奥数培优·第3讲 最大公约数和最小公倍数(讲义)-2026-2027学年五年级上册数学人教版

【人教版】小学五年级上册奥数培优讲义·第3讲 最大公约数和最小公倍数 【前言】 华罗庚名人名言："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" 同学们，在我们的生活中，经常会遇到"最大"和"最小"的问题——比如把几根绳子截成相等的小段，最长能截多长？比如几个人同时从起点出发，多久后能再次相遇？这些有趣的问题，都和我们今天要学习的"最大公约数"与"最小公倍数"有关。让我们一起走进数的世界，探索整除的奥秘吧！ 【三维教学目标】 知识与技能： 理解公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数、互质数的概念 掌握求最大公约数和最小公倍数的四种方法：列举法、分解质因数法、短除法、辗转相除法 能运用最大公约数和最小公倍数解决实际问题 过程与方法： 通过观察、比较、归纳，总结出求最大公约数和最小公倍数的方法 经历解决实际问题的过程，培养分析问题和解决问题的能力 体会数学与生活的密切联系，提高数学应用意识 情感态度与价值观： 感受数学的规律性和简洁美 培养严谨的逻辑思维能力 激发学习数学的兴趣和探索精神 【教学重难点】 重点： 最大公约数和最小公倍数的概念 用分解质因数法和短除法求最大公约数和最小公倍数 运用最大公约数和最小公倍数解决实际问题 难点： 理解求最小公倍数的算理 区分最大公约数和最小公倍数的应用场景 用辗转相除法求较大数的最大公约数 【高频易错总提示】 ⚠️ 易错点1：概念混淆 很多同学容易把最大公约数和最小公倍数搞混，记住口诀："最大乘公共，最小乘全部"——最大公约数只乘公有质因数，最小公倍数要乘公有质因数和独有质因数。 ⚠️ 易错点2：短除法求最小公倍数时除不尽 用短除法求三个数的最小公倍数时，要除到每两个数都互质为止，不能只除到三个数互质就停。 ⚠️ 易错点3：忘记"1"的特殊性 1 和任何数的最大公约数是 1；1 和任何数的最小公倍数是 那个数本身。 ⚠️ 易错点4：应用场景判断错误 看到"最大""最长"就想最大公约数，看到"最小""再次相遇"就想最小公倍数，但一定要仔细读题，不能只看关键词。 一、知识点总结 （一）基本概念 公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 记作：(a, b) = c 例如：12的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 12 18的约数有：1, 2, 3, 6, 9, 18 12和18的公约数有：1, 2, 3, 6，其中6是最大的 记作：(12, 18) = 6 公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 记作：[a, b] = c 例如：12的倍数有：12, 24, 36, 48, 60, 72, ... 18的倍数有：18, 36, 54, 72, 90, ... 12和18的公倍数有：36, 72, ...，其中36是最小的 记作：[12, 18] = 36 互质数 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。 例如：(3, 4) = 1，所以3和4是互质数。 （二）基本性质 最大公约数性质 两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 例如：(12, 18) = 6，12÷6=2，18÷6=3，2和3互质。 最小公倍数性质 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。 即：(a, b) × [a, b] = a × b 例如：(12, 18) = 6，[12, 18] = 36，6×36 = 216，12×18 = 216 ✅ 倍数关系的特殊性质 如果两个数是倍数关系，那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数。 例如：(4, 12) = 4，[4, 12] = 12 （三）求最大公约数的方法 列举法 分别列出两个数的所有约数，找出最大的公共约数。 优点：直观易懂；缺点：数大时麻烦。 分解质因数法 把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是最大公约数。 短除法 用短除法求几个数的最大公约数，一般先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来。 辗转相除法 用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。最后的除数就是最大公约数。 适合求较大数的最大公约数。 （四）求最小公倍数的方法 列举法 分别列出两个数的倍数，找出最小的公共倍数。 分解质因数法 把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是最小公倍数。 短除法 用短除法求几个数的最小公倍数，一般先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来。 （五）解题技巧 关键词判断法 求"最大""最长""最多"：一般是求最大公约数 求"最小""最少""再次相遇"：一般是求最小公倍数 常见应用场景 截成相等小段、裁成相等正方形、分成相等小组 → 最大公约数 再次相遇、同时发车、同时完成 → 最小公倍数 二、经典例题 【例1 最大公约数基础题】★★基础 【题目】 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？ 【解题思路】 要求的数去除30、60、75都能整除，说明要求的数是30、60、75的公约数；又要求符合条件的最大的数，就是求30、60、75的最大公约数。 【完整解析】 方法一：分解质因数法 30 = 2 × 3 × 5 60 = 2 × 2 × 3 × 5 75 = 3 × 5 × 5 三个数的公有质因数是3和5 所以最大公约数 = 3 × 5 = 15 方法二：短除法 用短除法，先除以3，得到10、20、25 再除以5，得到2、4、5 此时2、4、5互质 所以最大公约数 = 3 × 5 = 15 验证： 30 ÷ 15 = 2 ✅ 60 ÷ 15 = 4 ✅ 75 ÷ 15 = 5 ✅ 都能整除，且15是最大的。 答：这个数最大是15。 【方法总结】 求几个数的最大公约数，常用分解质因数法或短除法，找出所有公有质因数相乘即可。记住："最大公约数，只乘公共的。" 【随堂小练1】 用一个数去除24、36、48，都能整除，这个数最大是多少？ 【例2 最小公倍数基础题】★★基础 【题目】 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 【解题思路】 要求的数用3、4、5除都能整除，说明要求的数是3、4、5的公倍数；又要求符合条件的最小的数，就是求3、4、5的最小公倍数。 【完整解析】 方法一：分解质因数法 3 = 3 4 = 2 × 2 5 = 5 三个数没有公有质因数，独有质因数是2×2、3、5 所以最小公倍数 = 2 × 2 × 3 × 5 = 60 方法二：短除法 3、4、5三个数互质 所以最小公倍数 = 3 × 4 × 5 = 60 验证： 60 ÷ 3 = 20 ✅ 60 ÷ 4 = 15 ✅ 60 ÷ 5 = 12 ✅ 都能整除，且60是最小的。 答：这个数最小是60。 【方法总结】 求几个数的最小公倍数，常用分解质因数法或短除法，把所有公有质因数和独有质因数相乘即可。记住："最小公倍数，公共和独有都要乘。" 【随堂小练2】 一个数用2、3、5除都能整除，这个数最小是多少？ 【例3 最大公约数应用——截铁丝】★★提升 【题目】 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 【解题思路】 要截成相等的小段，且无剩余，所以每段长度必须是120、180、300的公约数；又要求每段尽可能长，所以每段长度就是120、180、300的最大公约数。求出最大公约数后，再分别计算每根铁丝截成的段数，相加就是总段数。 【完整解析】 第一步：求120、180、300的最大公约数 用短除法： 先除以10，得到12、18、30 再除以6，得到2、3、5 2、3、5互质 所以最大公约数 = 10 × 6 = 60 即每小段最长60厘米。 第二步：计算总段数 120 ÷ 60 = 2（段） 180 ÷ 60 = 3（段） 300 ÷ 60 = 5（段） 总段数 = 2 + 3 + 5 = 10（段） 验证： 120厘米截成2段，每段60厘米，无剩余 ✅ 180厘米截成3段，每段60厘米，无剩余 ✅ 300厘米截成5段，每段60厘米，无剩余 ✅ 答：每小段最长60厘米，一共可以截成10段。 【方法总结】 截成相等小段、裁成相等正方形、分成相等小组等问题，都是求最大公约数的典型应用。看到"最长""最大"且"无剩余"，就要想到最大公约数。 【随堂小练3】 有两根绳子，长度分别是24米和36米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少米？一共可以截成多少段？ 三、拓展例题 【拓展1 最小公倍数应用——分配工人】★★★拔高 【题目】 加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 【解题思路】 要使加工生产均衡，就是要让三道工序在相同时间内生产的零件数量相等。设每小时生产的零件数为x个，那么第一道工序需要x÷3个工人，第二道工序需要x÷10个工人，第三道工序需要x÷5个工人。因为工人数必须是整数，所以x必须是3、10、5的公倍数。要求至少分配几个工人，就是求3、10、5的最小公倍数。 【完整解析】 第一步：求3、10、5的最小公倍数 用短除法： 先除以5，得到3、2、1 3、2、1互质 所以最小公倍数 = 5 × 3 × 2 = 30 即每小时至少生产30个零件。 第二步：计算各工序需要的工人数 第一道工序：30 ÷ 3 = 10（人） 第二道工序：30 ÷ 10 = 3（人） 第三道工序：30 ÷ 5 = 6（人） 验证： 10人 × 3个/小时 = 30个/小时 ✅ 3人 × 10个/小时 = 30个/小时 ✅ 6人 × 5个/小时 = 30个/小时 ✅ 三道工序生产速度相同，生产均衡。 答：第一道工序至少分配10人，第二道工序至少分配3人，第三道工序至少分配6人。 【方法总结】 同时完成、生产均衡等问题，通常是求最小公倍数的应用。关键是找到"相同时间内完成相同数量"这个隐含条件。 【随堂小练4】 甲、乙、丙三人叠纸鹤，甲每分钟叠2只，乙每分钟叠3只，丙每分钟叠4只。要使三人同时开始、同时结束叠完一批纸鹤，这批纸鹤至少有多少只？ 【拓展2 最小公倍数应用——会餐饮料】★★★拔高 【题目】 一次会餐供有三种饮料。餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人？ 【解题思路】 设参加会餐的人数为x人，那么A饮料用了x÷2瓶，B饮料用了x÷3瓶，C饮料用了x÷4瓶。因为饮料瓶数必须是整数，所以x必须是2、3、4的公倍数。先求2、3、4的最小公倍数，看看对应多少瓶饮料，再根据总瓶数65瓶计算总人数。 【完整解析】 第一步：求2、3、4的最小公倍数 用短除法： 先除以2，得到1、3、2 1、3、2互质 所以最小公倍数 = 2 × 3 × 2 = 12 即每12个人用的饮料瓶数是： A饮料：12 ÷ 2 = 6（瓶） B饮料：12 ÷ 3 = 4（瓶） C饮料：12 ÷ 4 = 3（瓶） 每12人共用饮料：6 + 4 + 3 = 13（瓶） 第二步：计算总人数 总共有65瓶饮料，65 ÷ 13 = 5 所以总人数 = 12 × 5 = 60（人） 验证： A饮料：60 ÷ 2 = 30（瓶） B饮料：60 ÷ 3 = 20（瓶） C饮料：60 ÷ 4 = 15（瓶） 总瓶数：30 + 20 + 15 = 65（瓶）✅ 与题目条件一致。 答：参加会餐的人数是60人。 【方法总结】 平均分配、同时使用等问题，常常需要先求最小公倍数，再按比例计算。关键是找到"一组"对应的数量。 【随堂小练5】 幼儿园小朋友分苹果，平均每人分2个、3个或5个都正好分完。已知苹果总数在60~100个之间，问有多少个苹果？ 【拓展3 最大公约数应用——裁正方形】★★★★挑战 【题目】 一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米。要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。问：这样的正方形的边长是多少厘米？ 【解题思路】 要截成同样大小的正方形，且无剩余，说明正方形的边长必须是长和宽的公约数；又要求边长尽可能大，所以边长就是长和宽的最大公约数。因为数比较大，可以用辗转相除法来求最大公约数。 【完整解析】 方法：辗转相除法 求2703和1113的最大公约数： 第一步：2703 ÷ 1113 = 2……477 （2703 = 1113 × 2 + 477） 第二步：1113 ÷ 477 = 2……159 （1113 = 477 × 2 + 159） 第三步：477 ÷ 159 = 3……0 （477 = 159 × 3 + 0） 最后余数为0，除数159就是最大公约数。 验证： 2703 ÷ 159 = 17 ✅ 1113 ÷ 159 = 7 ✅ 都能整除，且159是最大的。 答：这样的正方形的边长是159厘米。 【方法总结】 对于较大的数，用辗转相除法求最大公约数更方便。长方形裁正方形是最大公约数的经典应用，看到"裁正方形""无剩余""最大"就要想到最大公约数。 【随堂小练6】 用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 四、易错题专区 【易错题1 概念混淆：最大还是最小？】 【题目】 判断：两个数的公倍数一定比这两个数都大。（ ） 【错误解法】 √，因为公倍数是公共的倍数，肯定比原来的数大。 【错误分析】 忽略了倍数关系的特殊情况！如果两个数是倍数关系，那么较大数本身就是它们的最小公倍数，这时候公倍数等于较大数，不是比两个数都大。 例如：4和12的最小公倍数是12，12等于其中一个数，不是比两个数都大。 【正确解法】 ×，如果两个数是倍数关系，最小公倍数等于较大数。 【避坑提醒】 凡是说"一定""都"的判断题，一定要想想有没有特殊情况！ 【易错题2 短除法求最小公倍数除不尽】 【题目】 用短除法求12、18、24的最小公倍数。 【错误解法】 用短除法，除以6，得到2、3、4 2、3、4互质吗？不，2和4还有公约数2！ 错误地认为三个数互质就可以了，直接计算：6 × 2 × 3 × 4 = 144 【错误分析】 求三个数的最小公倍数，要除到"每两个数都互质"为止，不是只除到三个数互质。 2和4还有公约数2，还能继续除。 【正确解法】 第一步：除以6，得到2、3、4 第二步：2和4还有公约数2，再除以2，得到1、3、2 此时1、3、2每两个都互质 最小公倍数 = 6 × 2 × 1 × 3 × 2 = 72 验证：[12, 18, 24] = 72 ✅ 【避坑提醒】 求最小公倍数，短除法要除到"两两互质"！求最大公约数，只需要除到"三个数互质"。 【易错题3 应用场景判断错误】 【题目】 有一堆苹果，3个3个地数多2个，4个4个地数多2个，5个5个地数多2个，这堆苹果至少有多少个？ 【错误解法】 求3、4、5的最大公约数，(3, 4, 5) = 1，1 + 2 = 3个。 【错误分析】 完全搞反了！"至少有多少个"是求最小的数，应该用最小公倍数，不是最大公约数。 【正确解法】 如果去掉多的2个，剩下的苹果数正好是3、4、5的公倍数。 要求至少有多少个，就是求最小公倍数再加2。 [3, 4, 5] = 60 60 + 2 = 62（个） 验证： 62 ÷ 3 = 20……2 ✅ 62 ÷ 4 = 15……2 ✅ 62 ÷ 5 = 12……2 ✅ 答：这堆苹果至少有62个。 【避坑提醒】 "至少""最少"一般是最小公倍数，"最多""最大"一般是最大公约数，不要搞反了！ 五、趣味挑战题 【趣味挑战1 神奇的1001】 同学们，你们知道吗？1001是一个非常神奇的数！ 1001 = 7 × 11 × 13 所以任何一个三位数连写两次得到的六位数（比如123123），都等于这个三位数 × 1001，都能同时被7、11、13整除！ 不信你试试：123123 ÷ 7 = 17589 ✅ 是不是很神奇？ 【趣味挑战2 完美数】 6是一个"完美数"，因为6的约数有1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加：1+2+3=6，恰好等于它本身！ 你还能找到下一个完美数吗？（提示：在20~30之间） 【趣味挑战3 闰年的秘密】 为什么有的年份是闰年，有的不是？ 公历规定：年份是4的倍数一般是闰年，但整百年份必须是400的倍数才是闰年。 这其实就是公倍数的知识！你能说说为什么要这样规定吗？ 六、一题多解精选 【经典题】求12和18的最大公约数和最小公倍数 【方法一：列举法】 最大公约数： 12的约数：1, 2, 3, 4, 6, 12 18的约数：1, 2, 3, 6, 9, 18 公共约数：1, 2, 3, 6 最大的是6，所以(12, 18) = 6 最小公倍数： 12的倍数：12, 24, 36, 48, 60, 72, ... 18的倍数：18, 36, 54, 72, ... 公共倍数：36, 72, ... 最小的是36，所以[12, 18] = 36 优点：直观易懂，适合初学者 缺点：数大的时候太麻烦 【方法二：分解质因数法】 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3 最大公约数：取公共质因数的最低次幂 (12, 18) = 2 × 3 = 6 最小公倍数：取所有质因数的最高次幂 [12, 18] = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 优点：计算量适中，思路清晰 缺点：需要先分解质因数 【方法三：短除法】 2 | 12 18 ------- 3 | 6 9 ------- 2 3 最大公约数：把除数乘起来，2 × 3 = 6 最小公倍数：把除数和商都乘起来，2 × 3 × 2 × 3 = 36 优点：书写简洁，计算方便 缺点：需要掌握短除法的格式 【老师点评】 三种方法各有优缺点，列举法适合初学者理解概念，分解质因数法适合理解算理，短除法适合快速计算。推荐大家熟练掌握短除法，又快又准！ 七、基本练习（5道） 1. 求12和18的最大公约数和最小公倍数。 2. 用一个数去除24、36、48，都能整除，这个数最大是多少？ 3. 一个数用2、3、5除都能整除，这个数最小是多少？ 4. 有两根绳子，长度分别是24米和36米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少米？一共可以截成多少段？ 5. 五年级同学参加植树活动，人数在30~50人之间。如果分成3人一组、4人一组、6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的同学有多少人？ 八、拓展练习（3道） 1. 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分钟、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，至少需要多长时间才能再次在起点相会？ 2. 学校开运动会，在400米环形跑道边每隔16米插一面彩旗，一共插了25面。后来增加了一些彩旗，就把彩旗间隔缩短了，起点彩旗不动，重新插完后发现，除起点外，还有5面彩旗没动。问：现在的彩旗间隔是多少米？ 3. 用辗转相除法求5207和2093的最大公约数。 九、随堂小练答案 【随堂小练1】 解：要求的数是24、36、48的最大公约数。 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 最大公约数 = 2 × 2 × 3 = 12 答：这个数最大是12。 【随堂小练2】 解：要求的数是2、3、5的最小公倍数。 2、3、5互质，所以最小公倍数 = 2 × 3 × 5 = 30 答：这个数最小是30。 【随堂小练3】 解：每小段的长度是24和36的最大公约数。 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 最大公约数 = 2 × 2 × 3 = 12 即每小段最长12米。 总段数：24 ÷ 12 + 36 ÷ 12 = 2 + 3 = 5（段） 答：每小段最长12米，一共可以截成5段。 【随堂小练4】 解：纸鹤总数是2、3、4的最小公倍数。 2 = 2 3 = 3 4 = 2 × 2 最小公倍数 = 2 × 2 × 3 = 12 答：这批纸鹤至少有12只。 【随堂小练5】 解：苹果数是2、3、5的公倍数。 2、3、5的最小公倍数 = 2 × 3 × 5 = 30 在60~100之间的公倍数有：60、90 答：有60个或90个苹果。 【随堂小练6】 解：用辗转相除法求4811和1981的最大公约数： 4811 ÷ 1981 = 2……849 1981 ÷ 849 = 2……283 849 ÷ 283 = 3……0 最后余数为0，除数283就是最大公约数。 答：4811和1981的最大公约数是283。 十、基本练习答案 【第1题】 解： 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3 最大公约数 = 2 × 3 = 6 最小公倍数 = 2 × 2 × 3 × 3 = 36 答：最大公约数是6，最小公倍数是36。 【第2题】 解： 要求的数是24、36、48的最大公约数。 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 最大公约数 = 2 × 2 × 3 = 12 答：这个数最大是12。 【第3题】 解： 要求的数是2、3、5的最小公倍数。 2、3、5互质，所以最小公倍数 = 2 × 3 × 5 = 30 答：这个数最小是30。 【第4题】 解： 每小段的长度是24和36的最大公约数。 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 最大公约数 = 2 × 2 × 3 = 12 即每小段最长12米。 总段数：24 ÷ 12 + 36 ÷ 12 = 2 + 3 = 5（段） 答：每小段最长12米，一共可以截成5段。 【第5题】 解： 人数是3、4、6、8的公倍数，且在30~50人之间。 先求最小公倍数： 3 = 3 4 = 2 × 2 6 = 2 × 3 8 = 2 × 2 × 2 最小公倍数 = 2 × 2 × 2 × 3 = 24 在30~50之间的公倍数是：24 × 2 = 48 答：五年级参加植树活动的同学有48人。 十一、拓展练习答案 【第1题】 解： 先统一单位： 1分钟 = 60秒 1分15秒 = 75秒 1分30秒 = 90秒 要求再次在起点相会的时间，就是求60、75、90的最小公倍数。 用短除法： 先除以15，得到4、5、6 再除以2，得到2、5、3 2、5、3互质 最小公倍数 = 15 × 2 × 2 × 5 × 3 = 900秒 900秒 = 15分钟 答：至少需要15分钟才能再次在起点相会。 【第2题】 解： 起点彩旗不动，还有5面没动，一共6面彩旗没动，将环形跑道等分成5段。 这6面彩旗之间的距离相等，且是原来间隔16米和现在间隔的公倍数。 环形跑道400米，5面没动的彩旗把跑道分成5段，每段距离 = 400 ÷ 5 = 80米 即16和现在间隔的最小公倍数是80。 80 = 16 × 5 因为间隔缩短了，所以现在的间隔比16小。 80的约数有：1、2、4、5、8、10、16、20、40、80 比16小的有：1、2、4、5、8、10 其中和16的最小公倍数是80的有：10（因为16和10的最小公倍数是80） 验证：[16, 10] = 80 ✅ 答：现在的彩旗间隔是10米。 【第3题】 解： 用辗转相除法求5207和2093的最大公约数： 步骤 1：第一次计算 大数 5207，小数 2093 5207÷2093=2⋯⋯1021 变形： 5207=2093×2+1021 余数不为 0，继续，新一组：除数 2093，余数 1021 步骤 2：第二次计算 2093÷1021=2⋯⋯51 变形： 2093=1021×2+51 余数不为 0，新一组：除数 1021，余数 51 步骤 3：第三次计算 1021÷51=20⋯⋯1 变形： 1021=51×20+1 余数不为 0，新一组：除数 51，余数 1 步骤 4：第四次计算 51÷1=51⋯⋯0 余数等于 0，停止运算。 结论： 当余数为 0 时，本次的除数是 1，因此 (5207, 2093)=1 5207 和 2093 互质，最大公约数是 1。 答：5207和2093的最大公约数是1。 十二、本讲总结 📚 思维导图速记 📋 核心公式速查表 类型 方法 口诀 最大公约数 分解质因数法 只乘公共质因数 最大公约数 短除法 乘除数 最小公倍数 分解质因数法 公共和独有都乘 最小公倍数 短除法 除数和商都乘 重要公式 (a,b)×[a,b]=a×b 公约乘公倍，等于两数积 ⚠️ 避坑清单 1. ❌ 不要把最大公约数和最小公倍数搞混 2. ❌ 求三个数最小公倍数，不要除到三个互质就停，要两两互质 3. ❌ 不要忘记倍数关系的特殊情况 4. ❌ 不要看到"最大"就选最大公约数，看到"最小"就选最小公倍数，要读题 5. ❌ 辗转相除法不要把除数和被除数搞反 🎵 解题小口诀 公约公倍要分清， 最大乘公小乘全。 短除方法真方便， 公约只把除数连， 公倍除数商都乘， 除到两两互质完。 截段裁方求公约， 相遇同发求公倍。 读题仔细找关键， 数学问题变简单！ 恭喜你完成了本讲的学习！你真棒！🎉 学科网（北京）股份有限公司 $