暑期专项——长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体核心概念，通过分层题型构建“概念理解-空间想象-实际应用”的方法体系，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|填空题1-8、判断题9-13|单位换算（大化小乘进率）、棱长总和/表面积/体积公式直接应用|从棱长到表面积再到体积，形成“线-面-体”概念递进| |空间想象|选择题14-17、填空题5|正方体展开图类型判断、涂色小正方体规律（棱长分3份得6面不涂色）、切割增加面数（n段增2(n-1)面）|通过展开图、切割拼接培养空间直观，建立三维空间表征| |实际应用|解答题22-27|表面积（5面布罩）、体积（冰面厚度）、优化策略（包装最省纸重合最大面）|联系生活场景，用数学语言表达实际问题，体现模型意识|

暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2026年五年级下册人教版数学 学校:___________姓名：___________班级：__________学号：___________ 一、填空题 1．( )        ( )L        3.2( ) 2．一个棱长为4分米的正方体纸箱，它的棱长总和是( )分米，表面积是( )平方分米。 3．一个长、宽、高分别为4分米、3分米、2分米的小纸盒，在所有棱上粘上一圈胶带，至少需要( )分米长的胶带。 4．善善酷爱捏泥塑，他将一个棱长为6cm的正方体彩泥捏成了一个长9cm、宽4cm的长方体，捏成的长方体的体积是( )cm3，高是( )cm。 5．把一块长36cm，宽27cm，高18cm的长方体木块，把它锯成大小相同的正方体木块且不许剩余，最少可锯成( )块。 6．下面是一个长方体物品相交于一个顶点的三条棱的长度，这个长方体的表面积是( )cm2。 7．速滑馆“冰丝带”的冰面是一个长方形，长约200米，宽120米。沿冰面围了一圈护栏，护栏长( )米；若冰面厚度需要保持2.5厘米，制作该冰面至少需要冰( )立方米。 8．如图：是一个长方体，它有( )条棱，它上面的面积是( )cm2，它的体积是( )cm3。 二、判断题 9．小华一次能喝30升水。( ) 10．一个长方体的棱长之和是60厘米，则相交于同一顶点的三条棱的长度之和是15cm。( ) 11．一个表面积是384平方分米的正方体，它的占地面积是64平方分米。( ) 12．一根长方体木料，横截成3段，增加了4个面。( ) 13．长、宽、高为10cm，8cm，1cm长方体刚好可放10个棱长为2cm的正方体。( ) 三、选择题 14．下列图形中，不是正方体展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 15．把一个表面涂了黄色颜料的正方体木块平均分成若干个同样大的小正方体，至少需要分成（    ）个小正方体才能出现6个面都不涂色的小正方体。 A．8 B．72 C．27 D．64 16．两个长、宽、高分别为5cm、4cm、2cm的长方体拼成一个大长方体后，表面积最大是（    ）。 A．112 B．132 C．136 D．152 17．如图关于甲、乙的表面积和体积说法正确的是（    ）。 甲       乙 A．甲、乙的表面积相等，体积也相等 B．甲、乙的表面积相等，甲的体积大于乙的体积 C．甲的表面积大于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积 D．甲的表面积小于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积 18．用一根铁丝围成一个长方体框架，长7，宽6，高5；用同样长的铁丝围成一个正方体，他们的体积相比（    ）。 A．正方体大 B．长方体大 C．一样大 D．无法确定 19．一个容积为72L的长方体油箱，从里面量长为8dm，宽为3dm，它的高为（    ）。 A．3 B．3dm C．300dm D．300cm 20．四个同样的礼品盒，每个长10cm，宽7cm，高2cm。下面四种不同的包装方式，（    ）最省包装纸。 A． B． C． D． 四、计算题 21．计算下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。 五、解答题 22．高老师家的柜式空调长0.5米，宽0.4米，高1.8米，为了防灰尘，高老师准备做一个长方体布罩把它罩起来，请问做这只布罩至少需用多少平方米的布？（接头处忽略不计） 23．一个房间长5米，宽4米，高2.8米，如果在房间四壁贴墙纸，门窗5平方米不贴，已知贴每平方米墙纸需25元，贴完房间共需要多少元？ 24．在汉川滨湖大酒店内，有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是25米，深是2.5米。 （1）沿着游泳池走一圈，一共走了多少米？ （2）如果用瓷砖贴游泳池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 25．礼品盒长5分米，宽4分米，高8分米（如图）。打结部分长6.5分米，捆扎这个礼品盒至少需要多长的丝带？ 26．善善正在用1立方分米的小正方体测量一个长方体纸盒的容积，他已经在盒子里摆了8个小正方体（如图）。如果不计纸的厚度，请你按以下步骤研究这个长方体纸盒的容积。 (1)观察图中摆放的小正方体，你推测出这个长方体纸盒的长是( )分米、宽是( )分米、高是( )分米。 (2)如果把这个纸盒摆满，一共需要( )个1立方分米的小正方体。 (3)结合推测出的长、宽、高，这个长方体纸盒的容积是多少立方分米？ 27．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 参考答案 1． 900 2.07 3200 【分析】根据1m3＝1000dm3，1dm3＝1L，1L＝1000mL，大单位换算成小单位时乘进率，小单位换算成大单位时除以进率，据此解答。 【详解】0.9×1000＝900（dm3） 所以0.9m3＝900dm3 2.07dm3＝2.07L 3.2×1000＝3200（mL） 所以3.2L＝3200mL 2． 48 96 【分析】棱长总和公式为：棱长总和＝棱长×12。已知棱长为4分米，代入公式计算即可。正方体表面积公式为：表面积＝棱长×棱长×6，把棱长代入公式计算即可。 【详解】4×12＝48（分米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 因此，一个棱长为4分米的正方体纸箱，它的棱长总和是48分米，表面积是96平方分米。 3．36 【分析】长方体有4个长4个宽4个高，这12条棱的长度之和，就是需要的胶带长度。 【详解】 ＝ ＝（分米） 至少需要36分米长的胶带。 【点睛】考查长方体的棱长特点， 要知道长方体有12条棱，长宽高分别有4条。 4． 216 6 【分析】彩泥形状改变，但总体积不变，正方体体积＝长方体体积；根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体的体积，再根据长方体的体积：体积＝长×宽×高，反推出高＝体积÷长÷宽，求出高。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 捏成的长方体的体积是216cm3。 216÷9÷4 ＝24÷4 ＝6（cm） 高是6cm。 5．24 【分析】由于把它锯成大小相同的正方体木块，不能有剩余，还要尽可能锯的块数少，即是求长、宽、高的最大公因数，根据分解质因数的方法求出正方体的棱长；再用长方体的长除以正方体的棱长求出1行能分几块，长方体的宽除以正方体的棱长求出能分几行；再用长方体的高除以棱长求出能分几层；再根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求出最少可锯多少块。 【详解】36＝2×2×3×3； 27＝3×3×3 18＝2×3×3 因此36、27与18的最大公因数是3×3＝9。 36÷9＝4（块） 27÷9＝3（块） 18÷9＝2（块） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（块） 【点睛】本题主要考查最大公因数的求法以及长方体的体积公式，熟练掌握它的体积公式并灵活运用。 6．52 【分析】长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是长、宽、高，根据长方体体积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（cm2） 这个长方体的表面积是52cm2。 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积公式。 7． 640 600 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，代入数据求出围栏的长度；根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据计算求出冰的体积。 【详解】（200＋120）×2 ＝320×2 ＝640（米） 2.5厘米＝0.025米 200×120×0.025 ＝24000×0.025 ＝600（立方米） 护栏长640米，制作该冰面至少需要冰600立方米。 8． 12 10 10 【分析】长方体有12条棱，长方体的上面的面积＝长×宽，长方体的体积公式V＝abh；据此代入数据即可求解。 【详解】10×1＝10（cm2） 10×1×1＝10（cm3） 它有（12）条棱，它上面的面积是（10）cm2，它的体积是（10）cm3。 【点睛】掌握长方体的特征以及表面积、体积计算公式是解题的关键。 9．× 【分析】常见的容积单位有升、毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米，1升＝1000毫升，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，据此根据对容积单位大小的认识选择合适的单位即可。 【详解】分析可知，小华一次能喝30毫升水。 故答案为：× 【点睛】结合题中数据联系生活实际选择合适的容积单位是解答题目的关键。 10．√ 【分析】根据长方体的棱长总和公式，总棱长之和等于4条长、4条宽、4条高的总和，即总棱长＝（长＋宽＋高）×4。相交于同一顶点的三条棱分别是长、宽、高各一条，因此它们的长度之和为总棱长除以4。 【详解】长方体总棱长＝（长＋宽＋高）×4 60÷4＝15（厘米） 所以相交于同一顶点的三条棱的长度之和是15cm。原说法正确。 故答案为：√ 11．√ 【分析】正方体的6个面相等，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用384÷6即可求出正方体其中一个面的面积。据此解答。 【详解】384÷6＝64（平方分米） 一个表面积是384平方分米的正方体，它的占地面积是64平方分米。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了正方体表面积公式的灵活应用。 12．√ 【分析】横截成3段，需要锯3－1＝2次，锯1次，即可增加2个面，则锯2次是增加了2×2＝4个面。 【详解】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 故答案为：√ 【点睛】解答此题的关键是明确段数与次数的关系：次数＝段数－1 13．× 【分析】长方体的高是1厘米，正方体的棱长是2厘米，长方体的高里面放不下1个小正方体，所以长方体放不下10个小正方体。 【详解】长、宽、高为10cm，8cm，1cm长方体刚好可放10个棱长为2cm的正方体。此说法是错误的。 故答案为：× 【点睛】此类题要分别看长方体的长宽高各能放几个小正方体，不能用大体积除以小体积来计算。 14．B 【分析】正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放； （2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2—2—2”型：两两相连各错一； （4）“3—3”型：三个两排一对齐； 不能围成正方体的展开图类型：（1）一条线上不过四；（2）“田字形”“七字型”“凹字型”，据此解答。 【详解】 A．属于“1—4—1”型的正方体展开图； B．属于“凹字型”，不是正方体的展开图； C．属于“1—4—1”型的正方体展开图； D．属于“2—3—1”型的正方体展开图。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握正方体展开图的常见类型是解答题目的关键。 15．C 【分析】6个面都不涂色的小正方体必须在大正方体的内部。每条棱分成2份时，所有小正方体都接触大正方体的表面；每条棱至少分成3份，正中间才会出现不接触任何外表面的小正方体。 【详解】A．2×2×2＝4×2＝8，每条棱分成2份，所有小正方体都在表面，不符合题意。 B．72不是把正方体每条棱平均分成相同份数后所得的小正方体总数。 C．3×3×3＝9×3＝27，每条棱分成3份，内部有1个6个面都不涂色的小正方体，并且27是满足条件的最小数。 D．4×4×4＝16×4＝64，虽然有6个面都不涂色的小正方体，但不是最少的分法。 所以至少需要分成27个小正方体。 16．C 【分析】两个相同的长方体拼成一个大长方体，会有两个面重合，从而使总表面积减少。要使拼成的大长方体表面积最大，应使减少的表面积最小，即选择面积最小的面进行重合。先计算两个长方体原本的总表面积，再减去重合部分的面积即可求解。 【详解】一个长方体的表面积为：（） 两个长方体的表面积之和为：（） 长方体三个不同面的面积分别为4×5＝（）、5×2＝（）、2×4＝（），其中最小面的面积为 。 拼接后减少的表面积为：（） 拼成的大长方体最大表面积为： 17．D 【分析】根据题意得：甲是由24个小正方体组成得长方体，乙是由23个小正方体组成得立体图形。两个图形中乙的表面积比甲的表面积多两个小正方形的面积；甲的体积大于乙的体积。据此可得出答案。 【详解】根据题意得：甲的表面积小于乙的表面积，甲的体积大于乙的体积。 故答案为：D 18．A 【分析】根据长方体的体积公式：，求出长方体的体积；然后根据长方体棱长和公式求出铁丝的总长度，进而求出正方体棱长的长度；根据正方体的体积公式：，求出正方体的体积；将长方体和正方体的体积进行比较即可得解。 【详解】长方体的体积：7×6×5＝210（立方厘米） （7×4＋6×4＋5×4）÷12 ＝（28＋24＋20）÷12 ＝72÷12 ＝6（厘米） 正方体的体积：（立方厘米） 216＞210，所以正方体的体积大。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查理解掌握长方体和正方体的体积计算公式，长方体的体积公式：，正方体的体积公式：。 19．B 【分析】长方体的高＝体积（容积）÷长÷宽。计算时先根据将72L换算为。 【详解】 长方体油箱的高为。 20．A 【分析】要想最省包装纸，就是求这四个长方体拼成大长方体后的表面积最小，即求出哪种包装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。 【详解】A．表面积减少了： 10×7×6 ＝70×6 ＝420（cm2） B．表面积减少了： 10×7×4＋7×2×4 ＝70×4＋14×4 ＝280＋56 ＝336（cm2） C．表面积减少了： 10×2×4＋7×2×4 ＝20×4＋14×4 ＝80＋56 ＝136（cm2） D．表面积减少了： 10×2×6 ＝20×6 ＝120（cm2） 420＞336＞136＞120 故答案为：A 【点睛】掌握立体图形拼接的特点，明确要使拼成的立体图形的表面积最小，则把最大的面重合。 21．96平方厘米；64立方厘米；310平方厘米；325立方厘米 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，代入图中的数据，求出图形的表面积和体积。 【详解】正方体的表面积：6×4×4＝96（平方厘米） 正方体的体积：4×4×4＝64（立方厘米） 长方体的表面积：（13×5＋13×5＋5×5）×2 ＝（65＋65＋25）×2 ＝155×2 ＝310（平方厘米） 长方体的体积：13×5×5＝325（立方厘米） 22．3.44平方米 【分析】求这只布罩需用多少平方米的布，实际是求长方体4个侧面和上底面共5个面的面积，根据长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据，即可求出做这只布罩需用多少平方米的布。 【详解】0.5×0.4＋0.5×1.8×2＋0.4×1.8×2 ＝0.2＋1.8＋1.44 ＝3.44（平方米） 答：做这只布罩至少需用3.44平方米的布。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。 23．1135元 【分析】如果在房间的四壁贴墙纸，就说明没有上下两个面，即没有长×宽所在的面。据此可以列式求所需贴纸的面积。再根据每平方米墙纸25元，用乘法运算就能够计算出贴完房间共需多少元。 【详解】（5×2.8×2＋4×2.8×2－5）×25 ＝（28＋22.4－5）×25 ＝45.4×25 ＝1135（元） 答：贴完房间共需1135元。 【点睛】①要根据题目实际需要，灵活的选取长、宽、高的数值，列出式子；②涉及到小数的混合运算，注意每步的结果中，小数点的位置。 24．（1）150米 （2）1625平方米 【分析】（1）求走一圈的路程，实际上是求长为50米，宽为25的长方形的周长，根据长方形的周长公式即可得解。 （2）求贴瓷砖的面积实际上是在求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可得解。 【详解】（1）（50＋25）×2 ＝75×2 ＝150（米） 答：一共走了150米。 （2）50×25＋50×2.5×2＋25×2.5×2 ＝1250＋250＋125 ＝1625（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1625平方米。 【点睛】此题的解题关键是弄清求的是哪几个面的面积，灵活运用长方形的周长公式和长方体的表面积公式，解决实际的问题。 25．56.5分米 【分析】根据题意，捆扎礼品盒的丝带长度包括2条长、2条宽、4条高的长度，再加上打结部分的长度。先分别计算出长、宽、高对应的丝带长度，再求和，据此解答。 【详解】8×4＋5×2＋4×2＋6.5 ＝32＋10＋8＋6.5 ＝42＋8＋6.5 ＝50＋6.5 ＝56.5（分米） 答：捆扎这个礼品盒至少需要56.5分米的丝带。 26．(1) 4 3 3 (2)36 (3)36立方分米 【分析】（1）由题意可知，体积是1立方分米的小正方体，它的棱长为1分米，根据图示，沿着长，一共可以放4个小正方体，沿着宽，一共可以放3个小正方体，沿着高，一共可以放3个小正方体。由此确定长方体纸盒的长、宽、高。 （2）用长边摆放的小正方体数量乘宽边摆放的小正方体的数量，算出一层可以摆放小正方体的数量，再乘层数即可算出小正方体的总个数。 （3）长方体的体积公式：V＝abh，代入数值计算即可。 【详解】（1）长：1×4＝4（分米） 宽：1×3＝3（分米） 高：1×3＝3（分米） 观察图中摆放的小正方体，你推测出这个长方体纸盒的长是4分米、宽是3分米、高是3分米。 （2）4×3×3 ＝12×3 ＝36（个） 如果把这个纸盒摆满，一共需要36个1立方分米的小正方体。 （3）4×3×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 答：这个长方体纸盒的容积是36立方分米。 27．（1）60升 （2）7.5分钟 【分析】（1）设右边每分钟注水x升，根据有隔板的左右两部分体积相等，当3分钟之后，右边的水会流到左边，那么3分钟之后经过的1.5分钟左边的水的注入量是右边和左边一起注入的，据此列方程解出右边每分钟注水多少。再根据长方体的体积公式变形a＝V÷b÷h，求出水槽左边（或右边）的长，进而求出整个水槽的长，然后把数据代入体积公式解答。 （2）用整个水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可解答。 【详解】（1）解：设右边每分钟注水x升。 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋1.5×2＋1.5x＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 9＝3x－1.5x 1.5x＝9 x＝9÷1.5 x＝6 3×6＝18（升） 18升＝18000立方厘米 18000÷6÷40 ＝3000÷40 ＝75（厘米） 75×2＝150（厘米） 150×40×10 ＝6000×10 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：水槽的容积是60升。 （2）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【点睛】此题考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用及列方程解决问题的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $