河南青桐鸣普通高中2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

普通高中2025—2026学年（下）高二年级期末考试 数学参考答案 一、选择题 1．A 2．A 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 二、选择题 9．AC 10．BD 11．ABC 三、填空题 12． 13．36 14．4 四、解答题 15．解：（1）证明：因为平面，平面，所以， （2分） 又，，，平面，得平面． （5分） （2）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， （6分） 不妨设，可得，，，，，，，， （9分） 设平面的法向量为， 则有即取，则， （11分） 记直线与平面所成的角为，故． （13分） 16．解：（1）由余弦定理，得， （3分） 即，整理可得，解得． （6分） （2）由，得． （8分） 由正弦定理，得的外接圆的半径， （11分） 的面积． （15分） 17．解：（1）设在这个信号对中，出现的频数为，出现的频数为， 依题意可得解得 设在这个信号对中，出现的频数为，出现的频数为， 依题意可得解得 由信号对的频数为，可得当时，与的频数分别为与，当时，与的频数分别为与．故补全的列联表如下： 单位：个 合计 60 40 合计 50 50 100 （6分） （2）（ⅰ）由，得， 解得． （8分） 由上述结果可知信号对出现的频数为，故样本中满足的总频数为，将此样本频率视为概率即可得到单次输出时满足的概率． （10分） （ⅱ）由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足的概率均为，由此判断随机变量服从二项分布，即． （11分） 随机变量的所有可能的取值为，，，，， （12分） ，，， ，． 则的分布列为 0 1 2 3 4 （14分） 因为，所以． （15分） 18．解：（1）椭圆：的上顶点为，右顶点为． 由点到上顶点的距离为，得，所以，又，所以． （2分） 由点到右顶点的距离为，得，即或，又，所以． （3分） 因此椭圆的标准方程为． （4分） （2）（ⅰ）证明：当直线不垂直于轴时，设其方程为． 代入，得，整理得． （6分） 设交点，的横坐标分别为，，则，所以中点的横坐标为． 因为点在直线上，所以中点的纵坐标为． （8分） 于是，即点在曲线上． （10分） 当直线垂直于轴时，直线的方程为，易得线段的中点也满足． 综上，点在曲线上． （12分） （ⅱ）若直线垂直于轴，则，点，重合，不合题意． 故由（2）（ⅰ），得，而，，所以的面积为． （13分） 由题意，得，所以，即． 令，则，且，整理得，即，所以， 故或． （15分） 因此直线的方程为或，即或． （17分） 19．解：（1）由，，，得，，， （1分） 猜想数列的通项公式为， （2分） 因为，所以猜想成立． （3分） （2）设，故， （4分） 当时，，单调递减；当时，，单调递增， （5分） 而， 注意到， 结合函数的单调性，可知． 故数列的最小值为． （7分） 易知当时，， 而，， 又，， 故数列的最小值为． （9分） （3）证明：， （10分） 于是， （11分） 设，， （13分） 下面证明 注意到， （14分） 显然， 设，则， （15分） 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 故， 于是，则，在上单调递增， 于是是递增数列． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $秘密★启用前 普通高中2025一2026学年（下）高二年级期末考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A=(x|2<2<8),集合B=(xI川x|≥2)，则C(AUB)= A.(x]-2<x≤1) B.{x|-1<x≤2} C.(x1-2≤x<1) D.(x|-1≤x<2) 2.在等差数列(a.）中，a1十ag=2,a4=4,则(an)的公差为 A号 B.2 C.3 D.4 3.经过抛物线x2=y与y2=x的两个交点的直线方程为 A.y=x B.y=-x C.x+y=1 D.x-y=1 4.若3sina=2cos°a,则cos2a= A-号 B-9 C.i D 5.已知随机变量X~N(0,a2)(a>0),且P(X>2)=0.2,则P(X<2|X>-2)= A号 B号 c D 6.设复数x与x2在复平面内所对应的点分别为A,B,若AB=(-1,0),则|z= A.5-1 B.1 c.5+1 D,2 2 7.若函数f(x)与g(x)分别为定义在R上的奇函数与偶函数，则一定有 A.y=f(x)g(x)为偶函数 B.y=f(x)+g(x)为偶函数 C.y=[f(x)]g(x)为奇函数 D.y=f(x)[g(x)]”为奇函数 数学试题第1页（共4页） 8.已知圆O:x2+y2=9与圆C:(x一3)2+y2=9.若以直线x+y=m上任意一点P为 圆心，以点P到圆O的切线长为半径作圆，该圆始终与圆C有公共点，则实数m的最 小值为 A.3√2 B号 c D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.对于所有实数x,使得不等式x2十ax十a2>0恒成立的一个充分不必要条件可以是 A.a>0 B.a>-1 C.a<0 D.a<2 10.在某次实验中，某同学根据4个样本点(1，一2)，(4，一8)，(m,一2)，（3，t),利用最小 二乘法得到y关于x的经验回归方程y=一2x十1，设对应的回归直线为l:y= 一2x十1.已知这4个样本点到1的距离均不超过气，记c,=,-,其中y,为观测 值，y:为预测值，，为(x1,y)对应的残差注：由最小二乘法所得残差满足 =0, 21=0小则 A.样本点(1，一2)对应的残差为1 B.样本点(1，一2)到1的距离为5 C.m=1 D.t=-4 11.设曲线C,y=e,过C上横坐标为t的点作切线，切线与坐标轴分别交于点A,,B,,记 A,P,=2A,B,则 A.P,的轨迹与x轴仅有一个交点 B.P,的轨迹与y轴仅有一个交点 C.P,的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D.P,的轨迹在第四象限仅有一个最低点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.双曲线x23=-1的离心率为 13.端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活 动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不 同的选择方式共有种（用数字作答）. 14.已知等比数列(a。)与等差数列(b。)的各项均为正整数，且等比数列{a。}的公比为q, 等差数列(b.)的公差为d,{a。)的前n项和为S。.若对任意正整数n,都有S.=b。. b1,则gd= 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在三棱柱ABC-A,B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AA1=BC (1)证明：AC⊥平面ABB,A1; C (2)求直线AB,与平面A,BC所成角的正弦值. 16.(15分) 在△ABC中，BC=2,AC=13,0sB=-5 (1)求AB; (2)求△ABC的外接圆的半径与△ABC的面积. 17.(15分) 在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对(x,y),其中状态指示值 x,y∈(1,2).工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信 号对中x的值总和为140，y的值总和为150，设该样本中信号对(1,1)出现的频数为 m(m∈Z,10≤m≤50)，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值， (1)直接补全下列列联表（用m表示）： 单位：个 y 合计 y=1 y=2 x=1 m x=2 合计 100 数学试题第3页（共4页） (2)若按样本频率得到的x与y相互独立，即X2=0. （I)求m的值，并计算单次输出时满足x=y的概率p; (ⅱ)现该系统继续独立输出4个信号对，记满足x=y的信号对个数为X,求X的分 布列与数学期望. n(ad-bc)2 附：X2-a+b)c+a)(a十c)6+其中n=a+b+c+d. 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy吊，已知椭圆C:三+ +6-1(a>b>0),且点T(1,0)到C的 上顶点以及右顶点的距离分别为√2和1. (1)求C的标准方程. (2)过点T的直线L与C交于A,B两点，设M为线段AB的中点. (1)证明：点M在曲线x2+4y2=x上； (i)若△OMT的面积为8，求L的方程. 19.(17分) 已知定义在(0，十∞)上的函数fn(x)=n`x-1(n∈N")的零点为xn,且x1=1, 1 (1)试猜想数列{x.)的通项公式，并加以验证； (2)求数列{x.)的最小值与数列 的最小值； (3)证明：{f(xn)》是递增数列. 数学试题第4页（共4页） 普通高中2025一2026学年（下）高二年级期末考试 数学参考答案 1.A【解析】由2<2<8，得1<x<3,由|x|≥2，得x≤-2或x≥2，于是AUB={x|x≤-2或x>1}, 故CR(AUB)={x|-2<x≤1). 故选A. 2.A【解析】由等差教列的作质，符a十a,=2a:=2,解得a:=1,放a,)的公差d-8:号-号 故选A. 3.A【解析】由y=x2与x=y2得x=x,即x(x3一1)=0，所以x=0或x=1,两抛物线的交点为(0,0)，(1， 1),过两个交点的直线方程为y=x. 故选A. 4.D【解析】由3sina=2-2sin2a,得(2sina-1)(sina+2)=0,可得sina=2, 1 于是cos2a=1-2sin'a=2 1 故选D. 5.C【解析】因为X服从均值为0的正态分布，所以其正态曲线关于直线x=0对称，由P(X>2)=0.2,得 P(X<-2)=0.2,于是P(-2<X<2)=1-0.2-0.2=0.6,且P(X>-2)=1-0.2=0.8,所以P(X<2|X> -2)=P(-2≤X<2)_0.63 P(X>-2)-0.8-41 故选C. 6.B【解析】由复数x与z2在复平面内所对应的点分别为A,B,且AB=(一1,0)，可得z2一之=一1，即x2 +1=0,癣得=±所以11-（分)+（土）-1 故选B. 7.D【解析】因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(-x)=一f(x),g(-x)=g(x). 对于A,f(一x)g(一x)=一f(x)g(x),所以y=f(x)g(x)为奇函数，不一定为偶函数； 对于B,f(一x)十g(一x)=一f(x)十g(x),不一定等于f(x)十g(x),所以y=f(x)十g(x)不一定为偶函 数； 对于C,[f(-x)]g(-x)=[-f(x)]g(x)=[f(x)]2g(x),所以y=[f(x)]2g(x)为偶函数，不一定为 奇函数； 对于D,f(-x)[g(-x)]2=-f(x)[g(x)],所以y=f(x)[g(x)]2为奇函数. 故选D. 8.B【解析】设P(x,m-x),记|PC引=d=√(x-3)2十(m-x),点P到圆O的切线长为r,则r2=x2+ (m-x)2-9.圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于|d-3≤r≤d+3.因为d2=x2+(m-x)2一 6x+9,所以r2-(d+3)2=x2+(m-x)2-9-d2-6d-9=6x-6d-27.又d≥x-3,所以6x-6d-27≤ -9<0,所以r<d+3恒成立.由(d-3)<r,得a-6d+9<r2+(m-x)-9,整理得x十d>,即x+ V-)十(m-了≥()对任意实数x成立.当x≥时，()式成立：当<号时，()式两边平方， ·数学答案（第1页，共6页）· 得红-9+6m≥（侣八，即r+g-2m十a一行0，也即(-m+经》+m0若 2,则(*“)式成立，且圆心0到直线x十y=m的距离为>3，清足题意：若m<号，取x=n一多 2 2,此 时(-m十》广十3m一2罗<0，(：)式不成立综上所述，实数m的放小值为 故选B. 9.AC【解析】易得△=a2-4a2<0,即a≠0，故A,C是使不等式成立的一个充分不必要条件，B,D不合题意. 故选AC. 10.BD【解析】由题意可知残差e:=y:一y:=y:十2x:-1,四个样本点的残差依次为一1，-1,2m-3,t十5，样 本点1，一)对应的残差为-1，放A精误：点1，一2)到1的距离为2-1-怎，B正确：因为公。，=0、 空2：=0，所以-1-1+(2m-3)++5)=0,即2m+4=0,且1×(-D+4X(←D+m(2m-3)+ 5 3(t+5)=0,即2m2-3m+3t+10=0,将t=-2m代人，得2m2-9m+10=0,解得m=2或m=2,点 (c,y)到直线1的距离为2x+y-1,由题意得12x十y一11≤1，对于点(m,一2)，有12m一3≤1，所 √5 以1≤m≤2，故m=2,故t=一4，C错误，D正确. 故选BD. ll.ABC【解析】由y=e,得y'=e,曲线y=e在横坐标为t的点处的切线为y-e=e(x-t),即y=ex十e(1- ),不纺设切线与x辅交于A-1,0,与y销交于B0e1-0》,所以P(分，0).设卫，，，则 x分，放=2x+1,从而y=。24D-一，所以卫，的轨选方程为y=一1，令 2 y=-xe2+1=0,得x=0,所以P,的轨迹与x轴仅有一个交点(0,0)，故A正确；令x=0,得y=0,所以P,的轨迹 与y轴仅有一个交点(0,0)，故B正确；当x<0时，y>0,此时P,的轨迹在第二象限，且y'=一e2x+1(1十2x), 由y/=0,得x=分，当z<2时>0，当<x<0时y<0,所以y=-xe1在(-0，-)上 单调递增，在(-号，0）上单调递减，所以卫，的轨迹在第二象限仅有一个最高点，故C正确；当x>0时，y< 0,P,的轨迹在第四象限，且y'=一e2x+1(1十2x)<0,因此y=一xe2x+1单调递减，所以P,的轨迹在第四象 限不存在最低点，故D错误。 故选ABC. 1g 【解标】电-号-1，得 3-x2=1,所以双曲线的焦点在y轴上，且a2=3,b2-1,从而c2=a2+ 2=4,=2,所以双曲线的离心率为e=二=2=2y3 a√33 13.36【解析】先将4个活动分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为C=6,再将分好的三组全排列，分配给 3名不同的员工，排列方法数为A；=6,根据分步乘法计数原理，不同的选择方式共有6×6=36种， 14.4【解析】因为数列{an}与{bn}的各项均为正整数，所以公差d为非负整数.由等差数列的通项公式可得 b。n=b1十(am-1)d,代入已知条件可得S,=dan-d.当n=1时，S1=a1,代入可得(d-1)a1=d①.因为 ·数学答案（第2页，共6页）· 数列{an}的各项均为正整数，故a1≥1，若d=1,则①式左侧为0，右侧为1，产生矛盾，故d不等于1，故 a1日号-1十7因为d为非负整数，所以d-1为整数，又a1=1+为正整数所以d-1=1,故4 d 1 2,所以a1=2.当n≥2时，an=Sn-Sm-1=(2an-2)-(2am-1-2)=2(an一am-1),整理可得an=2an-1,故q= 2.经验证，d=2,q=2满足题意，则qd=2×2=4. 15.解：(1)证明：因为AA1⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以AC⊥AA1, (2分) 又AB⊥AC,AB∩AA1=A,AB,AA1C平面ABB1A1,得AC⊥平面ABB1A1 (5分) (2)以A为原点，AB,AC,AA;的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz, (6分) 不妨设AB=1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0W2),B1(1,0W2),AB=(1,0,W2),A1C= (0,1,-√2)，A1B=(1,0,-√2)， (9分) 设平面A,BC的法向量为n=(x,y,之)， （n·A1B=0,nx-√2x=0, 则有 即 取x=√2，则n=(√2，W2,1), (11分) n·A1C=0,y-V2z=0, 记直线AB1与平面A1BC所成的角为0，故sin0= lAB1·nW2+√2 2√30 |AB1lln√1+2×√2+2+1 15· (13分) 16.解：(1)由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, (3分) 即13=AB2+4+45 4智A8,整理可得(AB+5)6AB-)-0,解得AH-5. (6分) (2)由B∈(0，x),得sinB=√1-c0sB=2 5 (8分) AC√65 由正弦定理，得△ABC的外接圆的半径R=2sinB 4 (11分) △ABC的面积S=号AB·nCsin B=名×5×2×2y5-2 (15分) 5 17.解：(1)设在这100个信号对中，x=1出现的频数为n1,x=2出现的频数为n2, n1+n2=100, /n1=60, 依题意可得 解得 n1+2n2=140,n2=40. 设在这100个信号对中，y=1出现的频数为n3,y=2出现的频数为n4, n3+n4=100, n3=50, 依题意可得 解得《 n3+2n4=150,n4=50. 由信号对(1,1)的频数为m,可得当x=1时，y=1与y=2的频数分别为m与60一m,当x=2时，y=1与 y=2的频数分别为50一m与m一10.故补全的列联表如下： ·数学答案（第3页，共6页）· 单位：个 y x 合计 y=1 y=2 x=1 m 60-m 60 x=2 50-m m-10 40 合计 50 50 100 (6分) (2)(1)由x2=0,得100[m(m-10)-(60-m)(50-m)] 三0， 60×40×50×50 解得m=30. (8分) 由上述结果可知信号对(2,2)出现的频数为30一10=20，故样本中满足x=y的总频数为30十20=50，将此 频率视为概率即可得到单次输出时满足x=y的概率力=0一 (10分) (1)由题干可知每次输出信号对相互独立，且每次满足工=y的概率均为？，由此判断随机变量X服从二 项分布，即X~B4,》】 (11分) 随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,4， (12分) P(X=0)=( (合)'()'=GpX=1)=c(合)'（分》°=4P(x=2)-c(分）（合）》= Px=)=c()广()-}P(x==(合)广（分》= 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 1 1 3 1 1 4 16 (14分) 因为X~B(4,),所以E(X)=4×2=2. (15分) 22 y2 18.解：1)椭圆C:。+=1(a>b>0)的上顶点为(0，b),右顶点为(a,0), 由点T(1,0)到上顶点的距离为√2，得(1-0)2+(0一b)2=2,所以b2=1,又b>0,所以b=1. (2分) 由点T(1,0)到右顶点的距离为1，得|a-1|=1,即a=0或a=2,又a>b=1,所以a=2. (3分) 因此蔺圆C的标准方程为十y°-1 (4分) (2)(1)证明：当直线1不垂直于x轴时，设其方程为y=k(x一1) 代入+y°=1，得+(-1)=1，整理得（1+)x-86z十4-4=0， (6分) 8k2 设交点A,B的横坐标分别为远则无十十4所以中点M的横坐标为工w 4k2 2 1+42: 因为点M在直线y=k(x-1)上，所以中点M的纵坐标为yM=(xM一1)=一1十4 (8分) ·数学答案（第4页，共6页）· 于地-一（广+（广-等-e即点w在击线中g-上 (10分) 当直线1垂直于x轴时，直线l的方程为x=1,易得线段AB的中点M(1,0)也满足x2+4y2=x. 综上，点M在曲线x2+4y2=x上. (12分) (iⅱ)若直线l垂直于x轴，则M(1,0),点M,T重合，不合题意 故由(2(i),得yx=1十，而00,0)，T1,0,所以△0MT的面积为号x, (13分) 由题意，得2y=g所以1l=}即终- 1+4k2=4 令u=1,则“≥0，且1行整理得4松-4u十1=0，即（2u一-1Dy=0,所以4 2 故k=2或k=一号 (15分) 因此直线1的方程为y=号-10或y=一2-1D,即x一2y-1=0或x十2y-1=0. (17分) 19限0油1号病将1一侵}一（护 (1分) 猫想数列z,的通项公式为，=（日）广， (2分) 为gy=【e可(g-1-. 一1=0，所以猜想成立. (3分) (2)设g(x)=x=enx,故g'(x)=x(lnx+1), (4分) 当x∈(0，君)时，g'()<0,g(x)单调递减；当x∈（合，十6∞）时，g'(x)>0,g(x)单调递增， (5分) 而-（侣）=g(份》 注意到（分）=（合）=()-g(任)>（付） 结合函数gx)的单调性，可知x,≥，=（兮） 放数列红的最小值为（侣）产】 (7分) 易知当≥3时，+>1， 31 1 V2 )-8(假)-8 9>8 故数列工 n+1 的绿小简为号 (9分) ·数学答案（第5页，共6页）· (3)证明：f(x)=n“+x·nx-1·nlnn=n(nx”lnn十1)， (10分) 于是f)=(·na+)=cnn+D. (11分) 设h(x)=x(Inx+1)=e(Inc+1)）,x≥1， a)[n+1h2+=tx-rt (13分) 下面证明x-(lnx)2+1>0. 注意到x-(lnx)2=(√E)2-(lnx)2=(√元-lnx)(√元十lnx), (14分) 显然√元+lnx≥1(x≥1)， 设(x)=E-nx(x>1),则p'(x)=1-1=区-2 2元x2x (15分) 当1≤x<4时，'(x)<0,p(x)单调递减，当x>4时，p'(x)>0,p(x)单调递增. 故p(x)≥p(4)=2-ln4>0, 于是x-(lnx)2+1>0,则h'(x)>0,h(x)在[1，+∞)上单调递增， 于是{f(xn)}是递增数列. (17分) ·数学答案（第6页，共6页)· 秘密★启用前 普通高中2025—2026学年（下）高二年级期末考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则 A． B． C． D． 2．在等差数列中，，，则的公差为 A． B． C． D． 3．经过抛物线与的两个交点的直线方程为 A． B． C． D． 4．若，则 A． B． C． D． 5．已知随机变量，且，则 A． B． C． D． 6．设复数与在复平面内所对应的点分别为，，若，则 A． B． C． D． 7．若函数与分别为定义在上的奇函数与偶函数，则一定有 A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为奇函数 8．已知圆与圆．若以直线上任意一点为圆心，以点到圆的切线长为半径作圆，该圆始终与圆有公共点，则实数的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是 A． B． C． D． 10．在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为．已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差（注：由最小二乘法所得残差满足，），则 A．样本点对应的残差为 B．样本点到的距离为 C． D． 11．设曲线，过上横坐标为的点作切线，切线与坐标轴分别交于点，，记，则 A．的轨迹与轴仅有一个交点 B．的轨迹与轴仅有一个交点 C．的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D．的轨迹在第四象限仅有一个最低点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的离心率为________． 13．端午节期间，某公司团建策划了“水上龙舟赛”“包粽子”“水上拔河”“挂艾草”四大活动，甲、乙、丙3名员工每人从中至少选择一个活动，且每个活动都恰有1人选择，则不同的选择方式共有________种（用数字作答）． 14．已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，且等比数列的公比为，等差数列的公差为，的前项和为．若对任意正整数，都有，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在三棱柱中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分） 在中，，，． （1）求； （2）求的外接圆的半径与的面积． 17．（15分） 在某双通道通信实验中，系统每次会独立输出一个信号对，其中状态指示值，．工程师截获了连续输出的100个信号对作为样本，统计发现这100个信号对中的值总和为140，的值总和为150，设该样本中信号对出现的频数为，并以样本频率作为单次输出相应事件概率的估计值． （1）直接补全下列列联表（用表示）： 单位：个 合计 合计 100 （2）若按样本频率得到的与相互独立，即． （ⅰ）求的值，并计算单次输出时满足的概率； （ⅱ）现该系统继续独立输出4个信号对，记满足的信号对个数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆，且点到的上顶点以及右顶点的距离分别为和． （1）求的标准方程． （2）过点的直线与交于，两点，设为线段的中点． （ⅰ）证明：点在曲线上； （ⅱ）若的面积为，求的方程． 19．（17分） 已知定义在上的函数的零点为，且，，． （1）试猜想数列的通项公式，并加以验证； （2）求数列的最小值与数列的最小值； （3）证明：是递增数列． 学科网（北京）股份有限公司 $