河北省承德市双滦区实验中学2026年高二数学暑假专项测试卷-随机变量及其分布和成对数据的分析

**基本信息** 高二暑假数学专项测试卷聚焦概率统计，以河南旅游、人形机器人、农业科研等现实情境为载体，考查随机变量、回归分析、独立性检验等核心知识，体现用数学眼光观察现实世界、用数学语言表达实际问题的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、条件概率、相关系数|如第5题以河南景点选择考条件概率，情境贴近生活| |多选题|3/18|百分位数、正态分布、残差|第9题综合考查统计概念辨析，培养严谨思维| |填空题|3/15|离散型随机变量、全概率公式|第13题两批产品次品率计算，强化概率应用| |解答题|5/77|二项分布、回归分析、独立性检验|18题结合玉米叶片与百粒鲜重数据，考回归方程与正态分布应用，体现数学建模能力|

河北省承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（7） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.24 D．0.36 2．已知随机事件，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．下列散点图中，两个变量的相关系数分别为，则最大的是（   ） A． B． C． D． 4．根据4对数据，，，绘制的散点图显示，样本点呈直线趋势，且经验回归方程为，则（    ） A．2 B．3 C． D．4 5．近年来，河南旅游事业得到飞速发展，越来越多的游客选择来河南旅游，现甲、乙两位游客准备从万岁山武侠城、清明上河园、只有河南、龙门石窟、老君山五处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往龙门石窟”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（     ） A． B． C． D． 6．连续型随机变量，记函数，则的图像（） A．在上不单调 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 7．从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 8．某学习小组对一组数据（，2，…，5）进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数为2 B．若随机变量，且，则 C．变量关于变量的经验回归方程为，则样本点的残差为-1 D．在独立性检验中，随机变量的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 10．已知女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程，则（   ） A．与具有正的线性相关关系 B．当父亲身高为时，女儿身高一定为 C．若父亲身高每增加，则女儿身高平均增加 D．若残差越小，说明模型的拟合效果越好 11．下列说法中正确的是（   ） A．回归直线恒过样本点的中心. B．两个变量线性相关性越强，则相关系数r就越接近1. C．已知随机变量则，. D．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知离散型随机变量，且，，则________. 13．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________． 14．下列说法中正确的有______（填正确说法的序号）. ①若样本数据的方差为4，则数据的标准差为4； ②将两个具有相关关系的变量的一组数据调整为，决定系数不变； ③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱； ④若事件满足，，，则有. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）假设某种人寿保险规定，投保人没活过60岁时，保险公司要赔偿100万元；活过60岁时，保险公司不赔偿，已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过60岁的概率都为0.9．随机抽取3个投保人，设其中活过60岁的人数为，保险公司要赔偿这三人的总金额为万元． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求． 16．(本小题15分）某地区出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务．已知每次独立执行高难度动作时，机器人成功的概率为0.9，失败的概率为0.1，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2． (1)若从，两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若，机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列和数学期望． 17．(本小题15分）某食品加工厂有、两条面包烘焙生产线，随机抽样测量面包重量（单位：）.规定：重量落在为优等品；落在和为合格品；落在和为次品.同一时间内两条生产线上随机抽取的面包数量如下表： 生产线 (1)完成优等品、非优等品的列联表，并依据的独立性检验，判断面包为优等品是否与生产线有关联； (2)将每条生产线的样本频率视为概率.从、两条生产线分别随机抽取个面包，设为个面包中优等品的个数，求； (3)工厂将、两条生产线的面包分别装箱售卖，每箱均装有个面包.面包出厂前工厂可自主选择是否整箱检验：若选择检验，每个面包的检测费用为元，检出的次品全部替换为合格产品；若选择不检验，每售出个次品需赔付元.将每条生产线的样本频率作为单个面包的次品概率，分别计算、生产线整箱面包的检测费用与不检验的赔付期望，并据此分别判断两条生产线的面包是否需要整箱检验. 附：，其中；. 18．(本小题17分）某农业科研团队为了研究某新型玉米品种的生长特性，选取了该农场一块试验田中的10株长势均匀的玉米，测量了每株玉米的叶片总面积（单位：）和对应的百粒鲜重（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 叶片总面积 6 8 7 9 8 5 7 10 6 7 百粒鲜重 21 27 24 28 26 20 25 29 23 27 经计算得：，，，， (1)根据以上数据建立百粒鲜重关于叶片总面积的经验回归方程，并预测当一株玉米的叶片总面积为时，其百粒鲜重约为多少克？（运算过程中，结果均精确到） (2)若该品种玉米的百粒鲜重近似服从正态分布，其中为样本均值，为样本标准差，若规定百粒鲜重超过 g即为“特级品”，试估算该农场种植的20000株玉米中“特级品”大约有多少株？（参考数值：随机变量服从正态分布，则，） 参考公式： 对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 19．(本小题17分）强基计划于年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．这些学生参与了某农业科研团队探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响的计算：选取5组不同的光照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下数据： 每日光照时长 合格采收量 4 8 (1)求变量与的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求关于的经验回归方程； (2)当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数的分布列和数学期望； (3)在夏令营闭幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 附：①样本相关系数， 当时，相关性较强，当时，相关性一般； ②经验回归方程参考公式：， ； ③，，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B D D A C AC AC 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】已知，故， 计算期望： 2．A 【详解】 . 3．A 【详解】易得图1和图3中的点呈正相关，即， 图1中的点较集中在一条直线附近，线性相关性较强，即， 图2图4中的点呈负相关，即皆负，无需考虑，所以最大. 4．B 【详解】因为，，故，解得. 5．D 【详解】由题意可得， “甲和乙中有一人选择龙门石窟，另一人不选择龙门石窟”，则， 由条件概率公式可得. 6．D 【详解】 由连续型随机变量，可知根据正态分布密度函数曲线关于直线对称， 函数表示正态分布密度函数与及轴围成的面积，且易知. 对于A、B：函数在上是单调递增的，而递增函数不可能有对称轴，故A、B错误； 对于C、D：由，可猜想的图象关于点对称，证明：， 所以的图象关于点对称，故C错误，D正确. 7．A 【详解】设事件为“取出的个小球中至少有个是红球”，事件为“取出的个小球都是红球”，从个球中任取个，总取法为种， 包含一红一白、两红两类情况，共种，故， 两红的取法共种，故， 由于，故，根据条件概率公式： ，故A正确. 8．C 【详解】由题意知，回归直线方程经过错误数据的样本中心点，， 则. 所以错误数据横坐标总和，纵坐标总和. 修正后横坐标总和，纵坐标总和， 所以修正后，， 代入修正后回归直线方程得，解得. 9．AC 【详解】对于A选项，数据共有6个数，则，所以第25百分位数为2，故A正确；对于B选项，由，得，故B错误； 对于C选项，当时，，所以样本点的残差为，故C正确； 对于D选项，在独立性检验中，随机变量的观测值越大，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小，故D错误；故选：AC． 10．AC 【详解】选项A：由题目可知，所以与具有正的线性相关关系，故选项A正确； 选项B：当父亲身高为时，则其女儿身高可能为，而不是一定，故选项B错误；选项C：由题目可知，即当父亲身高每增加，则女儿身高平均增加，故选项C正确；选项D：根据残差的定义可知，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好，并非残差，故选项D错误. 11．AC 【详解】在A选项中，根据回归直线的基本性质， 回归直线恒过样本点的中心，A正确， 在B选项中，相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量线性相关性越强， 负相关时接近，并非只有接近1才代表相关性强，B错误， 在C选项中，若，则期望，方差， 所以，， 根据方差性质得，C正确， 在D选项中，原7个数平均数为，总和为，加入新数据后， 8个数的平均数仍为，原方差满足，化简得， 新方差为，方差发生改变，D错误. 12． 【详解】由随机变量，且，，得且，所以. 13．（或） 【详解】这件产品是次品的概率. 14．①②④ 【详解】①：根据方差性质：若原数据方差为，则数据的方差， 已知原方差，新数据的方差为，标准差为，故①正确. ②：决定系数反映拟合效果，将每个加3后，的均值也加3，残差（）不变，残差平方和与总偏差平方和都不变，因此不变，故②正确. ③：线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关性越强，越接近0相关性越弱，故③错误.④：由，可得，因此，故④正确. 15．【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3，且． ，， ，； 从而的分布列为 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）因为，所以． （3）因为，由可得，所以． 16．【详解】（1）设事件为选用机器人，事件为选用机器人，事件为所选机器人执行高难度动作成功.则， 所以； 即从，两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，该机器人成功的概率为； （2）由题意可知的可能取值为，且机器人执行动作相互独立， 所以；；. 所以的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 所以的数学期望为. 17．【详解】（1）由题意得列联表如下： 优等品 非优等品 合计 合计 零假设为优等品与生产线无关联，， 因为，依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，面包是否为优等品与生产线有关联. （2）解法一：生产线抽取单个面包为优等品的概率为， 生产线抽取单个面包为优等品的概率为， 的所有可能取值为、、、、， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 . 解法二：设为生产线抽取个面包中的优等品数量，则， 设为生产线抽取个面包中的优等品数量，则. 由题意，，. （3）记、生产线次品率为、，则，， 生产线整箱面包的次品数， 生产线整箱面包的次品数， 每箱面包全检成本：元， 对于生产线，不检验的赔付期望为：元， 因为，故生产线无需整箱检验. 对于生产线，不检验的赔付期望：元， 因为，故生产线需要整箱检验. 18．【详解】（1），，，， 所以．． 经验回归方程为． 所以玉米的叶片总面积为 时，百粒鲜重为． （2），， ，由，得， 所以，“特级品”大约有株． 19．【详解】（1）由表中数据可得： ， 已知，，， ，， 则，，相关性较强， ，，故经验回归方程为：． （2）时：， 时：， 时：， 时：， 时：， 故异常数据有2组，正常数据有3组， 表示取出的异常拟合数据的组数，可取， ，，， 0 1 2 数学期望： ． （3）甲答对题数，乙答对题数，小组获胜要求， 甲、乙答对题数互相独立， 则， 令，且，故，因为，且，故 ，当时取最大值，即， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $