暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体核心概念，通过单位换算、公式应用、实际问题构建“概念-推导-应用”逻辑链，提炼排水法、展开图相对面判断等实用技巧，培养空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|填空题1-2、判断8-12|单位换算进率法、体积与容积辨析|从单位认识到概念区分，建立量感| |公式应用|填空题3-5、选择15、计算18|棱长扩大倍数规律、切割表面积变化|从棱长和到表面积、体积公式推导，强化运算能力| |实际问题|解答19-26|排水法求体积、无盖表面积计算|结合通风管、粉刷等情境，构建模型意识，实现知识迁移|

暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2026年五年级下册人教版数学 学校:___________姓名：___________班级：__________学号：___________ 一、填空题 1．在括号里填上合适的体积/容积单位。 天舟十号货运飞船的运载体积约45( )。一瓶航天员太空饮用水约500( )。 2．700mL＝( )L    ( )    ( )( ) 3．西安地铁16号线是我国西北地区首条采用全自动无人驾驶系统的轨道交通线路。该线路采用的列车长约120米，宽约3米，高约4米，列车的体积约是( )立方米。 4．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的棱长和扩大到原来的( )倍，它的表面积扩大到原来的( )倍，它的体积扩大到原来的( )倍。 5．把长是2分米的长方体木块截成2段，表面积增加16平方厘米，长方体木块的体积是( )立方厘米。 6．一个长方体，相邻三个面的面积分别是27平方厘米、20平方厘米、15平方厘米，这个长方体的体积等于( )立方厘米。 7．把下图的展开图折成一个长方体。（折叠后含有字母的面在外面） (1)如果面在下面，那么( )面在上面。 (2)如果面在前面，从左面看是面，那么( )面在上面。 (3)根据图中的数据，这个长方体的表面积是( )cm2。 二、判断题 8．两个体积相等的容器，它们的容积一定相等。（     ） 9．长方体和正方体都有6个面。( ) 10．下图是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，它的体积是10cm3。( ) 11．把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和减少了3dm2。( ) 12．一个水桶的容积是8L，也就是800mL。( ) 三、选择题 13．下面展开图中无法拼成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 14．做一个通风管道用多少铁皮，求的是长方体的（    ）。 A．棱长 B．表面积 C．体积 D．侧面积 15．如果一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 16．一个长方体，长8dm，宽7dm，高4dm，放在地面上，占地面积最小是（    ）dm2。 A．32 B．56 C．19 D．28 17．一根长方体木料正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体，这根木料的表面积是（    ）平方厘米。 A．90 B．108 C．54 D．99 四、计算题 18．计算下面物体的表面积和体积。 五、解答题 19．一个长10cm，宽8cm，高6cm的水缸里装满水，小明把一块棱长是4cm的正方体铁块浸入水缸里，溢出的水的体积是多少？ 20．如图所示，用丝带捆一个礼品盒，接头处长25cm，至少需要多长的丝带？ 21．用如图的正方形铁皮围成一个长方体水箱（按图中虚线进行折叠），需要为这个水箱做一个多大的底面？做成的水箱可以装水多少升？ 22．灯笼起源于2100多年前的西汉时期，是一种古老的汉族传统工艺品。笑笑想动手制作一个长方体灯笼的框架（如下图），至少需要多少厘米长的木条？ 23．李老师买了一套新房，客厅长7m，宽5m，高3m。如果客厅除去不粉刷的部分（如门窗、电视机墙等）8m2，还需要粉刷多大面积的墙面？ 24．泉州大坪山郑成功雕像是泉州的标志性建筑，总高38米，其中骏马高度达20多米，是国内最高的铜马雕像。底座是用钢筋混凝土浇筑成的长方体，长42米，宽5米，高8米。如果要给底座四面贴上花岗岩，贴花岗岩的面积是多少平方米？ 25．一个无盖长方体玻璃缸，从里面量，长48厘米，宽25厘米。用一个水龙头向缸内注水，每分钟可注入水8升，连续注水3分钟。此时，测得缸内水面距离缸口上沿还有10厘米。根据以上信息，制作这个玻璃缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ 26．园博园工作人员在开展瓯越园景观标本整理工作时，使用了一个棱长为11厘米的正方体小玻璃缸（无盖），玻璃缸内已注入清水，水深7厘米。随后，工作人员将一枚从园区内采集的铁制苹果标本，完全浸入玻璃缸的清水中，浸入后玻璃缸内的水位上升至9厘米。 (1)制作这个正方体小玻璃缸（无盖）至少需要多少平方厘米的玻璃？ (2)这个铁制苹果标本的体积是多少立方厘米？ 参考答案 1． /立方米 /毫升 【分析】常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米，常用的容积单位有升、毫升。棱长1米的正方体的体积是1立方米，棱长1分米的正方体容器的容积是1升，即1000毫升。 第一个描述对象：天舟十号货运飞船的运载体积，因为货运飞船整体空间较大，所以结合数值45，选择匹配大体积的单位。 第二个描述对象：一瓶太空饮用水，因为瓶装饮用水属于较小的容积，所以结合数值500，选择匹配小容积的单位。 【详解】飞船运载体积是非常大的空间，计量较大物体的体积用立方米作单位合适，因此天舟十号货运飞船的运载体积约45立方米； 一瓶饮用水的容量较小，计量较小的液体容积用毫升作单位合适，一瓶航天员太空饮用水约500毫升。 2． 0.7 3400 27 27000 【分析】根据小单位换大单位除以进率，大单位换小单位乘进率，逐一计算。1L＝1000mL，1＝1000，1＝1L，＝1000，1＝1mL。 【详解】700÷1000＝0.7L，所以700mL＝0.7L 3.4×1000＝3400＝3400L，所以3.4＝3400L 27000÷1000＝27，27000＝27000mL，所以27000＝27＝27000mL 3． 1440 【分析】根据题意，将列车近似看作一个长方体，已知该长方体的长是120米，宽3米，高4米。根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”，代入已知数据进行计算即可求出列车的体积。 【详解】120×3×4＝1440（立方米） 所以列车的体积约是1440立方米。 4． 3 9 27 【分析】①正方体的棱长和＝棱长×12，棱长扩大到原来的3倍也就是一个因数扩大到原来的3倍，那么积也会扩大到原来的3倍； ②正方体的表面积＝棱长×棱长×6，棱长扩大到原来的3倍也就是两个因数都扩大到原来的3倍，那么积会扩大到原来的（3×3）倍； ③正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，棱长扩大到原来的3倍也就是3个因数都扩大到原来的3倍，那么体积会扩大到原来的（3×3×3）倍；据此解答。 【详解】根据分析： ①它的棱长和扩大到原来的3倍； ②3×3＝9 它的表面积扩大到原来的9倍； ③3×3×3 ＝9×3 ＝27 它的体积扩大到原来的27倍。 【点睛】本题考查的是利用积的变化规律解决正方体的棱长和、表面积、体积的变化问题。 5．160 【分析】长方体木块增加的表面积相当于长方体的两个底面积，求出底面积，长方体体积＝底面积×高。 【详解】2分米厘米 ＝8×20 ＝160（立方厘米） 这个长方体木块的体积是160立方厘米。 【点睛】本题考查长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高。 6．90 【分析】长方体相邻三个面的面积分别与长方体的长、宽、高有关，设长方体的长、宽、高分别为a厘米、b厘米、c厘米，则三个面的面积分别为ab＝27平方厘米、ac＝20平方厘米、bc＝15平方厘米，而长方体体积V＝abc，可通过对三个面面积的关系进行分析求解体积。 【详解】解：设长宽高分别为a厘米、b厘米、c厘米，则：ab＝27平方厘米、ac＝20平方厘米、bc＝15平方厘米。 将ab＝27，ac＝20，bc＝15相乘，可得： ab×ac×bc＝27×20×15 ab×ac×bc＝（abc）²＝27×20×15 27×20×15＝27×300＝8100 即（abc）²＝8100 因为 90×90＝8100， 所以abc＝90， 即这个长方体体积是90立方厘米。 【点睛】解决本题的关键在于利用长方体相邻三个面面积与长、宽、高的关系，结合体积公式对三个面面积乘积的变形，求出体积。要熟练掌握长方体的特征以及体积公式的灵活运用，找到已知条件和所求体积之间的联系。 7．(1)E (2)C (3)54 【分析】（1）根据长方体展开图找相对面的方法，确定D和E相对，所以D面在下面时，对面的E面就在上面。 （2）先确定E对D、F对B，剩下A和C相对；再结合E面在前面、F面在左面的方位，推出上面的面是C。 （3）从展开图得出长方体长3cm、宽1.5cm、高5cm，代入长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值，求出表面积。 【详解】（1）如果面在下面，那么E面在上面。 （2）如果面在前面，从左面看是面，那么C面在上面。 （3）（3×1.5＋3×5＋1.5×5）×2 ＝（4.5＋15＋7.5）×2 ＝27×2 ＝54（cm2） 所以这个长方体的表面积是54cm2。 8． × 【分析】体积是从容器外部测量数据计算得到，容积是从容器内部测量数据计算得到，容器壁厚不一定相同。 【详解】体积相等的两个容器，若材质厚度不同，内部可容纳的空间大小就不同，即容积不一定相等。 故答案为：× 9．√ 【详解】长方体和正方体的共同特征是：都有6个面、12条棱、8个顶点。题干说法正确。 故答案为：√ 10．× 【分析】棱长1cm的小正方体，根据正方体的体积公式可知单个小正方体的体积是1。几何体的体积数值等于小正方体的总个数，分层数出小正方体数量，再计算总体积判断对错。 【详解】6×2－1 ＝12－1 ＝11（个） 11×1＝11（） 11＞10 故答案为：× 11．× 【分析】3个棱长1dm的正方体拼成长方体时，共有2处拼接，每处拼接会减少2个正方形的面，算出减少的总面积后和题干数据对比即可判断。 【详解】1×1×（2×2） ＝1×1×4 ＝4（dm2） ，题干说法错误。 故答案为：× 12．× 【分析】大单位化为小单位用数值乘进率即可，进率是1L＝1000mL。 【详解】因为8L＝8×1000＝8000mL，8000＞800，所以“一个水桶的容积是8L，也就是800mL”的说法是错误的。 故答案为：× 13．B 【分析】正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；（2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；（3）“2—2—2”型：两两相连各错一；（4）“3—3”型：三个两排一对齐； 不能围成正方体的展开图类型：（1）一条线上不过四；（2）“田字形”“七字形”“凹字形”，据此解答。 【详解】A．图为“2—3—1”型能拼成正方体，此项不符合题意。 B．图为“凹字形”不能拼成正方体，此项符合题意。 C．图为“1—4—1”型能拼成正方体，此项不符合题意。 D．图为“2—2—2”型能拼成正方体，此项不符合题意。 14．D 【分析】求做一个长方体形的通风管道要用多少铁皮，就是求铁皮的面积；因为通风管道要通风，所以有两个相对的面是空的，没有用到铁皮，那么铁皮的面积是长方体其他四个面的面积之和，也就是长方体的侧面积。 【详解】做一个通风管道用多少铁皮，求的是长方体的侧面积。 故答案为：D 【点睛】本题考查对长方体的棱长、表面积、侧面积、体积概念的认识，结合生活实际，理解通风管是一个只有4个面的长方体。 15．D 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。根据积的变化规律，当三个因数（棱长）都扩大到原来的倍时，积（体积）扩大到原来的（）倍。 【详解】设正方体原来的棱长为。 现在棱长扩大到原来的倍，则现在的棱长为。 现在的体积为： 所以，体积扩大到原来的倍。 16．D 【分析】物体的底面积叫做占地面积；要使长方体的占地面积最小，也就是求这个长方体的最小面的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，求出长方体各面的面积，再比较大小，即可得出结论。 【详解】8×7＝56（dm2） 8×4＝32（dm2） 7×4＝28（dm2） 28＜32＜56 占地面积最小是28dm2。 故答案为：D 【点睛】本题考查长方体占地面积的求法，掌握长方体的特征以及长方形的面积公式是解题的关键。 17．A 【分析】根据题意，一根长方体木料正好可以切成两个棱长是3厘米的正方体，这根木料的长是（3×2）厘米，宽和高都是3厘米，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【详解】3×2＝6（厘米） （6×3＋6×3＋3×3）×2 ＝（18＋18＋9）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 故答案为：A 【点睛】此题主要考查长方体表面积的灵活运用，关键是熟记公式。 18．148；120 【分析】由图可知，长方体的长是4cm，宽是6cm，高是5cm。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积＝长×宽×高。代入数值计算即可。 【详解】（4×6＋4×5＋6×5）×2 ＝（24＋20＋30）×2 ＝74×2 ＝148（） 4×6×5＝120（） 19．64cm3 【详解】4×4×4＝64（cm3） 答：溢出的水的体积是64cm3。 20．厘米 【分析】由题意得：丝带长度＝长方体长×2＋长方体宽×2＋长方体高×4＋接头处长。据此可得出答案。 【详解】 （厘米） 答：至少需要225厘米长的丝带。 【点睛】本题主要考查的是长方体棱长的应用，解题的关键是熟练掌握长方体中长、宽、高与丝带的关系，进而计算得出答案。 21．1平方分米；4升 【分析】根据题干分析可得：围成的长方体水箱的底面是一个边长为4÷4＝1（分米）的正方形，所以底面的面积是1×1＝1（平方分米），根据长方体的容积公式：V＝Sh，计算出的底面积乘水箱的高4分米，即可得出水箱的容积。 【详解】4÷4＝1（分米） 1×1＝1（平方分米） 1×4＝4（立方分米） 4立方分米＝4升 答：需要为这个水箱做一个1平方分米的底面，做成的水箱可以装水4升。 【点睛】此题考查了长方体的容积公式的计算应用，根据图示得出长方体水箱的底面边长是解决本题的关键。 22．260厘米 【分析】制作一个长方体灯笼的框架至少需要木条的长度，就是这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据即可解答。 【详解】 （厘米） 答：至少需要260厘米长的木条。 23．99m2 【分析】客厅相当于一个长方体，因为不粉刷地面，所以先求出长方体5个面的面积，根据长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据即可求出长方体5个面的面积，用求出的长方体的表面积减去门窗、电视机墙等不粉刷的面积，即可得解。 【详解】7×5＋7×3×2＋5×3×2－8 ＝35＋42＋30－8 ＝77＋30－8 ＝99（m2） 答：还需要粉刷99m2面积的墙面。 【点睛】此题考查了长方体表面积的相关应用，明确粉刷面积包含哪些面是解题关键。 24．752平方米 【分析】由题意可知，贴花岗岩的面积是长方体底座的侧面积之和，长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据即可解答。 【详解】（42×8＋5×8）×2 ＝（336＋40）×2 ＝376×2 ＝752（平方米） 答：贴花岗岩的面积是752平方米。 25．5580平方厘米 【分析】先根据“注入水的体积＝每分钟可注入的水×分钟数”计算注入水的体积；再将体积单位换算成立方厘米，根据“水的体积＝长×宽×水深”求出水深；长方体的高＝水深＋水面离缸口的距离；无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。 【详解】8×3＝24（升） 24升＝24000立方厘米 24000÷48÷25＋10 ＝500÷25＋10 ＝20＋10 ＝30（厘米） 48×25＋48×30×2＋25×30×2 ＝48×25＋1440×2＋750×2 ＝1200＋2880＋1500 ＝5580（平方厘米） 答：制作这个玻璃缸至少需要5580平方厘米的玻璃。 26．(1)605平方厘米 (2)242立方厘米 【分析】（1）根据题意，求需要多少平方厘米的玻璃，也就是求正方体的表面积，因为无盖，所以用正方体一个面的面积乘5，即可求出答案。 （2）当不规则物体完全浸入水中时，上升的水的体积就等于不规则物体的体积。根据不规则物体的体积：容器的底面积×水面变化的高度。代入数据即可。 【详解】（1）11×11×5＝605（平方厘米） 答：制作这个正方体小玻璃缸（无盖）至少需要605平方厘米的玻璃。 （2）11×11×（9－7） ＝11×11×2 ＝121×2 ＝242（立方厘米） 答：这个铁制苹果标本的体积是242立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $