第1章 三角形 单元检测 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学三角形单元检测卷，立足单元复习，通过生活情境（如人字梯稳定性、凉亭位置确定）、尺规作图及实际测量问题，覆盖三角形核心知识，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|三角形高、稳定性、角平分线性质、全等判定|第2题以人字梯拉杆设计考三角形稳定性，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6题/18分|命题真假、角平分线性质、三角形外角|第12题结合角平分线求动点距离最小值，强化几何直观| |解答题|8题/75分|三角形三边关系、全等证明、尺规作图、实际测量|第23题设计池塘距离测量方案，以数学语言解决实际问题；第21题阅读材料题，通过构造全等培养推理能力|

第1章 三角形 单元检测 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，在中，边上的高为（　　） A． B． C． D． 2．普通家用人字梯一般都会在两旁分别设计一根“拉杆”，这样设计是利用（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性 3．如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．三角形三条边的垂直平分线的交点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．同旁内角互补 B．两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 C．三角形的外角大于三角形的内角 D．对顶角相等 5．对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （　　） A．， B．， C．， D．， 6．如图，中，，平分，过点作于，测得，，则的周长是（　　） A．30 B．24 C．18 D．12 7．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 8．如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 9．两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB.小明在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有(　　). A．0个 B．1 个 C．2个 D．3个 二、填空题（每题3分，共18分） 10．命题“如果，那么”是　 　命题（填“真”或“假”）． 11． 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果……那么……”的形式：如果　 　，那么　 　. 12．如图，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为　 　． 13．如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，的度数分别为，，则这两根竹竿的夹角的度数为　 　°． 14． 如图， A D 是 的中线， C E 是 的中线， D F 是 的中线， 若 ，则 等于　 　。 15．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填写正确的序号） 三、解答题（共8题，共75分） 16．如图，已知 P 为△ABC 内任一点. （1）AB+BC+CA与2（PA+PB+PC）哪个大? 证明你的结论. （2）AB+BC+CA 与 PA+PB+PC 哪个大?证明你的结论. 17．如图，已知：、、、在同一条直线上，，，．求证： （1）； （2）． 18．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．已知△ADE的周长为8cm． （1）求BC的长； （2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为20cm，求OA的长． 19．如图，已知，，． （1）与是否全等？说明理由； （2）如果，，求的度数． 20．如图，已知，请按下列要求进行尺规作图（保留作图痕迹）． （1）作斜边的中垂线，垂足为． （2）在（1）中所得直线上，求作一点，使点到所在直线的距离等于． 21．阅读与思考 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题. 在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题． 例：如图1，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连结BD，若△ABD的面积为10，求△ABC的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点B作BH⊥CD交CD延长线于点H，CH，AB交于点E， ∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°． 在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（依据1） ∴ED＝CD（依据2），S△ADE＝S△ADC，∵，． … （1）任务一：上述解答过程中的依据1是　 　，依据2是　 　. （2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整. （3）应用：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠CBA交AC于点D，过点C作CE⊥BD交BD延长线于点E．若CE＝6，求BD的长． 22． （1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由 （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。 （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明. 23．某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长． 方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离 问：（1）方案1是否可行？并说明理由； （2）方案2是否可行？并说明理由； （3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条　 　也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】三角形的高 【解析】【解答】解：根据三角形的高的定义，可得边上的高为 AF. 故答案为：B． 【分析】根据三角形的高的定义即可得出答案。 2．【答案】C 【知识点】三角形的稳定性 【解析】【解答】解：在人字梯的中间设计的拉杆， 可从不稳定的四边形中构成一个稳定的三角形， 从而达到稳定人字梯的作用． 故选：． 【分析】根据三角形的稳定性即可求解． 3．【答案】D 【知识点】角平分线的性质 【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴凉亭的位置应为三角形三个内角的角平分线的交点， 故答案为：D． 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等求解即可. 4．【答案】D 【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角的概念；同旁内角的概念；真命题与假命题 【解析】【解答】解：A、在两直线平行的情况下，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以“同旁内角互补”这个命题缺少“两直线平行”的前提，所以原命题是假命题，不符合题意； B、必须是“两平行直线”被第三条直线所截，截得的内错角相等，所以“两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等 "这个命题缺少”两平行直线“的前提，所以原命题是假命题，不符合题意； C、准确表述应是三角形的外角大于与其不相邻的内角，所以原命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； 故答案为：D． 【分析】依据平行线性质，三角形外角性质以及对顶角的定义可分别判断各个命题的真假，即可得出答案。 5．【答案】C 【知识点】举反例判断命题真假 【解析】【解答】解：．， ∴此选项不符合题意； ．，不能证明题设为假， ∴此选项不符合题意； ．，且和都不是钝角，能证明题设是假命题， ∴此选项符合题意； ．，不能证明题设为假， ∴此选项不符合题意. 故答案为：． 、【分析】根据角的大小关系并结合题意即可求解． 6．【答案】B 【知识点】角平分线的性质 7．【答案】A 【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角 【解析】【解答】解：根据题意，得， 在和中， ， ∴， ∴判定三角形全等的依据是三边分别相等的两个三角形全等， 故答案为：A. 【分析】根据作一个角等于已知角的基本作图，可得，从而可知判定三角形全等的依据为“SSS”. 8．【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M， ∴，， ∵， ∴的周长为， 故选：A． 【分析】 由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长． 9．【答案】D 【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：在△ABD与△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(SSS)， 故③正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD与△COD中， ∴△AOD≌△COD(SAS)， ∴∠AOD=∠COD =90°， AO=OC， ∴AC⊥DB， 故①②正确； 故答案为：D . 【分析】先证明△ABD与△CBD全等， 再证明△AOD与△COD全等即可判断. 10．【答案】假 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：如果，那么，不成立，例如，但， 故命题“如果，那么”是假命题． 故答案为：假． 【分析】根据真假命题的概念即可求出答案. 11．【答案】两条直线垂直于同一条直线；这两条直线相互平行 【知识点】定义、命题、定理、推论的概念 【解析】【解答】解：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行。 【分析】垂直于同一条直线的两条直线平行”可写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”。 12．【答案】5 【知识点】角平分线的性质 13．【答案】 【知识点】三角形外角的概念及性质 【解析】【解答】解：是的外角， ， ，， ． 故答案为： ． 【分析】根据三角形的外角解题即可． 14．【答案】16 【知识点】三角形的面积；三角形的中线 【解析】【解答】解：∵ D F 是 的中线， ， ∴， 同理可得， 故答案为：16. 【分析】根据中线分三角形成两个面积相等的三角形可得结果. 15．【答案】①②③ 【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：①∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∴， ∴结论正确； ②在上截取， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴结论正确； ③作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴结论正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 【分析】①根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可判断求解； ②在上截取，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE，结合已知，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AF=AH，然后根据线段的和差AB=BH+AH可判断求解； ③作于于，根据角平分线的性质及三角形的面积可判断求解． 16．【答案】（1）解：AB＜PA+PB，BC＜PB+PC，AC＜PC+PA， 加得：AB+BC+CA＜2(PA+PB+PC). （2）解：如图，延长 BP 交AC 于D. 在△ABD中，AB+AD＞BD=PB+PD， ① 在△PDC 中，PD+DC＞PC， ② ①+②，得AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC， 即AB+AC＞PB+PC， 同理AB+BC＞PA+PC，AC+BC＞PA+PB. 相加得：2(AB+AC+BC)＞2(PA+PB+PC)，故AB+AC+BC＞PA+PB+PC. 【知识点】三角形三边关系 【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案. （2）延长 BP 交AC 于D，根据是三角形三边关系化简计算即可求出答案. 17．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）先由线段和差关系求出，然后由全等三角形的判定定理“”证得，根据全等三角形对应角相等得，最后由内错角相等，两直线平行即可得证结论； （2）由全等三角形对应角相等得，然后由全等三角形的判定定理“”证得，最后根据全等三角形对应边相等即可得证结论. （1）证明：∵， ∴， 即； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．【答案】（1）解：∵l1垂直平分AB， ∴DA＝DB. 同理，得EA＝EC. ∵△ADE的周长为8cm， ∴DA＋DE＋EA＝8cm， ∴BD＋DE＋EC＝BC＝8cm，即BC的长为8cm （2）解：如答图，连接OA，OB，OC. ∵l1垂直平分AB， ∴OA＝OB. 同理，得OA＝OC， ∵△OBC的周长为OB＋OC＋BC＝20(cm)，BC＝8cm ∴OC＝OB＝OA＝6cm 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】(1) 根据垂直平分线得DA＝DB和EA＝EC，BC即可求得。 (2) 根据垂直平分线得OA＝OB和OA＝OC，进而得出OC＝OB，OA即可求得。 19．【答案】（1）解：与全等．理由如下：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴的度数为． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）根据可以得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的对应角相等得，然后利用三角形内角和定理解题即可． （1）解：与全等．理由如下： ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）∵，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴的度数为． 20．【答案】（1）解：如下图，直线，点即为所求； （2）解：如下图，点即为所求． 【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线 【解析】【分析】（1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，过点作直线并交于点，即可获得答案； （2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可知，作∠BAC的平分线，与直线m的交点即为点． （1）解：如下图，直线，点即为所求； （2）如下图，点即为所求． 21．【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等 （2）解：如图2，剩余部分如下： ∴S△BDE＝S△BDC， ∴S△ADE+S△BDE＝S△ADC+S△BDC， ∴S△ABC＝2S△ABD＝20； （3）解：延长CE、BA交于点F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵CE⊥BE， ∴∠BEF＝∠BEC＝90°， 在△FBE和△CBE中， ， ∴△FBE≌△CBE（ASA）， ∴EF＝CE＝6， ∴CF＝EF+EC＝12， ∵∠BEF＝∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠F＝∠ACF+∠F＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（ASA）， ∴BD＝CF＝12． 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. （2）根据三角形面积即可求出答案. （3）分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，根据角平分线定义可得∠ABD＝∠CBD，再根据全等三角形判定定理可得△FBE≌△CBE（ASA），则EF＝CE＝6，根据边之间的关系可得CF=12，再根据角之间的关系可得∠ABD＝∠ACF，再根据全等三角形判定定理可得△ABD≌△ACF（ASA），则BD＝CF＝12，即可求出答案. 22．【答案】（1）解：，在和中， ，，， ，， （2）解：如图，延长到，使得，连结，. 在和中， ，，， 又，， 在中，，，， （3）解：结论：. 理由：延长到，使得. ，， ，，， ，，， ， ，， ， ，， 【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题． 23．【答案】解：（1）在△ABC和△DEC中，， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE； （2）∵BF⊥AB，DE⊥BF， ∴∠B＝∠BDE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE； （3）AB∥DE 【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：（3）只需AB∥DE即可， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠BDE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE， 故答案为：AB∥DE． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质. （1）根据，利用全等三角形的判定定理SAS定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE； （2）利用垂直的性质可得∠B＝∠BDE，再根据，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE； （3）AB∥DE，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠BDE，利用全等三角形的判定定理ASA定理可证明△ABC≌△DEC，利用全等三角形的性质可得AB＝DE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $