2.7.1 探索勾股定理同步分层练习2026-2027学年浙教版八年级上册数学

**基本信息** 《探索勾股定理》同步分层练习通过基础巩固、能力提升、拓展创新三级设计，实现从单一计算到综合应用再到定理探究的知识进阶，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|勾股定理基本计算、直角三角形性质|以选择、填空为主，直接应用定理解决边长计算，巩固核心概念| |能力提升|结合等腰三角形、全等、最短路径等综合应用|通过证明题、动态问题，培养推理能力与空间观念| |拓展创新|勾股定理证明方法探究|项目式学习情境，引导面积法推理，发展创新意识与数学表达能力|

2.7.1 探索勾股定理 同步分层练习 一、夯实基础： 1．如图，在Rt中，，边BC的长是（　　） A．5 B．6 C．8 D． 2．在中，若，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点A恰好落在数轴上表示的点上，以原点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（　　） A．6 B． C．10 D．13 5． 直角三角形的三边为 且 都为正整数，则三角形其中一边长可能为 （　　）. A．61 B．71 C．81 D．91 6．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（　　） A．13 B．13或 C． D．12或13 7．直角三角形两条直角边的平方和等于　 　，如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则　 　. 8．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，则AD的长是　 　. 9．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为　 　. 10．如图，在中，.求： （1）BC边上的中线AD的长 （2）求△ABC的面积. 二、能力提升： 11．如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　） A．2 B． C． D． 12．如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（　　）． A． B． C． D． 13．如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，点D，E分别为AB，AC上的动点，若BC=1，则CD+DE的最小值是　 　. 15．如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是　 　。 16．如图，AD是△ABC的高线，E为AB上一点，连结CE，交AD于点F，BE=CE. （1）求证：△AEF是等腰三角形； （2）若点F是CE的中点，CE=26，CD=12，求AF的长、 17．如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线， ，点 是 中点． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 三、拓展创新： 18．勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究. 【问题提出】小明在做作业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将Rt△DAF向左平移，能否证明勾股定理？ 【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究： 方案 方案一 方案二 图形 备注 Rt△BCA≌Rt△EAD Rt△BCA≌Rt△CFD BC=a，AC=b，AB=c 【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础. 方式 验证过程 （分别用含有a，b，c的代数式完成填空） 图形 方式① S四边形ADBE=S△ABE +S△ABD S△ABE = ▲ ．（以AE为底，高为BC） S△ABD = ▲ ．（以AD为底，则AD边上的高与AC等长） 连结BE，BD，不难得出AB⊥ED 方式② S四边形ADBE =S△EBD +S△EAD ▲ 综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理. 【方法应用】 根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程. 提示：如图，连结BD，AD，不难得出CD⊥BA，利用两种方法表示四边形BCAD的面积. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10， ∴. 故答案为：B. 【分析】根据勾股定理得，然后代值计算可得答案. 2．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；勾股定理 【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A+∠C+∠B=180°，∠A+∠C=90°， ∴∠B=90°， ∴AB2+BC2=AC2. 故答案为：B. 【分析】首先根据三角形的内角和定理求出∠B=90°，即△ABC为直角三角形，进而根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得答案. 3．【答案】A 【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理 【解析】【解答】解：∵中，，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵点P在原点的左边， ∴点P表示的数为， 故答案为：A． 【分析】 根据及实数与数轴的关系：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数，因而先依据勾股定理即可得到的长，进而得出的长，即可得到点P所表示的数，解答即可． 4．【答案】B 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴（AAS）， ∴， ∴在Rt△ABD中，， ∴． 故答案为：B． 【分析】过A作于D，交直线c于点E，可得，，，证明，得出，根据勾股定理得出AB2的值，根据三角形面积公式即可得到答案． 5．【答案】C 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由题可知： 解之得： 所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b. 当 时， 故答案为： C. 【分析】直角三角形的三边为a 由他们的大小关系可知，直角边为a-b，a，则根据勾股定理可知： 解得 所以直角三角形的三边为3b、4b、5b，看给出的答案是不是3、4、5的倍数，如果是，就可能是边长. 如果不是就一定不是. 所以题中81能被3整除，所以可能. 6．【答案】D 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12； ②当12是直角边时，它的斜边长==13. 故答案为：D. 【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可. 7．【答案】斜边的平方； 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长，则， 故答案为：斜边的平方；. 【分析】利用勾股定理的定义及计算方法分析求解即可. 8．【答案】4 【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理 【解析】【解答】解：∵AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点 ∴，AD⊥BC ∴ 故答案为：4 【分析】根据等腰三角形性质可得，AD⊥BC，再根据勾股定理即可求出答案. 9．【答案】6或 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：当5和12为直角三角形的两条直角边时， 斜边， 此时斜边的中线长为； 当5为一条直角边，12为斜边时， 另一条直角边， 此时斜边的中线长为6. 故答案为：6或. 【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答. 10．【答案】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CDBC30＝15， 在Rt△ABD中，AB＝17，AD2＋BD2＝AB2， ∴AD （2）解：∵BC＝30，AD＝8， ∴△ABC的面积120 【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形中的三线合一求出BD的长度，最后在Rt△ABD中利用勾股定理计算即可； （2）根据三角形面积计算公式计算即可. 11．【答案】B 【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F， 则BF=FC=4， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：B. 【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则可以求出AF=3，即可得到△ABC的面积，然后根据求出AE长即可. 12．【答案】C 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵为的中点，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为． 故答案为：C． 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质得到的长，再根据勾股定理得到的长解题． 13．【答案】C 【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：在AC上取点G，使AG=AN，连接MG，BG，过B作BH⊥AC于点H，如图所示： ∵AD平分∠BAC交BC于点D， ∴∠CAM=∠BAM， ∵AM=AM， ∴△AGM≌△ANM(SAS)， ∴GM=GN， ∴BM+MN=BM+MG≥BG≥BH（垂线段最短）， ，， ， 的最小值是 ． 故答案为：C． 【分析】在AC上取点G，使AG=AN，连接MG，BG，过B作BH⊥AC于点H，利用SAS证明△AGM≌△ANM，可得GM=GN，于是根据三角形的三边关系和垂线段最短可得BM+MN=BM+MG≥BG≥BH，再在Rt△ABH中利用勾股定理，即可得到答案. 14．【答案】 【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题 【解析】【解答】解：延长CB到F，使得 过F作 于点E，如下图： ∴AB垂直平分CF， ∴CD+DE的最小值是 故答案为： 【分析】先找到C关系AB的对称点，再根据垂线段最短找到最小值，再根据勾股定理求解. 15．【答案】 【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形， ∵H点事BC中点，∴MH=， ∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN， ∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=， ∴AB=， AH=. 故答案为：。 【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。 16．【答案】（1）证明：∵BE=CE， ∴∠B=∠BCE ∵AD是△ABC 的高线， ∴∠ADB=∠ADC=90° ∴∠B+∠BAD=90°，∠BCE+∠CFD=90° ∴∠BAD=∠CFD， ∵∠AFE=∠CFD， ∴∠BAD=∠AFE ∴△AEF 是等腰三角形. （2）解：过点E作 EG⊥AF于点G， ∴∠EGF=90°， ∵点F是CE的中点，CE=26， ∴CF=EF=13， ∵∠ADC=90°，CD=12， ∴， ∵∠EFG=∠CFD， ∠EGF=∠CDF，EF=CF， ∴△EFG≌△CFD(AAS)， ∴FG=DF=5， ∵△AEF是等腰三角形，EG⊥AF， ∴AF=2FG=2×5=10 【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理 【解析】【分析】(1)先根据BE=CE得∠B=∠BCE， 再根据AD是△ABC的高线得∠B+∠BAD = 90°， ∠BCE+∠CFD=90°， 则∠BAD=∠CFD=∠AFE， 由此可得出结论； (2)过点E作EG⊥AF于点G， 先求出DF =5， 再证明△EGF和△CDF全等得FG=DF =5， 再根据△AEF是等腰三角形的性质得AG =FG=5， 由此可得AF的长. 17．【答案】（1）证明：连结DE，如图， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADB=∠ADC =90°， ∵CE是AB边上的中线， ∴E是AB边上的中点， ∴AB =2DE， ∵AB=2CD， ∴CD= DE， ∵点F是CE中点， ∴DF⊥EC， ∵∠DFC =90°， ∴∠FDC+∠DCF=90°， ∵∠ADC =90°， ∴∠FDC+∠ADF =90°， ∴∠DCE=∠ADF （2）解：∵∠BAC =90°， 在直角三角形ACB中，由勾股定理得： EC===10， ∵点F是CE中点， ∴CF=5， ∵∠ADB=90°，E是AB边上的中点， ∴DE =AE =6， ∴CD=DE =6， ∵∠DFC =90°， 在直角三角形CDF中，由勾股定理得： DF=== 【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理 【解析】【分析】(1)连结DE，证明CD=DE得DF⊥EC，然后根据余角的性质即可证明∠DCE=∠ADF； (2)由勾股定理求出EC的长度，从而求出CF的长度，由直角三角形斜边的中线得DE的长度，从而得CD=DE的长度，然后再利用勾股定理即可求出DE的长. 18．【答案】解： 【方法应用】 方式① S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD 方式② S四边形ADBC=S△ABD +S△ACB 【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明 【解析】【解答】解：【探究验证】方式①：∵ Rt△BCA≌Rt△EAD ， ∴AE=BC=a，AD=AC=b， ∴， ， 方式②：由①可知，ED=AB=c， ∴， 故答案为：，，. 【分析】【探究验证】由Rt△BCA≌Rt△EAD，可知AE=BC，AD=AC，ED=AB，从而得出结论； 【方法应用】由图可知S四边形ADBC=S△BDC +S△ACD，分别求出S△BDC ，S△ACD，从而得出结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $