湖南常德市石门县第一中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

**基本信息** 以双纽线几何美、外卖订单概率等情境设计，融合数学抽象与数据分析，适配高三二模综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合、幂函数、抛物线等|基础概念辨析，如第3题抛物线焦点准线距离| |多选题|3|统计回归、导数应用、双纽线性质|第11题双纽线结合对称性与几何直观，体现数学眼光| |填空题|3|斜二测画法、向量、解三角形|第14题锐角三角形外接圆问题，考查空间观念| |解答题|5|数列、概率、立体几何、解析几何、导数|第16题外卖订单概率应用数学语言，第19题导数综合考查逻辑推理|

《数学第二次模考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A B B B D BCD CD 题号 11 答案 BCD 12. 14 13. 14. 15．(1)证明见解析， (2)9 【详解】（1）由已知得且，可得是首项为1，公差为的等差数列， 所以．故的通项公式是． （2）由（1）得．设，则，． 当时， ，由题意可得单调递增，且当时，，得到．由，可知符合题设条件的m的最小值为9． 16．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设订单来自早、午、晚高峰时段分别为事件 A， B，；出现延迟事件V ， 由题意可知，， 可得，所以订单来自午高峰时段且发生延迟的概率为． （2）由题意可得 ，所以该订单发生延迟的总概率． （3）由题意可得， 所以订单出现延迟，来自晚高峰时段的概率为． 17，【答案】(1)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 (2) 【详解】（1）（ⅰ）解：由于平面，所以为平面的法向量， 设直线和平面所成角为，则， 因为平面， 所以直线和平面所成角的正弦值为． （ⅱ）证明：因为， 因为圆锥底面圆的半径，所以， 所以，结合可知共线．所以平面． 下面证明平面平面，由于，结合平面，平面，所以平面，由于，显然， 所以为平行四边形，所以，结合平面，平面，所以平面，由于为平面中的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）以为原点，建立如图坐标系，此时，，，，， 设，则在圆锥侧面上，的夹角余弦值为， 即①， 设平面的法向量为，由， 在平面上②，，结合①②可得， ， 取等条件，所以的最小值为． 18．(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）由题意的焦距为，双曲线的焦距是， 设：，所以：，. ： （2）不妨设：，设：， 联立：，解得： 联立，解得： 联立，解得：， 从而. （3）如图，延长，分别交渐近线于，两点， 由（2）可知，因为四边形是平行四边形，，所以， 设，则：，与：联立，解得，同理求得：， 故，设的倾斜角为，则，而，故，则，因此. 19．【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，切线斜率，由点斜式得切线方程：； （2）由在有零点，因为时， 所以，设，， 求导得：， 令，，则， 当时，，则在单调递增，即， 所以当时，， 当时，，即在上单调递增，当时，由， 当时，，则的值域为所以由在有零点，则，即实数的取值范围为； （3）由已知得：， ， 由（2）得，则，即， 由（2）知在上单调递增， 要证明，只需要证明， 又因为，所以即证明， 因为，所以只需要证明， 构造函数，，， 求导得：，， 所以在上单调递增，在上单调递增， 则，， 即，， 利用不等式性质可得：， 即原不等式得证. 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门一中2026届高三第二次模拟考试数学试卷 命题：唐登欣 审题：黄星星 一、单选题 1．已知、，集合，，若，则（    ） A． B． C．或 D． 2．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 3．已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D． 7．在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建筑面积（单位：平方米）和销售价格y（单位：万元）的数据，已知其中有一套房源的数据为点，且，根据数据求得的线性经验回归方程为，该线性回归方程对应的相关系数为r，对应的决定系数，则下列结论正确的是（    ） A． B．数据点P对应的残差的绝对值为5 C．该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D．乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲机构选取的模型拟合效果更好 10．已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 11．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2 C．曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为 D．若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 三、填空题 12．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________． 13．已知向量，，若，则函数的最小值为________. 14．在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知，，成等差数列，且，若是外接圆的圆心，则的取值范围为_________________. 四、解答题 15．已知数列满足，． (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设m为整数，且对任意正整数，，求m的最小值． 16．某外卖平台订单集中在早高峰、午高峰、晚高峰三个时段，三个时段订单占比依次为 30%、40%、30%.统计发现，不同时段受接单压力影响，出现送餐延迟的概率不同，早高峰订单，发生延迟的概率为2%；午高峰订单，发生延迟的概率为3%；晚高峰订单，发生延迟的概率为4%.现随机抽取一笔外卖订单. (1)该订单来自午高峰时段且发生延迟的概率； (2)该订单发生延迟的概率； (3)若已知订单出现延迟，求它来自晚高峰时段的概率. 17．已知正方体的棱长为2，点分别为上下底面的中心，圆锥的顶点为，圆锥底面为正方形的内切圆，为中点，如图所示． (1)设点Q在圆锥的底面圆周上运动． （ⅰ）求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值； （ⅱ）若，证明：平面． (2)设平面和圆锥侧面的公共点构成集合，若，求PM的最小值． 18．已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍. (1)求双曲线的方程； (2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值； (3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 19．已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若函数在内有零点，求实数的取值范围； (3)若存在，使得，求证：． 答案第2页，共4页 高三数学试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $