第二十七章 反比例函数与一次函数 专项训练（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数综合应用，通过基础巩固、能力提升及中考真题训练，构建“概念-图像-性质-综合应用”的递进式知识逻辑，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练|8题|图像识别、交点坐标、不等式解集、面积计算|从函数图像性质到代数求解，建立形与数的联系| |提高训练|2题|新定义“和谐点”、综合证明|结合创新情境深化函数性质应用，发展推理意识| |中考真题|12题|多省市中考题，涵盖存在性问题、动态几何|对接中考命题趋势，强化综合解题能力与应用意识|

第二十七章反比例函数 反比例函数与一次函数专项训练 A 夯基础 1y=mr-m和y=-兴m≠0)在同一坐标系内的图像可能是() 2.如图，一次函数y=c+b与反比例函数片=，的图象交于A(1,m),B(4,n)两点，则关 于×的不等式c+b>的解集是（) YA A.x<0或1<x<4 B.x<1或x>4 C.0<x<1或x>4 D.1<x<4 3如图。一次函数y=2-图象与轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y= 1 A(m,2) 在第一象限的图象相交于点 点D的横坐标为4，过点D作y轴的平行线，交反比 例函数的图象于点E,连接BE,则△BDE的面积为 4如图，反比例函数y= =的图象与一次函数y=K,x+b的图象分别相交于点AL,2)和点 B(m,-1) ,将点B向右平移4个单位长度后得到点C,线段BC与'轴相交于点D,连接 AC,AD )求反比例函数y= x与一次函数y=k,x+b的表达式. (2)求△ACD的面积. 5.如图，一次函数y= X+1与反比例函数y= 的图象相交于点A2,a小、Bb,-1. VA M (1)求反比例函数的表达式： 2例请直接写出关于X的不等式x+1的解集， X (3)若点P是y轴上的一点，△ABP的面积是12，求点P的坐标. m 6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数片=：+b的图象与反比例函数片=x的图象相交 于点4和B(4-3) 点A的横坐标为2 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： 2)观察图象，直接写出当片≤片 时x的取值范围： (3)点C为x轴上一动点，连接AC、BC,若△ABC的面积为18，求点C的坐标. 7如图，直线y=2x-6与反比例函数y=kx>0的图象交于点A42小，与x轴交于点 B. (1)求k的值及点B的坐标： (2)当x 时，2x-6>kx>0l: X (3)在x轴上是否存在点C,使得△ABC为等腰三角形，且AC=AB?若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由。 8,如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+bk≠0与反比例函数y=m(m≠0， x>0)的图象相交于点A1,6,B3,n两点. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； 2)请直接写出关于x的不等式kx+b>m的解集 (3)在平面直角坐标系xOy中，是否存在点C(点C在直线AB的右上方)和点D,使得四边 形ACBD为正方形，若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 提能力 1如图，一次函数y=x-5与反比例函数y=元(k≠0：x>0的图像交于点A4、B,交x轴 于点C,分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E.若DE=3CE,则k的值为 2.阅读与思考 请仔细阅读下面材料，完成相应问题： 在平面直角坐标系中，过 P(x,)(x>0,y>0)分别作轴、y轴的垂线，若垂线 与两坐标轴围成的矩形的周长与该矩形的面积数值相等，则称这个点为“和谐点”· 例如，点44 :矩形周长为 ×(4+4)=1 6,面积为4x4=16,两者相等，所以44)是 和谐点 1)判断：点(5,3) 和谐点.（填“是”或“不是”） 2)如图，直线y=x+k与y轴交于点A,与反比例函数y=” =x的图象交于点B(3,b),且B 是和谐点，求b的值和反比例函数的解析式. 创在(2)的条件下，反比例函数)=的图象上是香存在另一个和浩点0（不与点B重 合)？若存在，求四边形AOQB的面积；若不存在，请说明理由. 链中考 1.(2026四川巴中中考真题)函数y=:-k与y=x(k≠0)在同一平面直角坐标系中的 图象可能是() y=kx+b 2.(2025海南中考真题)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 的图象与 反比例函数4=下的图象交于点A(-1,-2、B2,).则不等式c+b> m x的解集为( A.x>2 B.x<-1 C.-1<x<2 D.-1<x<0或x>2 3.（2025青海西宁中考真题）如图，一次函数=kx+b(≠0)的图象与两坐标轴分别交 于点4，品，与反比例属数与=兰传0x>0 的图象交于点C1,2),Dm2 下列结论 错误的是() VA A.b=5 2 B,ABOC与△AOD的面积相等 17 C.△COD的面积是4 D.当1≤x≤4时，≥ 4.(2026江苏扬州中考真盟)一次西数=-+66>0)与反比例园数-女k>0)的部分 图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点，过 点M作MA⊥x轴，MBLy轴，垂足分别为A,B;过点N作NC⊥x轴，ND1y轴，垂足 分别为C,0.记年形M10B的面积为S,周长为S.记矩形NCOD的面积为，周长为 ,下列结论正确的是() B OA C A.5<S C<C B.S<S C>C C.5>5:G<C D.5>5 G>C 5.(2025山东东营中考真题)如图，一次函数y=3x+3的图象与坐标轴分别交于点B、 k C,反比例函数y=,的图象经过点A,AABC是等腰直角三角形，∠ACB=90,AC=BC, 则k的值为 6.(2025江苏常州中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=c+b的图像 与反比例函数y=的图像相交于点AL,川)、B(-3,-2),且与y轴交于点C (1)求一次函数、反比例函数的表达式： (2)连接OA,求△OAC的面积. 7.(2025:四川巴中中考真题)如图，直线)y=:+b与双曲线y=(x<0)交于 A(-2,6),B(-6,a) 两点. (1)求和直线的表达式： (2)根据函数图象直接写出不等式：+b>” 的解集； (3)求△AB0的面积. 8.(2025:四川乐山中考真愿)如图，一次函数y=x-1的图象与反比例函数y=←（k≠0)的 A(m,1)B(-l,n) 图象交于点 (1)求m、n的值和反比例函数的表达式： (2)若在x轴上存在点，Pa,0,使得△ABP的面积为6，求a的值. 9.(2025四川资阳中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数 m y=:-2的图象与x轴交于点A(-1,0),与反比例函数y=x的图象交于点B(-2,),射线 BO与反比例函数的图象交于点C,连接AC. (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)求△ABC的面积. y=kc+b(k≠0) 10.(2026四川遂宁中考真题)如图，一次函数 的图象与反比例函数 片 (m≠0)的图象交于A(-3,2八B(a,-6)两点，与y轴交于点C ○ (1)求一次函数与反比例函数的表达式： 2)根据图象，直接写出1>”时×的取值范围， 3)将一次函数y=:+b的图象向上平移5个单位长度后，与×轴下方的反比例函数片-” 图象交于点P,求△ACP的面积」 11.(2026甘肃天水中考真题)如图，一次函数y=3x+b的图象与反比例函数 y冬（k≠0)的图象交于点42,3》，与辅交于点C·在反比例函数图象上有一点B-3m: 过点B作BD⊥x轴于点D,连接AD,BC. VA ()求一次函数y=3x+b与反比例函数y=(k≠0)的表达式： (2)求四边形BDAC的面积. 12.(2024山东东营中考真题)如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数 x(k≠0)的图象交于点A(-3,a,BL,3),且一次函数与x轴，y轴分别交于点C, D (1)求反比例函数和一次函数的表达式： 2)根据图象直接写出不等式mr+n>的解集； P (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P,使得 SAOCP=4SAOBD ,求点的坐标 第二十七章反比例函数 反比例函数与一次函数专项训练答案 A 夯基础 1.B 2.A 3.4 A(1,2) 4.(1)解： 代入y= 得k=2,即k=2 x得1 2 ∴.y= 22=-1, 将点B(m,-1)代入y=可得 解得：m=-2, :8(-2-) [k2+b=2 将A,B代入y=kx+b得-2k2+b=-1, 解得： k2=1b=1 y=x+1 (2)解：根据平移可得BC∥x轴， :C2,)D0,-) .CD=2, 5m0D-*2x[2-(明-2x3=3. 5.a)解：A2a代入y=方x+1.得 0-21-2 .A2,2, Al22代入y-交为 2=今解得k=4, “·反比例函数的表达式为y=4: 2)解：把Bb,-1代入y=x+1,得 5b+1=-1,解得b=4 B-4,-1: 又A2,2, +1瓷的翻铁为-45X<0或x>2。 1 由图可知， X (3)解：如图，设直线AB与y轴交于点M, B 令x=0,则y= 1×0+1=1, .M0,1, 设P0,p,则PM=p-1, S-Sm+Sx2×PM+号x4×PM=3PM=12, .3p-1=12, 解得p=-3或p=5, 点P的坐标为0，-3或0,5 6.(1)解：一次函数y,=x+b的图象与反比例函数y,=m的图象相交于点A和B X -4,-3?点A的横坐标为2 ·将B-4,-3代入y2=m 则m=-3×-4=12, ·反比例函数解析式为：y,=1卫 X .12 ,将X4=2代入y2= 2≥6 则yA2 .A2,6, 将A2,6,B-4,-3代入y1=kx+b, [2k+b=6 则-4k+b=-3, 解得： b=3 一次函数解析式为：y= 2+3, (2)x≤-4或0<x≤2： 3)解：设y)X+3与x轴交于点D, 当y=0时， 2x+3=0 ∴.x=-2 D(-2,0)」 设C(,0) :CD=+2 ,△ABC的面积为18， S.4BC=S.cDA+S.cD8=CD(ya-y8) 2 8c=cD-(6+3)=18 .CD=4,即t+2=4 解得：t=2或t=-6 ∴点c坐标为6,0)或(2,0) 7.(1)解：把点A4,2代入反比例函数y=上，得k=8, 把y=0代入y=2x-6中，可得x=3, 故k=8:B点坐标是3,01训 (2)x>4 (3)解：设点C的坐标为m,0, 则AB=4-3P+12-0P=5'AC=4-mP+2-02,BC=m-3 ,△ABC为等腰三角形，且AC=AB, 5=4-m2+2-02,即4-m2=1' 解得：m=5或m=3(此时BC=m-3=0,则m=3不合题意，舍去)， ·点c的坐标为5,0 故在x轴上存在点C,使得△ABC为等腰三角形，且AC=AB:点C的坐标为5,0 8.(1)解：将点A1,6代入y= ,可得m=6, X “反比例函数的表达式为y= X 将B3,n代入y=6, 得n=-2, 3 .B3,2, 将A1,6,B3,2代入y=kx+bk≠0得， k+b=6 3k+b=2 k=-2 解得b=8 .一次函数的表达式为y=-2x+8: (2)1<x<3: (3)存在，理由如下： ,四边形ACBD为正方形， .AC=BC,∠ACB=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形， 如图，在直线AB的右上方作AB为斜边的等腰直角三角形ABC,过点C作EF⊥x轴，分 别过点A,B作AE⊥EF于点E,BF⊥EF于点F, VA B 则∠E=∠F=90° .∴∠CAE+∠ACE=90°， .∠ACB=90, ∴.∠ACE+∠BCF=90°， .∴∠CAE=∠BCF, 设点Cs,t, A1,6,B3,2 .AE=s-1,CE=6-t,CF=t-2,BF=s-3, 在△AEC和△CFB中， ∠E=∠F ∠CAE=∠BCF AC=BC .∴△AEC≌△CFBAAS, ∴.AE=CF,CE=BF, 6-3引 s=4 解得t=5} ∴.C4,5. B 提能力 1.-4 2.(1)不是：是： (2):B(B)是和谐点，b>0, :23+6)=3 ,解得：b=6, :B(66) “B在反比例函数= x上， .m=3×6=18. 六反比例函数的解析式为少=18 (3)假设存在Q点在反比例函数y= x的图象上，且为和谐点， 18 由(2)得y= x 18 a, 设气a(a>0) a,整理得：a2-9a+18=0, 解得：43 (舍)，6 存在点， 0(6,3) ,由(2) B(6,6)是=x+上的点， B(B,6)代入y=+,解得：k=3. ∴.一次函数解析式为y=x+3, 直线y=x+3与y轴交于点A, 0,3) ·4(0,3)0(6,3) A0∥x轴，A0=6,OA=3, 四边形10QB =SAo0+S。A0B 的面积 200A+240-(a-e) 1 1 ×6×3+-×6×3 2 2 =18 链中考 1.D 2.D 3.C 4.B 5.-12 6.(1)解：：一次函数y=+b的图像与反比例函数y=x的图像相交于点A(,”)小 B(-3,-2) 六将8(-3-2)代入y=” 得：2= -3 解得：m=6, 6 ∴反比例函数的解析式为y=二 Y 6 将A1,n)代入y= x' 得：n=6, :46) 将460)，B(-3-2代入Jy=+b 6=k+b 得：-2=-3k+b, [k=2 解得：b=4, .一次函数的解析式为y=2x+4: (2)解：当x=0时，y=2x+4=4, :c04) .0C=4, seoc4小-x41-2 7(4)解点42可在双酸买上 m=-2×6=-12, 又：B(-6,a)在双曲线y-” 上， .-6a=-12,解得a=2 「-2k+b=6 [k=1 由题意得： -6k+b=2,解得b=8, .y=x+8 (2)-6<x<-2 (3)解：如图，设直线AC与x轴交于点C, 当y=0时.x+8=0, ∴x=-8, ∴.C(-8,0) am8g6-8x2=24-8=16, 8.(1)解：：一次函数y=x-1的图象与反比例函数y=Kk≠0的图象交于点Am,1小、 X B(-l,n」 .m-1=1,-1-1=n, .m=2,n=-2, ·A(2,1,B(-山，-2) k 12 k=2, 反比例函数解析式为y= (2)解：如图所示，设直线y=x-1交x轴于C, 在y=x-1中，当y=x-1=0时，x=1, :C(1,0) .S△MPB=S△MPC+S△BPc=6 c+rc(w)-6, 2 2*2PC=6 ∴.PC=4, la-=4 .a=5或a=-3. 9.(1)解：·一次函数y=-2 的图象与x轴交于点 A(-1,0) .0=-k-2,解得k=-2, .一次函数的表达式为y=-2x-2。 “一次函数=-2x-2过点8(-2，) 0=-2x(-2)-2 .a=2, 8-22) :反比例函数-受的图象过点8(2.2)， ..2m 2,解得m=-4: ·反比例函数的表达式为少=-4 B(-2,2) (2)解：由题意知，点C和点 关于原点对称， C2,-2, 过点B(-2,2)作BELx轴于点B,过点C2,-21作CD1轴于点D, YA EA .BE=2,CD=2, ：(-1,0) .A0=1, 5,a=Sae+S-=A0BE+号A0-CD-方×1x2+x12=2 10(①)解：~4-3.2)在反比例函敦为-m≠0上， 2=m 3, .m=-6, :反比例函数的解析式为5=- B(a,-6), 6=-6 a ∴.a=1, .B1,6). [-3k+b=2 将A(-3,2)和B1,6)代入片=x+b中联立方程组得k+b=-6, [k=-2 解得b=-4, ·一次函数的解析式为 =-2x-4 (2)x<-3或0<x<1. (3)解：如图， 设-次函数片=-2r-4 的图象向上平移5个单位长度后得到直线，设与'轴交于点M 则CM=5 .AClI PM, .5.o5.uec535 1 2 11.(1)解：由题意，点A(2,3)在一次函数y=3x+b上， .3×2+b=3,解得b=-3: ·一次函数的表达式为 =3x-3 点42，)在反比例函数y-（k≠0)上， k 3,解得k=6' 2 6 :反比例函数的表达式为y=。 6 x上， (2)解：.点B(-3,m)在反比例函数y= 6 1m= -=-2 -3 点B的坐标为 -3,-2) :BD⊥x轴，垂足D在x轴上， 六点D的坐标为30) 直线y=3x-3与x轴交点C, 令y=0,则0=3x-3,解得x=1, ·点C的坐标为 1,0) ∴CD=1-(-3)=4 ∴四边形BDAC的面积为 1 S=S.Acn+S.mcn-CD.3+CD.BD=5x4x3+-x4x2=6+4=10 2)解：将B肌)代入y=套得.3音 k=3, .3 “反比例函数的解析式为' r 将-3代入得，a= 3 31 “点4的坐标为 -3,-1) 将点A和点B的坐标代入y=mr+n得， -3m+n=-1 m+n=3, [m=1 解得n=2, ·一次函数的解析式为 =x+2 (2)-3<x<0或x>1 (3)解：将x=0代入y=x+2得，y=2, D 0,2) “点的坐标为 5am=2×2x1=1, :.SAOCP =4SAO8D=4 将y=0代入y=x+2得，x=-2, 六点C的坐标为 C (-2,0) 解翔小4 ,点P在第三象限， %4 将=4代入得，= 4 P人