暑假检测卷（25-27章）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程、二次函数与反比例函数核心知识，通过制药降价、研学租车等真实情境设计问题，考查运算能力与模型意识，适配暑假巩固与综合应用需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图象性质|第3题以商厦销售额增长考查方程应用，体现数学眼光| |填空题|5/15|反比例函数解析式、根的判别式|第14题结合函数图象解不等式，培养几何直观| |解答题|8/75|方程求解、函数综合、实际应用|21题研学租车问题融合分式方程与费用最值，23题二次函数与等腰直角三角形存在性探究，考查推理能力与创新意识，贴合中考命题趋势|

2026-2027学年人教版第一学期九年级数学暑假检测卷教师版 一、单选题 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程中含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； B、方程中含有和两个未知数，是二元二次方程，不符合要求； C、方程只含一个未知数，的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合要求； D、方程中未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 3．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出十月份的销售额，再根据连续两个月的平均增长率为x，结合十二月份的最终销售额列出方程即可． 【详解】解：∵九月份销售额为200万元，十月份销售额下降了， ∴十月份的销售额为万元， ∵十一、十二月份的平均增长率为，销售额从十月份开始连续增长两次，最终十二月份销售额为万元， ∴可得方程 ． 4．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 5．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 6．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 7．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵二次函数图象的平移规律为：左右平移时对进行变化，符合“左加右减”规则，即向左平移个单位时，将原解析式中的替换为． 原抛物线解析式为，向左平移个单位， ∴将原解析式中的替换为， 得到新抛物线解析式为． 8．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 9．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 10．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 二、填空题 11．已知反比例函数的图象经过点，则___________． 【答案】6 【分析】反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入，即可求出的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 将，代入得：， 解得． 12．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 13．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程． （2）利用公式法解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， 即，， 解得，． （2）解：， ，，， ， ， ， 整理得， 解得，． 17．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 18．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 【答案】(1)当每件盈利元时，每天可销售件 (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 (3)商场日盈利不能达到元 【分析】（1）根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，计算出每件盈利元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量； （2）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，解之即可； （3）设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件，根据“某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件”，列出关于的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】（1）解：当每件盈利元时，每件商品降价：（元）， 商场每天可多销售：（件）， 每天销售：（件）， 答：当每件盈利元时，每天可销售件， （2）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元， 则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为减少库存，应舍去， 答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元； （3）解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，则商场每天多销售件， 根据题意得：， 整理得：， ， 该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到元， 答：商场日盈利不能达到元． 19．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【分析】 首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米， 由题意得：， 解得：，， ∵这堵墙的长为18米， ∴不合题意舍去， ∴， 宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C．已知点B的坐标为，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，，求四边形的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)12 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）过点B作轴于点D，则，，再根据计算即可得出结果； （3）找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． ∵轴，且， ∴点A横坐标为， 当时，． ∴点A坐标为． 将，代入中，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点B作轴于点D， ∵，， ∴，， ； （3）解：观察图象可知，不等式的解集为或． 21．我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】(1)A型客车每辆载客量为人，B型客车每辆载客量为人； (2)本次研学活动学校的最少租车费用是元． 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为人，则B型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（人）． ∴A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆， 根据题意得， 解得， 设本次研学活动学校的租车总费用为元， 则， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 又∵， ∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小， 又∵m取正整数， ∴的可能取值为，，，，， ∵，，， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）， ∴本次研学活动学校的最少租车费用是元． 22．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 23．如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版第一学期九年级数学暑假检测卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：人教版九年级上册第25——27章 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 3．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 5．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 6．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 7．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知反比例函数的图象经过点，则___________． 12．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________． 13．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（6分）解方程： (1)； (2)． 17．（8分）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 18．（9分）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查，每件商品每降价元，商场平均每天可多销售件． (1)当每件盈利元时，每天可销售多少件？ (2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？ (3)商场日盈利能否达到元？ 19．（9分）如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？ 20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C．已知点B的坐标为，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，，求四边形的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 21．（10分） 我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 22．（12分）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 23．（12分）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $