湖南株洲市醴陵市第一中学2026届高三下学期二模（4月）数学试题

**基本信息** 醴陵一中2026届高三二模数学试卷，以核心素养为导向，通过统计残差分析、AI镜像距离等真实情境，实现基础巩固与创新应用的梯度考查，适配高三二轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、三角求值、椭圆离心率等|第6题结合销量数据考查残差计算，体现数据观念| |多选题|3/18|复数性质、函数极值、正四棱锥外接球|第11题综合空间角与截面面积，考查直观想象| |填空题|3/15|函数奇偶性、等比数列、镜像距离新定义|第14题引入AI镜像距离，培养创新意识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、椭圆、导数证明、数列综合|第18-19题导数与数列综合证明，契合高考命题趋势|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D B C D D AD ABD 题号 11 答案 ACD 12． 13． 14． 15．（1）解：因为，由正弦定理得， 所以，则， 又因为，可得， 所以，则，所以， 因为且，所以. （2）解：由（1）知，可得， 因为的周长为，所以， 由余弦定理得， 可得， 又由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立， 即，解得， 所以面积最大值为. 16．（1）以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以；    （2）， 当且仅当时取等号， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17．（1）解：当倾斜角为时，直线为， 令，得，即椭圆的上顶点为，所以， 又的周长为，即，又，解得，， 所以椭圆的方程为 . （2）解：由（1）可知，，， 因为过与圆相切的直线分别切于、两点，所以， 所以， 设点，则，圆的半径为， 则直线的方程为， 的方程设为，则，化简得， 由，解得，所以点 ，所以点在椭圆上， ∴，即． 18．（1）当时，方程可化为，即，     令，其中，则， 因为函数、在上均为减函数， 所以在单调递减，且， 所以当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 因此在的最大值为，     只有一个零点，所以方程的解为. (2) 因为，其中， 则，易知， 因为，所以当时，，在单调递增； 所以当时，，在单调递减； 因此在的最大值为，     因为，，所以，     令，，易知， 所以当时，，在单调递增； 所以当时，，在单调递减； 所以当时，， 所以，即. (3) 当，时，，可得， 当时，，则，     当时，，     . 19．(1) 由题有． 因为对于任意，都有， 即，且，所以，故函数在上单调递增， 下面证明：． 因为，所以，由的单调递增性质可知， 即．因为且，整理得：． 同理，因为，所以，由的单调递增性质可知， 即，整理得． 将两式相加得， 因为，两边同时除以， 得，得证． (2)（i）证明：由题意，则． 要证明数列单调递减，即证明单调递增， 因为在上单调递增，且，所以． 由（1）知，在上单调递增，且，所以． 因为，且定义域为，且单调递增， 故当时，从而， 所以，即．故数列单调递减． （ii）证明：记． 由（1）可知有， 同理， 依此类推，可得：， 将代入右侧可得，即． 由题意，令，则满足，所以． 因为在上单调递增，所以， 即，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 醴陵市第一中学2026年高三下学期二模试题（4月） 数 学 满分150分，考试时间120分钟 命题人：彭超 审题人：李武军 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则的值为（    ） A． B． C．3 D．-3 4．的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格：建立与的线性回归方程为，则为（   ） 月份 1 2 3 4 5 销量 0.5 1 1.4 A．0.79 B．2 C．2.1 D．1.21 7．如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是函数的一个极小值点 B．函数的对称中心为 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点 11．正四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，，，过的中点E作球O的截面，则（   ） A．直线与平面所成角的正切值为 B．平面与平面夹角的余弦值是 C． D．截面的面积的最小值是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数为奇函数，则___________. 13．已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 14．如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为．若，，则的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知在中，角，，的对边分别是，，，若，. (1)求； (2)若的周长为，是内一点，且，求面积的最大值. 16．（15分）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，上的动点，且．    (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）已知椭圆：的左右焦点分别为，，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于，两点，当倾斜角为时，是椭圆的上顶点，且的周长为6. (1)求椭圆的方程； (2)过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由. 18．（17分）已知函数. (1)当时，求方程的解： (2)若，，证明：； (3)证明：. 19．（17分）设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有． (1)判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有 (2)若在上单调递增，且数列满足． （i）证明：数列单调递减； （ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有． 学科网（北京）股份有限公司 $