河南郑州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷（五）

郑州市2025——2026学年下期期末考试 高中二年级数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B B A B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12． 13． 14．11 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（1）由题可知， 2分 展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项． 展开式的通项公式为 4分 ；． 综上，展开式中二项式系数最大的项为和 6分 （2）由（1）知展开式的通项公式为， 有理项要求的指数为整数，即，其中 9分 易知当，，，时，其对应的项依次为： ；； ； 13分 16．（1），， 3分 零假设为：学生课后阅读时间与体育锻炼时长无关 4分 将表格中的数据代入中有 7分 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为学生课后阅读时间与体育锻炼时长有关 8分 （2）， 10分 12分 13分 当时， 所以若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为77.5分 15分． 17．（1） 2分 恒成立，恒成立． ①时，，恒成立，此时在上单调递减； 4分 ②时，令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 6分 综上：时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增 7分 （2）由（1）知，时，在上单调递减，至多有1个零点，不合题意． 8分 时，由在上单调递减，在上单调递增可知， 10分 又当时，，当时，， 若有两个零点，则只需 12分 即．令，则有． 设，则易知在上单调递增且， 当时，．即可得． 综上，当，有两个零点． 15分 18．（1）服从超几何分布，记，，，则 3分 （2）用频率估计概率，甲系统单次成功的概率为， 乙系统单次成功的概率为 5分 由题分析可知Y可取0,1,2,3 6分 ； ； ； 10分 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 12分 （3）已知甲系统单次成功避让的概率，因此 ， 14分 展开均方误差： 当n增大时，逐渐减小，即均方误差随测试次数的增加而减小，估计精度越来越高． 17分 19．（1）当时，，． ，又， 切线方程为，整理得 3分 （2）①函数有两个不同的极值点，，等价于在上有两个不同的正根 4分 令，则由得． 令，，则应与的图像产生两个交点 6分 令得． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 8分 又时，，时，， 若与的图像产生两个交点，则需， 10分 ②由（2）知，，是的两根． 两式相减得，故 12分 要证，等价于证，将代入中， 即证整理得． 令，则即证．即证 14分 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增，， 即在上恒成立，在上单调递增，． 即在上恒成立，故得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025―2026学年下期期末考试 高二数学试题卷（五） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A． B． C． D． 2．已知，则为 A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知随机变量，实数满足，则的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为 A． B． C． D． 5．某郑州研学团计划参观少林寺、郑州文庙、只有河南·戏剧幻城、黄河文化公园、建业电影小镇5个景点，要求：少林寺必须排在第一个或最后一个参观；郑州文庙与黄河文化公园必须相邻，则不同的参观顺序有（ ）种 A．12 B．24 C．36 D．48 6．已知随机变量，，，，且，则 A． B． C． D． 7．的展开式中，的系数为 A． B． C． D． 8．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果的好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 B．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D．若随机变量服从正态分布，，则 10．现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行选修课报名，该学期共有三门课程：“文学鉴赏”、“科学探索”、“艺术实践”．每人必须且只能选一门课．记事件A为“有三名同学选同一门课”（其余两人各自选不同的课），记事件B为“同学甲单独选择“文学鉴赏”．则下列说法正确的是 A．5名同学的报名情况共有种 B．“三门课都有人选”的报名情况共有150种 C．三门课程中最终只有两门课程被选的概率为 D． 11．已知多项式按二项式定理展开后，各项的二项式系数依次排列，可构成经典的杨辉三角（如图1）．我们对杨辉三角中的数字进行染色：若二项式系数为奇数，则将该位置涂为黑色；若为偶数，则涂为白色，染色后得到的几何图案，即为谢尔宾斯基三角形（如图2）．请结合杨辉三角与谢尔宾斯基三角形的相关性质，判断下列说法中正确的是 A． B．在“杨辉三角”中，第12行的奇数项数字之和为2048 C．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第62行的黑色圆比白色圆多一个 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是________． 13．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：．现有某工厂利用检测机器人筛查零件，已知生产的零件次品率为，机器人检测的规则如下：①若是次品，机器人检测判定为次品的概率为；②若是正品，机器人误判为次品的概率为．现随机抽取一件零件，机器人检测结果显示为次品，则该零件实际为次品的概率________． 14．古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中，通过严谨的几何公理和逻辑推理，系统化地证明并确立了“正多边形有且只有一个外接圆”这一性质．现从正边形的顶点中任取若干个，使之能作为正边形的顶点，则的不同选法共有________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： （1）求的值及展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项． 16．（15分）郑州某中学为了解学生课后阅读时间与体育锻炼时长的关联性，以及基于阅读时间预测学生作业完成质量，随机抽取了高二年级名学生进行调查，将学生课后阅读时间分为“不少于小时”“少于小时”两类，体育锻炼时长分为“不少于小时”“少于小时”两类，得到如下统计数据（单位：人）： （1）求下面表格中，，的值，并依据小概率值的独立性检验，分析学生课后阅读时间与体育锻炼时长是否有关？ 阅读时间\锻炼时长 不少于1小时 少于1小时 总计 不少于1小时 15 少于1小时 10 50 总计 45 55 100 参考数据（独立性检验临界值表）： 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）为进一步研究课后阅读时间（单位：小时）与学生每日作业完成质量得分的关系，随机选取其中20名学生的样本数据，经计算得： ，，，，求关于的一元线性回归方程，并预测若某学生课后阅读时间为2.5小时，则其每日作业完成质量得分为多少？ 附：（i），其中． （ii）在线性回归方程中，，； 17．（15分）已知函数． （1）讨论的单调性． （2）若有两个零点，求的取值范围． 18．（17分）2026年被业内称为自动驾驶商业化关键元年，L3级自动驾驶规模化落地、Robotaxi多城运营、智驾技术从“高端专属”走向“普惠平民”．近期，国际权威测评机构P3发布《2026中国智能驾驶测评报告》，对主流智驾系统障碍物避让、复杂路况应对等核心性能展开全面测试．某智能出行科技公司测试甲、乙两款辅助驾驶系统的障碍物避让性能，分别搭载甲、乙系统的车辆各开展了120次模拟测试，其中甲系统避让成功96次，乙系统避让成功84次．假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． （1）若从这120次甲系统测试中不放回地随机抽取5次测试，记为抽取的5次测试中甲系统成功避让的次数，求的数学期望． （2）现对乙系统追加2次独立测试，对甲系统追加1次独立测试，记为这3次测试里成功避让的总次数，求的分布列与数学期望； （3）现对甲系统追加次独立测试，记为这次测试中成功避让的次数，若用估计甲系统单次成功避让的概率，求（均方误差），并说明当增大时该值的变化趋势．（参考公式：） 19．（17分）已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个不同的极值点，，且， ①求实数的取值范围； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $