1.基础计算类：利用分布列 “概率和为 1” 的性质求解未知参数，再代入公式计算期望与方差； 2.线性变换性质类：考察随机变量线性变换的期望、方差公式：，； 3.逆推参数类：已知期望、方差的数值，反向联立方程求解分布列中的概率参数，再计算指定事件的概率； 4.性质综合类：结合等差数列、概率取值范围等条件，考察分布列的概率非负性、和为 1 的性质，求解概率值与参数范围； 5.累积概率类：根据累积概率的取值，确定随机变量对应参数的取值区间，考察对分布列累积概率的理解； 6.实际应用类：结合竞赛、抽奖、比赛等真实场景，先推导随机变量的分布列，再计算期望并进行决策优化. 1.已知随机变量X的分布列为 X 0 2 3 P m 2m 则E(X)＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析: 由，即，解得, 因此 2.随机变量的取值范围为，若，，则（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析: 设，, 所以，即, ，即, 联立方程解得，。 方差 3. 已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析:先计算, 由期望的线性变换性质，，解得 4.已知随机变量的分布列为,则（　　） X －1 0 1 P A. B. C. D. 答案　B 解析: 先计算期望， 方差， 由方差的线性变换性质， 5.若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析: 由两点分布性质，，故 A 错误； 期望，故 B 错误； 方差，故 C 正确，D 错误 6.随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，则公差的取值范围是（　　） X －1 0 1 P A. B. C. D. 答案　A 解析:∵，，成等差数列，∴。 又，∴，即, 设公差为，则，, 由分布列概率非负性：且，解得 7.若随机变量的分布列为 X －3 －1 0 2 4 P 则当时，实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析: 计算累积概率：， ，, 当时，需满足，即取值范围为 8.已知随机变量的分布列为 X －2 0 2 P 若，则（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析:由分布列性质得，即, 由期望公式得，即, 联立解得，, 因此 9(多选题).若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 答案　CD 解析: 由两点分布性质，，故 A 错误； ，故 B 错误； ，故 D 正确； 由方差性质，，故 C 正确 10(多选题).已知随机变量的分布列如下，下列说法正确的有（　　） X 1 2 3 P A. B. C. 若，则 D. 若，则 答案　ABC 解析:对于 A：，A 正确； 对于 B：，B 正确； 对于 C：由期望性质，，C 正确； 对于 D：由方差性质，，D 错误。 11.某商场举办周年庆抽奖活动，设置了 A、B 两类抽奖券。规则如下：参与者先选择一类抽奖券抽取，若未中奖则活动结束；若中奖则再从另一类抽奖券中抽取一张，无论中奖与否活动结束。A 类券中奖得 20 元代金券，否则得 0 元；B 类券中奖得 50 元代金券，否则得 0 元。 已知顾客小李抽中 A 类券的概率为 0.7，抽中 B 类券的概率为 0.5，且中奖概率与抽取顺序无关。 (1) 若小李先抽 A 类券，记为小李获得的代金券总额，求的分布列； (2) 为使获得代金券的期望最大，小李应选择先抽哪类券？请说明理由。 解：(1) 若先抽 A 类券，的所有可能取值为 0，20，70, 未中 A 类券：； 中 A 类券，未中 B 类券：； 中 A 类券，也中 B 类券：, 因此的分布列为： 0 20 70 (2) 先抽 A 类券时，期望元, 若先抽 B 类券，记为获得的代金券总额，的所有可能取值为 0，50，70, 未中 B 类券：； 中 B 类券，未中 A 类券：； 中 B 类券，也中 A 类券：, 的分布列为： 0 50 70 期望元, 因为，即，所以小李应选择先抽 B 类券，能获得更大的代金券期望。 12某篮球趣味赛设置两种投篮方案： 方案一：在罚球线投篮 2 次，每次投中得 10 分，不中得 0 分，每次投中概率均为 0.7，各次投篮相互独立； 方案二：在三分线投篮 1 次，投中得 25 分，不中得 0 分，投中概率为 0.5。 (1) 若选择方案一，记总得分为，求的分布列与数学期望； (2) 从得分期望的角度判断，选择哪种方案得分更高？并说明理由。 解：(1) 方案一中，的所有可能取值为 0，10，20, ， ， , 因此的分布列为： 0 10 20 数学期望分; (2) 设方案二的得分为，则的所有可能取值为 0，25, ，， 分, 因为，即，所以从得分期望的角度，选择方案一得分更高。 学科网（北京）股份有限公司 $ 离散型随机变量分布列、数学期望与方差 1.基础计算类：利用分布列 “概率和为 1” 的性质求解未知参数，再代入公式计算期望与方差； 2.线性变换性质类：考察随机变量线性变换的期望、方差公式：，； 3.逆推参数类：已知期望、方差的数值，反向联立方程求解分布列中的概率参数，再计算指定事件的概率； 4.性质综合类：结合等差数列、概率取值范围等条件，考察分布列的概率非负性、和为 1 的性质，求解概率值与参数范围； 5.累积概率类：根据累积概率的取值，确定随机变量对应参数的取值区间，考察对分布列累积概率的理解； 6.实际应用类：结合竞赛、抽奖、比赛等真实场景，先推导随机变量的分布列，再计算期望并进行决策优化. 1.已知随机变量X的分布列为 X 0 2 3 P m 2m 则E(X)＝(　　) A. B. C. D. 2.随机变量的取值范围为，若，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 且，若，则（　　） A. B. C. D. 4.已知随机变量的分布列为,则（　　） X －1 0 1 P A. B. C. D. 5.若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 6.随机变量的分布列如下，其中，，成等差数列，则公差的取值范围是（　　） X －1 0 1 P A. B. C. D. 7.若随机变量的分布列为 X －3 －1 0 2 4 P 则当时，实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8.已知随机变量的分布列为 X －2 0 2 P 若，则（　　） A. B. C. D. 9(多选题).若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. D. 10(多选题).已知随机变量的分布列如下，下列说法正确的有（　　） X 1 2 3 P A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 某商场举办周年庆抽奖活动，设置了 A、B 两类抽奖券。规则如下：参与者先选择一类抽奖券抽取，若未中奖则活动结束；若中奖则再从另一类抽奖券中抽取一张，无论中奖与否活动结束。A 类券中奖得 20 元代金券，否则得 0 元；B 类券中奖得 50 元代金券，否则得 0 元。 已知顾客小李抽中 A 类券的概率为 0.7，抽中 B 类券的概率为 0.5，且中奖概率与抽取顺序无关。 (1) 若小李先抽 A 类券，记为小李获得的代金券总额，求的分布列； (2) 为使获得代金券的期望最大，小李应选择先抽哪类券？请说明理由。 12某篮球趣味赛设置两种投篮方案： 方案一：在罚球线投篮 2 次，每次投中得 10 分，不中得 0 分，每次投中概率均为 0.7，各次投篮相互独立； 方案二：在三分线投篮 1 次，投中得 25 分，不中得 0 分，投中概率为 0.5。 (1) 若选择方案一，记总得分为，求的分布列与数学期望； (2) 从得分期望的角度判断，选择哪种方案得分更高？并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $