2026年高二暑假数学复习回顾、查漏补缺专项练习- 计数原理

**基本信息** 以计数原理为核心，通过7类题型构建“考点-逻辑-特征”三维方法体系，培养逻辑推理与模型意识，实现知识结构化与解题程序化。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分步组合计数|4题|拆分步骤-组合计算-乘法原理，几何计数用排除法|以乘法原理为基，组合数应用延伸至几何场景| |有限制条件排列|2题|受限元素/位置优先，分步相乘|排列数公式结合特殊条件处理，强化有序思维| |可重复型分步计数|2题|独立决策连乘，区分重复与不重复模型|乘法原理拓展，构建可重复选取计数框架| |几何计数与组合规律|3题|转化为组合模型，归纳推理通式|组合几何意义应用，培养空间观念与抽象能力| |分组与分配|6小题|按均匀性分类，无序分组需消序|组合深化，区分分组与分配的逻辑差异| |二项式定理通项与系数|5题|通项公式应用，系数和与最值规律|计数原理延伸，建立二项展开式的符号表达| |二项式定理整除证明|1题|底数拆分法，二项展开验证余项|二项式定理实际应用，强化数学论证能力|

高二暑假复习回顾、查漏补缺- 计数原理解析 题型 1：分步组合计数（乘法原理 + 组合） 核心考点：分类加法、分步乘法计数原理，组合数的无顺序选取应用，排除法（正难则反）。 解题逻辑：将完整任务拆分为多个独立步骤，每一步用组合数计算选法，再通过乘法原理相乘；几何计数类常先算总组合数，再减去共线、共面等不符合条件的情况。 典型特征：“选若干个”“无顺序要求”，常见于选课、分票、多边形对角线、立体几何顶点计数等场景。 1. 学生可从本年级开设的8门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是________ 【答案】560 【详解】从8门选修课中任意选择3门有种选法; 从5种课外活动小组中选择2种有种选法.所以不同的选法种数为 2. 6个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是________ 【答案】15. 【详解】因为6个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完， 所以只有2人没有分到票，其余4人分到1人1张票， 又因为无座票，所以没有顺序，所以共有种不同的分法. 3. 正十边形的对角线的条数是________ 【答案】35 【详解】任意两点连线的条数，再排除边数， 故正十边形的对角线的条数是. 4. 以长方体的8个顶点为顶点的三棱锥的个数是________ 【答案】58 【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况，所以以长方体的8个顶点为顶点的三棱锥的个数是. 题型 2：有限制条件的排列问题 核心考点：排列数公式，特殊元素/特殊位置优先策略。 解题逻辑：优先安排有位置限制的元素（或优先填充受限位置），再对剩余无限制元素做全排列；核心是 “受限优先，分步相乘”。 典型特征：排队出场、排课程表类问题，指定某元素不能在某个/某几个位置。 5. 安排7名选手演出顺序时，要求某选手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________ 【答案】3600 【详解】先排这名选手有种方法，余下6名歌手全排列为中方法. 所以不同排法的种数为种. 6. 某班一天上午有 5 节课，下午有 3 节课，安排 8 门不同课程，要求物理课必须排在上午，美术课必须排在下午，不同的排法种数是______ 【答案】10800 【详解】由题意，要求物理课排在上午，美术课排在下午，有种 再排其余6节，有种，根据乘法原理，共有种方法 题型 3：可重复型分步计数 核心考点：分步乘法计数原理，可重复选取的计数模型。 解题逻辑：每个选择主体独立决策、互不影响，总方法数为每一步选择数的乘积；关键是区分 “可重复选取” 与 “不可重复选取”，不可重复用排列/组合，可重复直接乘方/连乘。 典型特征：多人独立选讲座、多项式乘法展开项数、投信问题等。 7. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________； 【答案】243 【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法，所以5名同学共有种选择方法. 8. 乘积展开后，共有________项； 【答案】 【详解】根据多项式的乘法法则，展开后每一项都必须是在 三式中任取一项后相乘，得到的式子， 而在中有种取法，在中有种取法，在中有种取法，由乘法原理，可得共有：种情况. 有项. 题型 4：几何计数与组合规律推导 核心考点：组合的几何意义，归纳推理与组合公式的对应。 解题逻辑：转化为 “两两配对产生一个结果” 的组合模型： 直线交点、平面交线：每 2 个对象产生 1 个结果，对应 平行四边形、平行六面体：分步从每组平行线/平行平面中选 2 个，相乘得到总数 典型特征：直线交点数、平面交线数、平行四边形/平行六面体计数，含字母的通式推导。 9（1）平面内有个点，任意三点不共线，一共可以连成____条直线； （2）空间有个点，任意四点不共面，一共可以确定____个平面。 【答案】， 10.平面内有两组平行线，第一组有 6 条，第二组有 4 条，两组直线两两相交且不垂直，一共可以构成______个平行四边形。 【答案】90 11.空间有三组平行平面，第一组有 4 个，第二组有 3 个，第三组有 5 个，不同组的平面都相交且交线不都平行，可以构成____个平行六面体。 【答案】180 题型 5：分组与分配问题（重点难点） 核心考点：不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组；无序分组与有序分配的区别。 解题逻辑： 不均匀无序分组：分步选取后直接相乘，无需消序 不均匀有序分配：先分组，再乘以份数的全排列 均匀无序分组：分步选取后，除以均匀份数的阶乘消去顺序 均匀有序分配：可先分组再分配，也可直接分步给对象选取 部分均匀分组：仅对数量相同的部分除以对应阶乘消序 典型特征：分书、分物品问题，明确每份数量，区分是否指定分配对象。 12.按下列要求分配 8 本不同的书，各有多少种不同的分配方法？ (1) 分成三份，1 份 1 本，1 份 3 本，1 份 4 本； (2) 甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 3 本，一人得 4 本； (3) 平均分成四份，每份 2 本； (4) 平均分配给甲、乙、丙、丁四人，每人 2 本； (5) 分成三份，1 份 6 本，另外两份每份 1 本； (6) 甲、乙、丙三人中，一人得 6 本，另外两人每人得 1 本. 【详解】(1)种. (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有种. (3)无序均匀分组问题.共有种. (4)在第(3)问的基础上，还应考虑再分配，共有种. (5)这是部分均匀分组问题，共有种. (6)在第(5)问的基础上，还应考虑再分配，共有种. 题型 6：二项式定理通项与系数问题 核心考点：二项展开式通项公式、二项式系数的对称性与最值、各项系数和、指定幂次项系数。 解题逻辑： 通项公式：，用于求指定项、常数项、指定幂次项 各项系数和：令所有变量取值为 1 代入原式计算 二项式系数最大项：为偶数时中间一项最大，为奇数时中间两项最大 多项展开指定项系数：拆分为多个二项式乘积，分别计算对应项系数再求和 典型特征：求常数项、指定项系数、系数和、已知二项式系数关系求。 13. 的展开式中，系数最大的项是第________项． 【答案】 【详解】因为在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，而二项展开式共有项，中间项的二项式系数最大， 所以第项的系数最大， 14. 在 的展开式中，各项系数的和是________ 【答案】1 【详解】令，则，所以各项系数的和是1． 15. （1）求 的展开式中第 3 项； （2）求 的展开式的常数项； （3）求 的展开式中 的系数； （4）求的展开式中的系数； （5）求的展开式中的系数． 【详解】（1）,展开式中第 3 项是； （2）展开式的通项为，令得， 所以 的展开式的常数项是； （3） 的展开式中 的项是 所以 的展开式中 的系数是24； （4）， 展开式中含的系数为：的含的系数加上其含的系数加上其含项的系数， 展开式的通项为， 令，3，2分别得展开式含，，项的系数为，，， 故展开式中含的系数为：， （5）的展开式中的系数是． 题型 7：二项式定理的整除证明 核心考点：二项式定理在整数整除中的应用。 解题逻辑：将底数拆分为 “除数的倍数 + 余数” 的形式，用二项式定理展开，展开式除最后余项外均含除数因子，验证余项可被除数整除即可。 典型特征：证明含指数的代数式能被某整数整除。 16. 用二项式定理证明能被7整除． 【详解】 能被7整除. 所以能被7整除. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假复习回顾、查漏补缺- 计数原理解析 题型 1：分步组合计数（乘法原理 + 组合） 核心考点：分类加法、分步乘法计数原理，组合数的无顺序选取应用，排除法（正难则反）。 解题逻辑：将完整任务拆分为多个独立步骤，每一步用组合数计算选法，再通过乘法原理相乘；几何计数类常先算总组合数，再减去共线、共面等不符合条件的情况。 典型特征：“选若干个”“无顺序要求”，常见于选课、分票、多边形对角线、立体几何顶点计数等场景。 1. 学生可从本年级开设的8门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是________ 2. 6个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是________ 3. 正十边形的对角线的条数是________ 4. 以长方体的8个顶点为顶点的三棱锥的个数是________ 题型 2：有限制条件的排列问题 核心考点：排列数公式，特殊元素/特殊位置优先策略。 解题逻辑：优先安排有位置限制的元素（或优先填充受限位置），再对剩余无限制元素做全排列；核心是 “受限优先，分步相乘”。 典型特征：排队出场、排课程表类问题，指定某元素不能在某个/某几个位置。 5. 安排7名选手演出顺序时，要求某选手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________ 6. 某班一天上午有 5 节课，下午有 3 节课，安排 8 门不同课程，要求物理课必须排在上午，美术课必须排在下午，不同的排法种数是______ 题型 3：可重复型分步计数 核心考点：分步乘法计数原理，可重复选取的计数模型。 解题逻辑：每个选择主体独立决策、互不影响，总方法数为每一步选择数的乘积；关键是区分 “可重复选取” 与 “不可重复选取”，不可重复用排列/组合，可重复直接乘方/连乘。 典型特征：多人独立选讲座、多项式乘法展开项数、投信问题等。 7. 5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________； 8. 乘积展开后，共有________项； 题型 4：几何计数与组合规律推导 核心考点：组合的几何意义，归纳推理与组合公式的对应。 解题逻辑：转化为 “两两配对产生一个结果” 的组合模型： 直线交点、平面交线：每 2 个对象产生 1 个结果，对应 平行四边形、平行六面体：分步从每组平行线/平行平面中选 2 个，相乘得到总数 典型特征：直线交点数、平面交线数、平行四边形/平行六面体计数，含字母的通式推导。 9（1）平面内有个点，任意三点不共线，一共可以连成____条直线； （2）空间有个点，任意四点不共面，一共可以确定____个平面。 10.平面内有两组平行线，第一组有 6 条，第二组有 4 条，两组直线两两相交且不垂直，一共可以构成______个平行四边形。 11.空间有三组平行平面，第一组有 4 个，第二组有 3 个，第三组有 5 个，不同组的平面都相交且交线不都平行，可以构成____个平行六面体。 题型 5：分组与分配问题（重点难点） 核心考点：不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组；无序分组与有序分配的区别。 解题逻辑： 不均匀无序分组：分步选取后直接相乘，无需消序 不均匀有序分配：先分组，再乘以份数的全排列 均匀无序分组：分步选取后，除以均匀份数的阶乘消去顺序 均匀有序分配：可先分组再分配，也可直接分步给对象选取 部分均匀分组：仅对数量相同的部分除以对应阶乘消序 典型特征：分书、分物品问题，明确每份数量，区分是否指定分配对象。 12.按下列要求分配 8 本不同的书，各有多少种不同的分配方法？ (1) 分成三份，1 份 1 本，1 份 3 本，1 份 4 本； (2) 甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 3 本，一人得 4 本； (3) 平均分成四份，每份 2 本； (4) 平均分配给甲、乙、丙、丁四人，每人 2 本； (5) 分成三份，1 份 6 本，另外两份每份 1 本； (6) 甲、乙、丙三人中，一人得 6 本，另外两人每人得 1 本. 题型 6：二项式定理通项与系数问题 核心考点：二项展开式通项公式、二项式系数的对称性与最值、各项系数和、指定幂次项系数。 解题逻辑： 通项公式：，用于求指定项、常数项、指定幂次项 各项系数和：令所有变量取值为 1 代入原式计算 二项式系数最大项：为偶数时中间一项最大，为奇数时中间两项最大 多项展开指定项系数：拆分为多个二项式乘积，分别计算对应项系数再求和 典型特征：求常数项、指定项系数、系数和、已知二项式系数关系求。 13. 的展开式中，系数最大的项是第________项． 14. 在 的展开式中，各项系数的和是________ 15. （1）求 的展开式中第 3 项； （2）求 的展开式的常数项； （3）求 的展开式中 的系数； （4）求的展开式中的系数； （5）求的展开式中的系数． 题型 7：二项式定理的整除证明 核心考点：二项式定理在整数整除中的应用。 解题逻辑：将底数拆分为 “除数的倍数 + 余数” 的形式，用二项式定理展开，展开式除最后余项外均含除数因子，验证余项可被除数整除即可。 典型特征：证明含指数的代数式能被某整数整除。 16. 用二项式定理证明能被7整除． 学科网（北京）股份有限公司 $