第2章 特殊三角形单元检测2026-2027学年浙教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦特殊三角形单元，融合2024巴黎奥运会图标（轴对称）、勾股树探究等情境，覆盖等腰/直角三角形性质与判定、全等证明等核心知识，适配单元复习，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形（第1题）、直角三角形判定（第2题）|基础巩固，情境时代性| |填空题|6/18|等腰三角形周长（第14题）、角平分线性质（第12题）|能力提升，易错点辨析| |解答题|8/72|勾股树综合探究（第24题）、动态等腰三角形证明（第22题）|创新应用，梯度分明，体现推理与模型意识|

第2章 特殊三角形 单元检测 一、选择题（每题3分，共30分） 1．2024年巴黎奥运会中国体育代表团取得了40金27银24铜的优异成绩，下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列条件中：①，②，③中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点和点都在正方形网格的格点上，则能与点组成轴对称图形的点的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形 8．如图，已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径作弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径作弧，两弧交于点B，作射线OB，那么∠AOB的度数是(　　). A．90° B．60° C．45° D．30° 9．如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（　　） A． B． C． D．6 10．若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是（　　） A．8 B．10 C．8或10 D．6 二、填空题（每题3分，共18分） 11．命题“等边三角形有一个角是”的逆命题是　 　． 12．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为　 　． 13．如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则　 　. 14．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为　 　cm. 15．如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行　 　m． 16．如图，在长方形中，点E是边上一点，将沿折叠，使得点C落在上，连结、，点F是的中点，连结，，且，则的长为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17． 五根小木棒的长度分别是7cm， 15cm， 20cm，24cm，25cm，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图形中哪个是正确的? 18．尺规作图：以线段a，b(如图)为边作等腰三角形ABC. 19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上一点，且∠BAE=25°，∠CDE=65°．求证：△ADE是直角三角形. 20．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 21．已知：如图，，交于点，，．求证：． 22．如图1，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E，F，H．易证PE+PF=CH． 证明过程如下： 如图1，连结AP． ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴S△ABP=AB·PE，S△ACP=AC·PF，S△ABC=AB·CH． 又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC， ∴AB·PE+AC·PF=AB·CH． ∵AB=AC， ∴PE+PF=CH． 如图2，当P为BC延长线上的点时，其他条件不变，PE，PF，CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 23．综合与实践 如图，在中，.以点为圆心，AB为半径画弧，交AC于点，连接BD.过点作BD的垂线，交BC于点. 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法. （1）圆圆说：“.”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由. （2）方方说：“若，则.”请你证明结论. （3）小明说：“给出条件，就可以确定的度数.”请你直接写出的度数. 24． 项目背景 我校八年级兴趣小组对“勾股树”展开了研究． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长均为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角，则　　　． 任务二 小金画出了直角，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，则． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故选项A符合题意； B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意； C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故答案为：A. 【分析】此题可根据“如果一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行求解. 2．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定 【解析】【解答】解：①，， ， ， 为直角三角形，故①符合题意； ②， 设，，， ， ， 解得：， ， 为直角三角形，故②符合题意； ③， ， ， ， 为直角三角形，故③符合题意； 综上所述，能确定是直角三角形的条件有3个， 故答案为：D． 【分析】①根据三角形内角和定理求出；②由三个角的比可设未知数列方程求出；③根据三角形内角和定理求出. 3．【答案】A 【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形 【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：A ． 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理得，由等腰三角形“三线合一”性质得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得，从而推出是等腰直角三角形，进而得，最后根据即可求解． 4．【答案】D 【知识点】直角三角形全等的判定-HL 【解析】【解答】解：因为 所以 ∴，均为直角三角形， 根据已知条件知道已经有一条直角边， 则还需要补充斜边相等即可， 即需要：，故D选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案. 5．【答案】C 【知识点】利用轴对称设计图案 【解析】【解答】解：如图，点四个点满足题意； 故答案为：C． 【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此画出相应的图形，进行判断即可． 6．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°， ∴∠ABC+∠C=140°， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°， ∵BD平分∠ABC， ∴， 故答案选：B． 【分析】根据三角形的内角和定理，与等腰三角形顶角的度数，可求出等腰三角形的底角度数；再根据角平分线的概念，即可得出结论. 7．【答案】C 【知识点】逆命题 【解析】【解答】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 ” 故答案为：C. 【分析】交换命题的题设和结论，写出逆命题即可. 8．【答案】B 【知识点】等边三角形的判定与性质；尺规作图-等腰（等边）三角形 【解析】【解答】解：由作图可知：OA=OB=AB， ∴是等边三角形， ∴∠AOB=60°， 故答案为：B. 【分析】先由作图痕迹得OA=OB=AB，从而证出是等边三角形，进而根据等边三角形的性质即可求解. 9．【答案】A 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：连接AD，如图， ∵的面积为28， ∴ ∴ ∵AB=AC=16， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：A. 【分析】连接AD，根据S△ABC=S△ABD+S△ACD=28，结合AB=AC=16，DF=2DE，即可求解. 10．【答案】B 【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：，且， ， 解得， ，恰好是等腰三角形的两条边的长，故分两种情况讨论： ①当腰长为，底边长为时，，不满足三角形三边关系定理，即“腰长为，底边长为”不符合题意； ②当腰长为，底边长为时，得的周长是， 故答案为：B． 【分析】根据绝对值和二次根式非负性可得关于m、n的方程，解方程求得，的值，根据等腰三角形的性质分两种情况讨论并结合三角形的三边关系定理即可求解． 11．【答案】有一个角是的三角形是等边三角形 【知识点】逆命题 【解析】【解答】解：命题“等边三角形有一个角是”，即如果一个三角形为等边三角形，那么有一个角为60°，则题设为一个三角形为等边三角形，结论为有一个角为60°； ∴ 逆命题为有一个角为60°的三角形是等边三角形. 故答案为：有一个角是的三角形是等边三角形. 【分析】根据逆命题的定义即可求得. 12．【答案】 【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴， ∵为的角平分线，，DE⊥AB， ∴ ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC，设DE=DC=x，由等面积法，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC，列出方程，求出x的值，进而再根据三角形面积计算公式列式计算即可. 13．【答案】10 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理 【解析】【解答】解：如图，连接BE， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 故答案为：10. 【分析】连接BE，用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形的对应边相等得DE=AE=6cm，进而在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长. 14．【答案】5 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念 【解析】【解答】解：设等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm， 根据题意，得或， 解得：或， ∵8+8=16<17， ∴8cm，8cm，17cm不构成三角形， ∴这个等腰三角形底边的长为5cm， 故答案为：5. 【分析】设等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，根据题意得关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后利用三角形三边关系即可求解. 15．【答案】10 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图，大树高为AC，小树高为BD，两树间距为BE， 两棵树的高度差为AC-BD，间距为BE=8m， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝= ＝10m． 故答案为：10. 【分析】小鸟分行的最短距离是一个两直角边分别为6m与8m的直角三角形斜边的长，根据勾股定理直接计算即可. 16．【答案】 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系 【解析】【解答】解：过作于，连接， ∵， ∴设，则， ∵在长方形中， ∴，，， ∵将沿折叠，使得点C落在上， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则，， ∵点F是的中点， ∴， ∴，， 在中， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【分析】过作于，连接，设，，由折叠可得，，，，即可得到，则，在再证明，得到，得到，，即可证，，设，，由中点得到，，最后在中利用勾股定理列方程计算即可． 17．【答案】解：图(2)是正确的，理由如下： 72=49，152=225，202=400，242=576，252=625， ∵72+242=252，152+202≠242， ∴图(1)中只有一个直角三角形； ∵72+242=252，152+202=252， ∴图(2)中有两个直角三角形； ∵152+242≠252，72+202≠252， ∴图(3)中没有直角三角形； 综上，只有图(2)是正确的. 【知识点】勾股定理的逆定理 【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，即若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此对三个图形分别进行判断. 18．【答案】解：如图，即为所求. 【知识点】等腰三角形的概念；尺规作图-等腰（等边）三角形 【解析】【分析】分两种情况作图：当线段a为等腰的腰时，作射线AD，在射线AD上截取AB=b，交射线AD于点B，分别以A，B为圆心，线段a的长为半径画两弧交于点C，连接AC，BC，即为所求；当线段b为等腰的腰时，同理可作. 19．【答案】证明：， 又 是直角三角形. 【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质 【解析】【分析】根据两直线平行，可得同旁内角的和即∠BAD+∠ADC=；根据等式性质，∠EAD+∠EDC=；根据直角三角形的判定即可判定. 20．【答案】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴180°-∠ABE=180°-∠CAD， 即， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】利用SAS证明，由全等三角形的对应角相等得到，由等角的补角相等推出，利用等角对等边求得，再根据三边相等的三角形是等边三角形即可得出结论． 21．【答案】证明：如图，连接， ∵， ∴在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】先证明，得，，从而得，进而根据等腰三角形的判定得证结论. 22．【答案】解：.证明：连结AP（图略） 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质 【解析】【分析】点P在BC上，需分类讨论点P在BC上和在BC的延长线上两种情况；根据三角形的面积公式，S=，分别求出三△ABP、△ACP、△ABC的面积；根据面积相等，可直接求出 PE+PF=CH . 23．【答案】（1）圆圆的说法正确.证明如下 由题意，得：， 因为，所以， 因为， 所以. 所以圆圆的说法正确 （2）过点作，垂足为点， 因为， 所以，又因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以 （3）. 【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】(3)如图，取BE中点F，连接AF、DF ∵BD⊥DE ∴BF=DF=EF ∵AB=AD， AF=AF ∴△ABF≌△ADF（SSS） ∴∠ADF=∠ABC=90° ∵BE=2CD ∴CD=DF ∴∠C=45° ∴∠BAC=45° 故答案为：45°. 【分析】（1）根据题意可知AB=AD，利用等腰三角形“等边对等角”的性质及直角、平角的定义即可导角说明； （2）过点作，垂足为点，根据等腰三角形“三线合一”的性质及全等三角形的判定即可证明； （3）取BE中点F，连接AF、DF，先证明△ABF≌△ADF，再由全等的性质得出∠CDF=90°，由BE=2CD进一步得出CD=DF，即可解答. 24．【答案】答：任务一：； 解：任务二：∵， ∴； 由勾股定理得， 即， ∴， 解得：， ∴； 任务三： 【知识点】勾股定理；二元一次方程组的应用-几何问题 【解析】【解答】解：任务一：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 任务二：∵， ∴； 由勾股定理得， 即， ∴， 解得：， ∴； 任务三：如图，过H作交延长线于点M， ∵， ∴， ∴； 由勾股定理得：； 设，则，； 在中，由勾股定理得， 即， ∴， 解得：， ． 故答案为：． 【分析】任务一：由周长可得，再利用正方形面积公式计算即可； 任务二：由周长可得，再利用勾股定理求出，再利用正方形面积公式计算即可； 任务三：由于，则可过作的高，则由三角形的外角性质可得，再由直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半可得，再由勾股定理可得；又由周长知，则在中应用勾股定理可得，再利用正方形面积公式计算即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $