精品解析：湖南常德市石门县第一中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

石门一中2026届高三第二次模拟考试数学试卷 命题：唐登欣 审题：黄星星 一、单选题 1. 已知、，集合，，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集运算可得出，即可得出，然后分和两种情况讨论，结合交集运算进行检验，即可得解. 【详解】已知集合，，且，所以，即. 若，则，此时，，与矛盾，舍去. 若，则，此时，，符合条件. 综上所述，. 2. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ） A. 0或1 B. 或1 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 3. 已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 4. 已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和最值的性质，建立不等式解出即可. 【详解】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为． 5. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 6. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将题干不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解. 【详解】由题意得，，即， 令，因为，，所以函数在上单调递增， 则不等式转化为，所以，则. 令，则， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，即，则的最大值为. 故选：B 7. 在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理结合三角形垂心的性质、平面向量三点共线的充要条件计算即可. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 设， 则， ， 所以， 在直角三角形中，. 故选：B 【点睛】思路点睛：由三角形为等腰三角形，及垂心的性质，结合平面向量基本定理、三点共线的线性关系确定一腰上垂足的位置解三角形即可. 8. 一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 二、多选题 9. 为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数据点P对应的残差的绝对值为5 C. 该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D. 乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，相关系数的正负决定正负相关，可根据线性回归方程的正负进行判断； B选项，根据数据点与预测值的差判断残差； C选项，可利用计算，代入线性回归方程计算平均建筑面积； D选项，决定系数越接近1，拟合效果越好，比较两个决定系数大小判断拟合效果即可． 【详解】A选项，因为，故房屋的建筑面积和销售价格y呈正相关，相关系数为，A错误； B选项，代入，可得的预测值：，残差为：，故B正确； C选项，，因为线性回归方程恒过点，故， 解得：，C正确； D选项，决定系数越接近1，拟合效果越好，因为，故甲机构选取的模型拟合效果更好，D正确． 10. 已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，进而求解不等式. 【详解】令函数，求导得，由， 得，即函数在定义域上单调递增，由，得， 不等式，即，解得， 所以所求的值可能为1，2. 11. 双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 C. 曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为 D. 若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，求出整点的坐标，可判断选项A；利用已知和两点距离公式可判断选项B；由曲线C上关于对称的两点都满足方程，可判断选项C；联立直线y＝kx与曲线C解出方程的根，可得实数k的取值范围． 【详解】时，，或2或，三个整点，，，无解，∴共有3个整点，A错误， ，曲线C上往取一点到原点的距离﹐B正确； 曲线C上往取一点M关于的对称点为N，设，则，M在曲线C上，∴，C正确． 与曲线C一定有公共点，∵与曲线C只有一个公共点， 则，∴，∴或，D正确 故选：BCD 三、填空题 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据直观图还原该平面图形，然后可得答案． 【详解】 在直观图中，设与交于点，则，，， 在原图形中，，，， 所以原图形周长是 故答案为：14 13. 已知向量，，若，则函数的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算得出，利用导数研究的单调性即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，解得， 则，， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则（或）. 故答案为： 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】由等差中项及正弦定理，结合三角形内角和，推出角大小，将另一条件变形，利用正弦定理得边长，将面积差用外接圆半径及角表示，化为二次函数形式，由角的范围求值域. 【详解】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则， 因为，所以， 则， 因为，所以， 设的外接圆半径为，，则，则， 又因为， 故和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故和面积之差的取值范围为 四、解答题 15. 已知数列满足，． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 【答案】（1）证明见解析， （2）9 【解析】 【分析】（1）结合题干和等差数列的定义求解通项公式即可； （2）由（1）得，设，裂项相消可得，再结合的特点求解m的最小值. 【小问1详解】 由已知得且，可得是首项为1，公差为的等差数列， 所以．故的通项公式是． 【小问2详解】 由（1）得． 设，则，． 当时， ， 由题意可得单调递增，且当时，，得到． 由，可知符合题设条件的m的最小值为9． 16. 某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单. （1）该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率； （2）该订单发生延迟的概率； （3）若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ， 由题意可知，， 可得， 所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为． 【小问2详解】 由题意可得 ， 所以该订单发生延迟的总概率． 【小问3详解】 由题意可得， 所以订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为． 17. 已知正方体的棱长为2，点分别为上下底面的中心，圆锥的顶点为，圆锥底面为正方形的内切圆，为中点，如图所示． （1）设点Q在圆锥的底面圆周上运动． （ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值； （ⅱ）若，证明：平面． （2）设平面和圆锥侧面的公共点构成集合，若，求PM的最小值． 【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用平面可得，可求出的值，从而得出直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值 （ⅱ）根据勾股定理可求得，利用线面平行的判定定理可证明平面平面，再利用平面与平面平行的性质即可得证. （2）以为原点，建立如图坐标系，设，由在圆锥侧面上可转化为与的夹角余弦值为，利用向量法求出平面的法向量，结合即可求出的最小值，从而得解. 【小问1详解】 （ⅰ）解：由于平面，所以为平面的法向量， 设直线和平面所成角为，则， 因为平面， 所以直线和平面所成角的正弦值为． （ⅱ）证明：因为， 因为圆锥底面圆的半径，所以， 所以，结合可知共线．所以平面． 下面证明平面平面， 由于，结合平面，平面， 所以平面，由于，显然， 所以为平行四边形，所以， 结合平面，平面，所以平面， 由于为平面中的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 以为原点，建立如图坐标系，此时，，，，， 设，则在圆锥侧面上，的夹角余弦值为， 即①， 设平面的法向量为，由， 在平面上 ②，，结合①②可得， ， 取等条件，所以的最小值为． 18. 已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍. （1）求双曲线的方程； （2）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值； （3）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由已知可得双曲线的焦距是，设：，进而可得，求解即可； （2）不妨设：，设：，联立方程组求得点，，的横坐标，计算可得的值； （3）延长，分别交渐近线于，两点，结合（1）可得，可得，设的倾斜角为，可得，进而计算可得的面积. 【小问1详解】 由题意的焦距为，双曲线的焦距是， 设：，所以：，. ： 【小问2详解】 不妨设：，设：， 联立：，解得： 联立，解得： 联立，解得：， 从而. 【小问3详解】 如图，延长，分别交渐近线于，两点， 由（2）可知， 因为四边形是平行四边形，， 所以， 设， 则：，与：联立， 解得，同理求得：， 故， 设的倾斜角为，则，而， 故， 则，因此. 19. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数在内有零点，求实数的取值范围； （3）若存在，使得，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线方程即可； （2）利用分离参变量，构造函数求值域，即可求参数范围； （3）利用分析法，结合已知条件，转化为导数证明不等式即可. 【小问1详解】 当时，，求导得：， 则，切线斜率， 由点斜式得切线方程：； 【小问2详解】 由在有零点，因为时， 所以， 设，， 求导得：， 令，， 则， 当时，， 则在单调递增， 即 ， 所以当时，， 当时，， 即在上单调递增， 当时，由， 当时，，则的值域为 所以由在有零点，则， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 由已知得：， ， 由（2）得，则，即， 由（2）知在上单调递增， 要证明，只需要证明， 又因为，所以即证明， 因为，所以只需要证明， 构造函数，，， 求导得：，， 所以在上单调递增， 在上单调递增， 则，， 即，， 利用不等式性质可得：， 即原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门一中2026届高三第二次模拟考试数学试卷 命题：唐登欣 审题：黄星星 一、单选题 1. 已知、，集合，，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ） A. 0或1 B. 或1 C. 1 D. 0 3. 已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数据点P对应的残差的绝对值为5 C. 该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D. 乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好 10. 已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 C. 曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为 D. 若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 三、填空题 12. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 13. 已知向量，，若，则函数的最小值为________. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为_________________. 四、解答题 15. 已知数列满足，． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 16. 某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单. （1）该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率； （2）该订单发生延迟的概率； （3）若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率. 17. 已知正方体的棱长为2，点分别为上下底面的中心，圆锥的顶点为，圆锥底面为正方形的内切圆，为中点，如图所示． （1）设点Q在圆锥的底面圆周上运动． （ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值； （ⅱ）若，证明：平面． （2）设平面和圆锥侧面的公共点构成集合，若，求PM的最小值． 18. 已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍. （1）求双曲线的方程； （2）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值； （3）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 19. 已知函数 （1）当时，求在点处的切线方程； （2）若函数在内有零点，求实数的取值范围； （3）若存在，使得，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $