精品解析：河南省郑州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

郑州市2024-2025学年下期期末考试 高二数学试题卷 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，令得解. 【详解】由，得， . 故选：C. 2. 如图是某调查小组收集的全国近十个月新能源汽车与燃油车销量的折线图，根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 新能源汽车销量与月份呈现正相关 B. 可预测燃油车销量仍呈下降趋势 C. 新能源汽车销量逐月增长率大致相同 D. 燃油车销量与月份的相关系数接近1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的折线图，结合相关系数的概念，以及回归分析的含义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，新能源汽车销量与月份呈现上升趋势，所以新能源汽车销量与月份正相关，故A正确； 对于B，燃油车销量与月份呈现下降趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧，可预测燃油车销量仍呈现下降趋势，故B正确； 对于C，新能源汽车销量与月份呈现上升趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧，所以新能源汽车销量逐月增长率大致相同，故C正确； 对于D，燃油车销量与月份呈现下降趋势，且比较均匀的分布在直线的两侧，所以燃油车销量与月份的相关系数接近，故D错误. 故选：D. 3. 现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题捆绑法，将两名女生“捆绑”，算出总的排法减去男生甲站排头的排法，得解. 【详解】将两名女生“捆绑”，看成整体，总的排法有种， 其中男生甲站排头的排法有种， 所以男生甲不站排头的不同排法种数为种. 故选：B. 4. 若，且，若能被9整除，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【详解】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 5. 若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的定义可得，即，结合二项分布的均值和方差公式求得答案. 【详解】由，，则， ，故， 设，则， . 故选：C. 6. 若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 7. 一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 8. 已知且，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件变形可得，，，构造函数，，求导判断单调性，利用单调性求解判断. 【详解】由，可得，， 同理，可得，，，， 令，，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，又，则， ，则，，则， 即，且，，， 由在上单调递增，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 当决定系数越接近于1时，说明模型的拟合效果越好 B. 若经验回归方程为，则点的残差为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据决定系数的意义即可判断；对B，根据回归方程计算，由残差定义即可求得结果；对C，根据方差的性质计算判断；对D，根据正态分布的原则结合对称性求解判断. 【详解】对于A，若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B，当时，，所以样本点的残差为，故B错误； 对于C，由，根据方差的性质可得，故C正确； 对于D，由，，根据原则结合对称性可得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件“抽到”，事件=“抽到黑桃”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由事件不互斥，结合概率的加法公式判断；对B，由相互独立事件的定义计算判断；对CD，由条件概率的公式计算判断. 【详解】对于A，因为事件有可能同时发生，所以事件不互斥， 所以，故A错误； 对于B，由，，， 所以，故B正确； 对于C，由选项B，， ，所以，故C正确； 对于D，由B知，事件相互独立，则与也相互独立， ， ，所以，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数与交于，两点，如图截取两函数在，之间部分图象得到一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 封闭曲线关于直线对称 B. 若点的横坐标为，则 C. 封闭曲线上的点到直线距离的最大值为 D. 封闭曲线上存在互异的两点，，分别过，作的切线，斜率记为，，满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由反函数的性质即可判断；对B，令，构造函数，利用导数判断单调性可得，令，判断单调性结合零点存在性定理可判断；对C，根据对称性，转化为曲线上斜率为1的切线对应的切点到直线的距离，求解；对D，结合C，求出曲线上斜率为1的切线对应的切点存在，得解. 【详解】对于A，由函数，可得， 所以函数与函数互为反函数，所以封闭曲线关于直线对称，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，所以在R上单调递增， 又，可得，即， 令，则， 易知，，即单调递减， ，，即单调递增， 又，，所以，故B错误； 对于C，设，由B知，当时，单调递减， 又，，所以， 所以封闭曲线上点的横坐标取值范围为，其中，， 由，则，令，得， 所以上斜率为1的切线对应的切点为， 由对称性，封闭曲线上的点到直线距离的最大值为点到直线的距离， 所以距离的最大值为 ，故C正确； 对于D，由，则，令，得， 所以曲线上斜率为1的切线对应的切点为， 所以封闭曲线上存在互异的两点和，对应的切线的斜率相等，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为______. 【答案】150 【解析】 【分析】根据题意，用间接法，首先计算从11个顶点中任取3个的取法数目，再分析其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况，进而可得可以构成三角形的组数． 【详解】从11个顶点中任取3个，有种取法， 而其中不能组成三角形即取出的三点共线的情况有： 三点都在三条水平边上，有种， 三点都在三条竖直边上，有3种， 三点在正方形的对角线方向上，有3种， 则不能组成三角形即取出的三点共线的情况有种； 所以可以构成三角形的组数为组. 故答案为：150. 13. 某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则______，______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，有，，，，由全概率公式和贝叶斯定理求解. 【详解】设抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作，抽到试卷的概率记作， 根据题意，有，，，， 由全概率公式 . 所以. 故答案为：；. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数正负得出函数的单调区间，利用函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】设，，则， 当时，，则， 所以函数在上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以是上的偶函数，则在上单调递减， 因为，所以，所以， 对于不等式， 当时，由，可得； 当时，由，可得， 所以不等式的解集是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解可得，再求出展开式的通项公式求解； （2）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【小问1详解】 由题，可得，即， 得，又，所以， 因为展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. 【小问2详解】 因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 16. 郑州东站位于河南省郑州市郑东新区，是亚洲规模最大的高铁站之一，全国唯一的“米”字型高铁枢纽，总建筑面积41.2万平方米，车站规模16台32线，自运行起客流持续保持高位运行.有调查小组统计郑州东站某处某月1日到9日的客流人数，得到如下数据： 时间（日） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数 80 98 129 150 203 190 258 292 310 （1）由于统计人员的疏忽，第5日的数据统计有误，如果去掉第5日的数据，试依据剩下的数据，建立每日客流的人数关于时间的线性回归方程. （2）根据（1）中所求方程，预测第10日的客流人数.（结果保留整数） 参考数据：，，，， 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1） （2）338人 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义结合参考数据求得新的样本点，结合的计算公式进行转化整理求得其值，从而得解； （2）根据（1）所求线性回归方程计算求解即可. 【小问1详解】 设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为， ，， ， 则 ， 因为， 所以， ， 所以线性回归方程为. 【小问2详解】 当时，， 因此预测第10日的客流人数为338人. 17. 设函数. （1）讨论的单调性； （2）若，为的两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分，，讨论导数的正负，得解； （2）由（1）以及有两个极值点，可得，且，代入并化简，结合基本不等式即可求得的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 令，由， 当时，，由，得， 令，得， 令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 当时，，则，所以在R上单调递减； 当时，，则，故，所以在R上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在和上单调递减. 当时，所以在R上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，当时，有两个极值点，且满足，不妨设， 则， 因为，且，所以， 所以， 所以的取值范围为. 18. 图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某市人工智能公司研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，研发人员输入了200张不同人脸照片作为测试样本，获得统计数据如下表（单位：张）： 性别 识别结果 合计 正确 不正确 男 105 15 120 女 60 20 80 合计 165 35 200 （1）依据小概率值的独立性检验，试分析根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别是否存在差异； （2）假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. （i）研发人员对该市的女性人脸照片进行测试，并从中随机抽取3张，求恰有2张照片识别正确的概率； （ii）在新一轮测试中，研发人员对3张不同的女性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）存在差异，理由见详解； （2）（i），（ii）答案见详解. 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算，利用独立性检验的判断； （2）（i）记表示从该市测试的女性人脸照片中随机抽取3张识别正确的张数，可得，利用二项分布的概率公式求解；（ii）的所有可能取值为，求出相应的概率，列出分布列，进而求得期望. 【小问1详解】 零假设：根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别没有差异. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别存在差异. 【小问2详解】 （i）设事件表示输入女性照片且识别正确，由题可得可估计为， 记表示从该市测试的女性人脸照片中随机抽取3张识别正确的张数，则， 所以. （ii）由题，的所有可能取值为， 则，，， 所以的分布列为 1 2 3 所以. 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”. （1）若是上的“好函数”，求的取值范围； （2）（i）证明：是上的“好函数”. （ii）设，证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用给定定义得到，令，结合二次函数的性质求解即可； （2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可； （ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可. 【小问1详解】 由题可知任意，且，， 即，整理得， 令，则， 函数在上单调递增，且时，， 则，故，即的取值范围为． 【小问2详解】 （i）设，且， 则， 令，，                则，则在上单调递增，   得到，即，                       故是上的“好函数”. （ii）由（i）可知，当时，且，有， 令， 则， 则， 故， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市2024-2025学年下期期末考试 高二数学试题卷 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若函数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 如图是某调查小组收集的全国近十个月新能源汽车与燃油车销量的折线图，根据该折线图，下列说法错误的是（ ） A. 新能源汽车销量与月份呈现正相关 B. 可预测燃油车销量仍呈下降趋势 C. 新能源汽车销量逐月增长率大致相同 D. 燃油车销量与月份的相关系数接近1 3. 现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 4. 若，且，若能被9整除，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 5. 若随机变量服从正态分布，随机变量服从两点分布，且，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，且，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 当决定系数越接近于1时，说明模型的拟合效果越好 B. 若经验回归方程为，则点的残差为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 10. 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件“抽到”，事件=“抽到黑桃”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数与交于，两点，如图截取两函数在，之间部分图象得到一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 封闭曲线关于直线对称 B. 若点的横坐标为，则 C. 封闭曲线上的点到直线距离的最大值为 D. 封闭曲线上存在互异的两点，，分别过，作的切线，斜率记为，，满足 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是由5个正方形拼成的图案，从图中小正方形的11个顶点中任取3个顶点为一组，可以构成的三角形个数为______. 13. 某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有卷，卷，卷3套，若该同学抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，抽到卷过关的概率为，记该同学过关的概率为.若已知该同学过关，则他抽到是卷的概率为，则______，______. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中所有的有理项； （2）求展开式中系数最大的项. 16. 郑州东站位于河南省郑州市郑东新区，是亚洲规模最大的高铁站之一，全国唯一的“米”字型高铁枢纽，总建筑面积41.2万平方米，车站规模16台32线，自运行起客流持续保持高位运行.有调查小组统计郑州东站某处某月1日到9日的客流人数，得到如下数据： 时间（日） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数 80 98 129 150 203 190 258 292 310 （1）由于统计人员的疏忽，第5日的数据统计有误，如果去掉第5日的数据，试依据剩下的数据，建立每日客流的人数关于时间的线性回归方程. （2）根据（1）中所求方程，预测第10日的客流人数.（结果保留整数） 参考数据：，，，， 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 17. 设函数. （1）讨论的单调性； （2）若，为的两个极值点，求的取值范围. 18. 图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某市人工智能公司研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，研发人员输入了200张不同人脸照片作为测试样本，获得统计数据如下表（单位：张）： 性别 识别结果 合计 正确 不正确 男 105 15 120 女 60 20 80 合计 165 35 200 （1）依据小概率值的独立性检验，试分析根据人脸照片识别性别的程序的识别结果与性别是否存在差异； （2）假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. （i）研发人员对该市的女性人脸照片进行测试，并从中随机抽取3张，求恰有2张照片识别正确的概率； （ii）在新一轮测试中，研发人员对3张不同的女性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”. （1）若是上的“好函数”，求的取值范围； （2）（i）证明：是上的“好函数”. （ii）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $