河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（2）---方程与不等式

**基本信息** 聚焦方程与不等式，通过基础题型与综合应用（如菜园篱笆最值问题），考查数学思维中的推理能力与数学语言中的模型意识，适配新高三暑假复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、解法、函数最值|基础巩固，梯度合理| |多选题|3/18|不等式综合判断、条件应用|能力提升，考查推理意识| |填空题|3/15|取值范围、实际优化问题|创新应用，体现模型观念| |解答题|5/77|恒成立、分类讨论、实际情境（如菜园篱笆）|综合应用，强化数学眼光与实践能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（2） 范围：方程与不等式 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．设，若，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 3．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 5．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 6．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 7．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 8．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正实数a，b满足，则（    ） A．ab的最大值为8 B．的最小值为32 C．的最小值为 D．的最大值为 11．已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知，，则的取值范围是________． 13．做一个体积为，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长为________m时，用纸最少． 14．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 16．(本小题15分）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 17．(本小题15分）已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 18．(本小题17分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19．(本小题17分）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C A A A C BD ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】因为，故.选项A，若，则，. 若，易知，错误.选项B，同理，若，则，. 若，易知，故，错误.选项C，若，则. 若，易知，故，正确. 选项D，因为，所以，即，错误. 2．C 【详解】由， 因为，所以，，所以，即. 3．B 【详解】由不等式，即， 则，解得，即，所以不等式的解集为． 4．C 【详解】的解为或5，故不等式的解集为或 5．A 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 6．A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或，由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 7．A 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立，所以，所以，所以m的最大值为5. 8．C 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 9．BD 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：，因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 10．ABD 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为8，故A正确； 因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为32，故B正确； 因为，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1，故C错误；因为，所以．因为，所以，故D正确． 11．BCD 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 12． 【详解】，，又因为，，即． 13．4 【详解】设长方体的长为m，宽为m，则，即， 设共用纸的面积为，则， 当且仅当时，等号成立，故当底面的边长为4m时，用纸最少. 故答案为：4 14． 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得，所以的取值范围是. 15．【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此，所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 16．【详解】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或；当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 17．【详解】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得；. （2），，. 令，得，则，.，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3），，，得. .，，. . 当且仅当，即时等号成立.的最小值为. 18．【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为，且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是． 19．【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $