§2.4轨迹问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册课件第二章　

该高中数学课件聚焦轨迹方程求解，核心涵盖直接法、代入法、定义法、消参法四种方法。以太阳轨迹、流星轨迹等生活实例导入，衔接坐标法研究几何问题的思路，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过问题驱动引导学生用数学眼光观察几何关系，如例1用直接法结合距离公式推导轨迹，例2用相关点法关联向量运算，体现数学思维的逻辑推理。规范的步骤总结（如“建设现代化”口诀）和符号表达强化数学语言，助力学生养成严谨思维，教师可系统落实方法教学提升效率。

轨迹问题 第二章　§2.4　习题课 学习目标 1.掌握坐标法研究几何问题. 2.会运用直接法、代入法(相关点法)、定义法、消参法求曲线的轨迹方程.(重点) 生活中我们处处可见轨迹的影子.例如：太阳一天中移动的轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹. 导语 3 内容索引 01 02 05 03 代入法(相关点法)求轨迹方程 定义法求轨迹方程 直接法求轨迹方程 04 06 课时对点练 随堂演练 消参法求轨迹方程 01 直接法求轨迹方程 问题 1 提示　先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程. 已知动点P满足的等量关系，如何求动点P的轨迹方程？ 　在平面直角坐标系中，A(-2，0)，B(4，0)，点P满足=，求点P的轨迹. 例1 设点P(x，y)，则==， 化简整理得x2+y2+8x=0，即(x+4)2+y2=16， 所以点P的轨迹是以(-4，0)为圆心，4为半径的圆. 解： 7 直接法求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系：建立适当的坐标系. (2)设点：设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式：列出有限制关系的几何等式. (4)代换：将轨迹所满足的条件用含x，y的代数式表示. (5)证明(一般省略)：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程(对某些特殊值应另外补充检验). 简记为：建设现代化，补充说明. 反思感悟 8 　动点P与定点A(-1，0)，B(1，0)的连线所在直线的斜率之积为-1，则点P的轨迹方程是　　　　　　　　. 跟踪训练1 x2+y2=1(x≠±1) 解析： 设P(x，y)，则kPA=，kPB=， ∵动点P与定点A(-1，0)，B(1，0)的连线所在直线的斜率之积为-1， ∴kPA·kPB=-1，∴=-1，即x2+y2=1， 又当x=±1时，必有一条直线的斜率不存在，故x≠±1， 综上，点P的轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1). 9 02 代入法(相关点法)求轨迹方程 问题 2 提示　设P(x，y)，用(x，y)表示相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程. 已知动点P的运动是由另外某一点P'的运动引起的，而点P'的运动规律已知(点P'的坐标满足某已知曲线方程)，如何求动点P的轨迹方程？ 　已知定点A(4，0)，点P在圆O：x2+y2=4上运动，且点P不在x轴上，∠AOP的平分线交AP于点M，求点M的轨迹方程. 例2 解： 由题意知|OP|=2，|OA|=4， 设M(x，y)，P(x1，y1)，y1≠0， 因为OM是∠AOP的平分线，所以==2，所以=， 所以(x-4，y)=(x1-4，y1)， 所以所以 12 　已知定点A(4，0)，点P在圆O：x2+y2=4上运动，且点P不在x轴上，∠AOP的平分线交AP于点M，求点M的轨迹方程. 例2 解： 将P(x1，y1)代入x2+y2=4，可得+=4，即+y2= (y≠0)， 所以点M的轨迹方程为+y2=(y≠0). 13 代入法(相关点法)求动点的轨迹方程的步骤 (1)设点：设所求轨迹上动点为P(x，y)，已知曲线上动点Q(x0，y0). (2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程. (4)化简：化简方程得所求方程. 反思感悟 14 　设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程. 跟踪训练2 解： 设P(x，y)，N(x0，y0)，根据中点坐标公式得 由+=4，得(x+3)2+(y-4)2=4， 当O，M，N三点共线时，不能构成平行四边形， 此时 15 　设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程. 跟踪训练2 解： 解得或得到两点和. 所以点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4，去掉，两点. 16 03 定义法求轨迹方程 问题 3 提示　圆上的点满足到圆心的距离等于半径. 回顾圆的定义，圆上的点满足什么条件？ 已知等腰△ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求底边另一个端点C的轨迹方程. 例3 解： 设C(x，y)，由题意知，|AB|==， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有|CA|=|AB|=，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B(3，5)及点B关于点A对称的点(5，-1)， 所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3，5)，(5，-1)两点). 19 定义法求轨迹方程的关键点 先从条件中判断点的轨迹为学过的哪个图形，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程. 反思感悟 20 　一条定长为2a(a>0)的线段AB，点A在x轴上，点B在y轴上滑动.则线段AB的中点P的轨迹方程为　　　　　. 跟踪训练3 x2+y2=a2 解析： 当A，B与原点O不重合时，|OP|=|AB|=a，∴点P的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，∴点P的轨迹方程是x2+y2=a2(x≠0且y≠0). 当点A为原点时，P(0，a)或P(0，-a)，当点B在原点时，P(a，0)或P(-a，0)，也符合上式. ∴点P的轨迹方程是x2+y2=a2. 21 04 消参法求轨迹方程 问题 4 提示　消去参数t后即可得到轨迹方程. 已知点P的坐标(x，y)满足如何求动点P的轨迹方程？ 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中θ为参数，求点P的轨迹方程. 例4 解： 由已知得，cos θ=，sin θ=， 又cos2θ+sin2θ=1， 所以cos2θ+sin2θ=+=1， 即点P的轨迹方程为x2+y2=4. 24 消参法求动点的轨迹方程的步骤 (1)建立动点P的坐标x，y与某个参数t的函数关系 (2)通过消参得到关于x，y的普通方程. 反思感悟 25 　在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中t为参数，则点P的轨迹方程为　　　　　　　　　　　　. 跟踪训练4 x2+y2-y=0，去掉点(0，0) 26 解析： ∵ 由得=t，代入②， 得y=， 即x2+y2-y=0. 又由②式得y>0， ∴点P的轨迹方程为x2+y2-y=0，去掉点(0，0). 27 课堂小结 1.知识清单： (1)直接法求轨迹方程. (2)代入法(相关点法)求轨迹方程. (3)定义法求轨迹方程. (4)消参法求轨迹方程. 2.方法归纳：数形结合、直接法、代入法(相关点法)、定义法、消参法. 3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点. 28 05 随堂演练 1 2 3 4 1.设A为圆x2+y2-2x=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则点P的轨迹方程是 A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2 C.(x+1)2+y2=4 D.(x+1)2+y2=2 √ 解析： 圆x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1，由题意可得圆心(1，0)到点P的距离为，所以点P在以(1，0)为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2. 2.已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P满足·=0，则点P的轨迹方程为　　　　　. 1 2 3 4 x2+y2=4 解析： 设P(x，y)，所以=(-2-x，-y)，=(2-x，-y)， 因此由·=0得(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=0，即x2+y2=4， 所以点P的轨迹方程为x2+y2=4. 1 2 3 4 3.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中θ为参 数，则动点P的轨迹方程为　　　　　. +y2=1 解析： 由已知得，cos θ=，sin θ=y， 又cos2θ+sin2θ=1， 所以cos2θ+sin2θ=+y2=1， 即点P的轨迹方程为+y2=1. 1 2 3 4 4.已知Rt△ABC的斜边为BC，且B(-2，0)，C(2，0)，则直角边AC的中点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　　. x2+y2-2x=0(x≠0且x≠2) 1 2 3 4 解析： 设M(x，y)，A(x0，y0)， 因为C(2，0)，M是线段AC的中点， 由中点坐标公式得x=，y=，所以x0=2x-2，y0=2y， 即A(2x-2，2y)，所以=(4-2x，-2y)，=(-2x，-2y)， 由·=0，得(4-2x)(-2x)+(-2y)(-2y)=-8x+4x2+4y2=0， 即x2+y2-2x=0， 又A不能与B，C重合，所以2x-2≠-2且2x-2≠2，解得x≠0且x≠2， 所以动点M的轨迹方程为x2+y2-2x=0(x≠0且x≠2). 06 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D D D D BD +y2= 题号 8 9 答案 (x-1)2+y2=1 +=1 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据题意，设BC的中点为M，则OM⊥BC， |OM|==1，所以M(0，-1)， 由于重心在中线MA的三等分点(靠近点M)处，故设G(x，y)，A(x'，y')，则3=， 故解得 则(3x)2+(3y+2)2=4，即9x2+9=4， 所以△ABC的重心G的轨迹方程为x2+=. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 如图，由题意得A(-2，0)，B(2，0). (1)设点P(x，y)到A，B两点的距离的平方差的绝对值为16， 则|-|=16，化简得|8x|=16， 解得x=±2， 因此，所求轨迹方程为x=±2，其轨迹是两条垂直于x轴的直线. (2)设点Q(x，y)到A，B两点的距离的平方和为16， 则+=16，化简得x2+y2=4. 因此，所求轨迹方程为x2+y2=4，其轨迹是以O(0，0)为圆心，半径为2的圆. 11. 一、单项选择题 1.已知A(3，2)，B(-3，-2)，若动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为，则动点M的轨迹方程为 A.y2-=1(x≠±3) B.-y2=1(x≠±3) C.y2-=1 D.-y2=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 设M(x，y)，由题意可得·=，整理可得y2-=1(x≠±3)， 即动点M的轨迹方程为y2-=1(x≠±3). 2.已知等腰△ABC底边两端点的坐标分别为B(4，0)，C(0，-4)，则顶点A的轨迹方程是 A.y=x B.y=x(x≠2) C.y=-x D.y=-x(x≠2) 解析： 设A(x，y)，∵|AB|=|AC|，∴=，整理得y=-x， 又A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹需要除去直线y=-x与线段BC的交点，即除去BC的中点， ∵BC的中点为(2，-2)， ∴顶点A的轨迹方程是y=-x(x≠2). √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B的对称点M的轨迹方程为 A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 设A(x1，0)，B(0，y2)，M(x，y)， 则x+x1=0，y+0=2y2， 即x1=-x，y2=， 由题意可得+=4， 即(-x)2+=4，即+=1. 4.已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当点B，C在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是 A.x2+y2= B.x2+y2= C.x2+y2= D.x2+y2= √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 如图1，设BC的中点为D，连接OD，OB，OC， ∵∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°，∠BOD=60°， 在Rt△BOD中，|OD|=|OB|=， 故中点D的轨迹方程是x2+y2=. 如图2，过A作圆x2+y2=的切线，切点为P，Q，连接OP，OQ， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： ∴OP⊥AP， 又|OP|=，|OA|=1，∴∠OAP=30°， ∴kAP=-，∴kOP=， ∴直线AP的方程为y=-(x-1)， 直线OP的方程为y=x， 联立解得xP=，同理可得xQ=， 故BC中点的轨迹方程是x2+y2=. 5.正三角形OAB的边长为1，动点C满足=λ+μ，且λ2+λμ+μ2=1，则点C的轨迹是 A.线段 B.直线 C.射线 D.圆 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 方法一　由题可知||=||=||=1，∠AOB=60°， ∴·=1×1×cos 60°=. 又=λ+μ， ∴||2==λ2||2+2λμ·+μ2||2=λ2+λμ+μ2=1， ∴=1，即||=1， ∴点C的轨迹是圆. 方法二　由题可知||=||=||=1，∠AOB=60° 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，过点O与OB垂直 的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴O(0，0)，A，B(1，0). 设C(x，y)，∴=λ+μ=λ+μ(1，0)=， ∴解得 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 又λ2+λμ+μ2=1， ∴+y+=1， 整理得x2+y2=1， ∴点C的轨迹是圆. 二、多项选择题 6.已知曲线C是平面内到定点F(0，1)和定直线l：y=-1的距离之和等于4的点的轨迹，若P(x0，y0)在曲线C上，则下列结论正确的是 A.曲线C关于x轴对称 B.曲线C关于y轴对称 C.-2≤x0≤2 D.1≤|PF|≤4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 由题设曲线C上任意一点Q(x，y)， 则+|y+1|=4. 当y≥-1时，=3-y， 即x2+(y-1)2=y2-6y+9， 化简得y=2-x2，且-1≤y≤2；当y<-1时，=y+5， 化简可得y=x2-2，且-2≤y<-1，画出曲线C的图象，如图所示. 对于A，B，显然图象不关于x轴对称，关于y轴对称，故A错误，B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 对于C，当y=2-x2=-1时，解得x=±2，故-2≤x0≤2，故C错误； 对于D，当-1≤y0≤2时， |PF|=4-|y0+1|=3-y0∈[1，4]； 当-2≤y0<-1时， |PF|=4-|y0+1|=5+y0∈[3，4). 综上，|PF|∈[1，4]，故D正确. 三、填空题 7.已知圆M：(x-2)2+y2=4，过点N(1，0)的直线l与圆M交于A，B两点，D 是AB的中点，则点D的轨迹方程为　　　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 +y2= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 圆M：(x-2)2+y2=4，所以圆心为M(2，0)，半径为2，设D(x，y)， 由线段AB的中点为D，当D不与M或N重合时，可得MD⊥ND，则·=(x-2，y)·(x-1，y)=(x-2)(x-1)+y·y=0，当D与M或N重合时，上式也成立， 即+y2=，所以点D的轨迹方程为+y2=. 8.设复数z=(1+cos θ)+i·sin θ(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点(x，y)的轨迹方程为　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (x-1)2+y2=1 解析： 由题意得，(x，y)=(1+cos θ，sin θ)，故(x-1)2+y2=cos2θ+sin2θ=1，故点(x，y)的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. 9.如图，在平面直角坐标系中，点N在x轴上运动，点M在y轴上运动，点 P在线段MN的延长线上，且|MP|=3，|MN|=1，则点P的轨迹方程为_____ 　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 + =1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析： 设P(x，y)，M(0，yM)，N(xN，0)， 由题意知=3，又=(x，y-yM)，3=(3xN，-3yM)， 所以即 所以=，所以|MN|==1，即+=1， 所以点P的轨迹方程为+=1. 四、解答题 10.已知圆x2+y2=4，△ABC内接于圆，BC在x轴的下方，BC∥x轴，且|BC|=2，点A为动点，求△ABC的重心G的轨迹方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 根据题意，设BC的中点为M，则OM⊥BC， |OM|==1，所以M(0，-1)， 由于重心在中线MA的三等分点(靠近点M)处， 故设G(x，y)，A(x'，y')，则3=， 四、解答题 10.已知圆x2+y2=4，△ABC内接于圆，BC在x轴的下方，BC∥x轴，且|BC|=2，点A为动点，求△ABC的重心G的轨迹方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 故解得 则(3x)2+(3y+2)2=4，即9x2+9=4， 所以△ABC的重心G的轨迹方程为x2+=. 11.设平面上有一条长度为4的线段AB，取AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求： (1)到线段AB两端点的距离的平方差的绝对值为16的点的轨迹方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 如图，由题意得A(-2，0)，B(2，0). 设点P(x，y)到A，B两点的距离的平方差的绝对值为16， 则|-|=16，化简得|8x|=16， 解得x=±2， 因此，所求轨迹方程为x=±2，其轨迹是两条垂直于x轴的直线. 11.设平面上有一条长度为4的线段AB，取AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，求： (2)到线段AB两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解： 设点Q(x，y)到A，B两点的距离的平方和为16， 则+=16，化简得x2+y2=4. 因此，所求轨迹方程为x2+y2=4，其轨迹是以O(0，0)为 圆心，半径为2的圆. THANKS 本课结束 $