1.5.1全称量词与存在量词（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦全称量词与存在量词核心知识，通过情境中含“有些”“所有的”的命题导入，对比有量词与无量词语句差异，衔接集合、命题旧知，搭建学习支架。 特色在于对比辨析构建概念（如非命题与含量词命题对比）培养数学抽象，真假判断用反例（如“所有素数是奇数”举2反例）发展逻辑推理，求参问题转化（方程恒有解转恒成立）提升数学语言表达。助力学生逻辑思维养成，方便教师教学实施。

1.5.1全称量词与存在量词教学设计 课题 全称量词与 存在量词 单元 第一章集合与常用逻辑用语 学科 高中数学 （人教版） 年级 高一 学习目标 1、理解全称量词、存在量词的含义，掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能够判断两类命题的真假。 2、通过实例辨析、对比探究，提升逻辑语言表达能力，学会将自然语言转化为数学逻辑命题。 3、感受常用逻辑用语的严谨性，培养严谨的数学思维，体会数学语言简洁准确的特点。 教材 分析 本节课是人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》第1.5节的第一课时，是在学生已经学习了集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算以及充分条件与必要条件、充要条件的基础上，进一步研究命题中的量词问题。全称量词与存在量词是逻辑用语中的基本概念，是对命题结构的精细化刻画——通过引入“所有的”“存在一个”等量词，使得开语句成为可以判断真假的命题。全称量词命题和存在量词命题为后续学习1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定奠定基础，同时也为理解数学定义、定理的表述提供了逻辑工具。本节课蕴含着从具体到抽象的归纳思想和符号化思想，对培养学生的逻辑推理和数学抽象素养具有重要作用。 学情 分析 学生已在前几节学习了集合的基本概念、运算以及充分条件与必要条件、充要条件等知识，具备了判断命题真假的基本能力，对“命题”概念有了初步认识。初中阶段学生在数学表述中已接触过“所有”“存在”“至少有一个”等词语，但尚未形成严格的逻辑定义。学生在学习本节课时可能存在以下困难：一是对量词的符号表示（、）不熟悉，容易混淆全称量词与存在量词；二是在判断命题类型时，对于省略量词的命题不易识别其隐含的全称量词；三是在含量词的求参问题中，将命题真假转化为不等式恒成立或方程有解的意识较弱，需要通过具体实例逐步突破。 教学 重点 全称量词、存在量词的概念；全称量词命题与存在量词命题的概念及符号表示；全称量词命题与存在量词命题的真假判断。 教学 难点 省略量词的命题的类型识别；全称量词命题与存在量词命题的真假判断方法；含量词命题的求参问题中命题真假与不等式恒成立、方程有解的转化。 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 激发思考】 教师PPT呈现情境： 情境1：有下列几个命题： ①有些集合没有子集； ②所有三角形都有外接圆； ③有些四边形有内切圆； ④所有的叶子都是独一无二的。 问题：在这些命题中有一些短语"有些，所有的"在逻辑中如何定义？ 教师追问：下列语句是命题吗？如果把"任意""存在""有的"等词去掉呢？ （3）有的矩形是菱形——表示可以找到一个矩形，它是菱形； （4）所有的质数都是奇数——表示每一个质数都是奇数。 【回顾旧知 提出课题】 教师引导：前几节课我们学习了集合与充分条件、必要条件、充要条件，研究了命题中条件与结论之间的逻辑关系。 在日常语言和数学表述中，我们经常使用"所有的""每一个""存在""有些"等词语来限定命题的范围。 这些词语在逻辑中叫什么？含有这些词语的命题又如何判断真假呢？ 教师揭示课题：今天我们就来学习全称量词与存在量词——这就是本节课的研究主题。 设计意图：通过生活中的命题情境引发学生思考量词的作用，对比"有量词"与"无量词"语句的差异，自然引出全称量词与存在量词的课题，激发探究欲望。 1、阅读情境中的命题，关注"有些""所有的"等短语； 2、思考去掉量词后语句是否还能判断真假； 3、回顾命题的概念——能够判断真假的陈述句； 4、明确本节课的学习目标——全称量词与存在量词，进入探究状态。 新知 探究 · 探究一：全称量词与全称量词命题 【活动一：对比辨析 引入概念】 教师展示以下语句（PPT呈现），引导学生比较： (1) ； (2) 是整数； (3) 对所有的； (4) 对任意一个是整数。 教师追问：(1)(2)是命题吗？(3)(4)呢？它们之间有什么关系？ 师生共同归纳： (1)(2)无法判断真假，不是命题； (3)(4)加入量词对变量进行限定后，可以判断真假，是命题。 【活动二：全称量词与全称量词命题概念】 师生共同归纳： ⭐全称量词：短语"所有的""任意一个"在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号""表示。 ⭐全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 ⭐全称量词命题的表述形式： 对中任意一个，有成立，可简记为： 读作"对任意属于，有成立"。 教师强调：常见的全称量词有"所有""任意""每一个""任给"等，符号统一用。 【思考1：符号含义解读】 教师提问：全称量词命题""中，分别表示什么？ ：可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形； ：是这些元素的某一特定范围（集合）； ：表示集合的所有元素满足的性质。 如："任意一个自然数都不小于0"，可以表示为""。 · 探究二：存在量词与存在量词命题 【活动三：对比辨析 引入概念】 教师展示以下语句（PPT呈现），引导学生比较： (1) ； (2) 能被2和3整除； (3) 存在一个，使； (4) 至少有一个能被2和3整除。 教师追问：(1)(2)是命题吗？(3)(4)呢？它们之间有什么关系？ 师生共同归纳： (1)(2)无法判断真假，不是命题； (3)(4)加入量词对变量进行限定后，可以判断真假，是命题。 【活动四：存在量词与存在量词命题概念】 师生共同归纳： ⭐存在量词：短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号""表示。 ⭐存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 ⭐存在量词命题的表述形式： 存在中的一个，使成立，可简记为： 读作"存在中的元素，使成立"。 教师强调：常见存在量词有"存在""有一个""有些""至少有一个"等，符号统一用。 【活动五：量词的省略问题】 思考2：在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？ 教师引导学生举例分析： 如："所有菱形的四条边相等"——省略"所有"后"菱形的四条边相等"意思不变，√ 如："存在一个菱形，它的四条边不相等"——省略"存在一个"后意思改变，× 师生共同归纳： ⭐在存在量词命题中，量词不可以省略； ⭐在有些全称量词命题中，量词可以省略。 教师追问：你能再举出省略量词后意思不变的例子吗？ （如"正方形的四条边相等"省略了"所有"，意思不变） 【辨析1-1】下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根； ②所有素数都是奇数； ③有些一元二次方程无实数根； ④三角形的内角和是． ． ． ． ． 【答案】 【辨析1-2】下列命题中是存在量词命题的是（    ） ．平行四边形的对边相等 ．同位角相等 ．任何实数都存在相反数 ．存在实数没有倒数 【答案】 设计意图：通过对比辨析自然引入存在量词概念，与全称量词形成对照；量词省略问题的讨论帮助学生深入理解量词的作用，培养辨析能力和符号化思维。 1、比较(1)(2)与(3)(4)的区别，理解量词的作用； 2、跟随教师板书，记录全称量词的定义、符号∀和表述形式； 3、理解∀x∈M, p(x)中各部分的含义； 4、举出生活中的全称量词命题例子，小组交流。 5、比较语句差异，理解存在量词的作用； 6、跟随教师板书，记录存在量词的定义、符号∃和表述形式； 7、思考量词省略问题，举出例子验证； 8、独立完成即时辨析题，同桌互改； 9、对比全称量词与存在量词的异同，加深理解。 课堂练习 · 典例精讲 【例1】写判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)； (3)对任意一个无理数，也是无理数。 解： (1)假， (2)真， (3)假 【例2】判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数，使； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解： (1)假， (2)假， (3)真 · 课堂练习 【题型1：判断命题的类型】 1、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用“”“”表示。 (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数方程恰有一个解； (3)一定有整数使得成立； (4)所有的有理数都能使是有理数。 解： (1)全称量词命题，真命题。 (2)全称量词命题，恰有一个解；假命题。 (3)存在量词命题，；真命题。 (4)全称量词命题，是有理数；真命题。 【题型2：判断含量词命题的真假】 1、指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假。 (1)是偶数； (2)存在一个使； (3)对任意实数； (4)有一个角，使. 解： (1)假， (2)假， (3)真， (4)真 2、下列命题中是真命题的为（ ） ．，使 ．， ．， ．，使 【答案】 3、以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 ．至少有一个实数，使 ．两个无理数的和必是无理数 ．存在一个负数，使 【答案】 【题型3：含量词命题的求参问题】 1、若，方程恒有解，求实数的取值范围。 解：当时，方程恒有解，所以； 当时， ∵方程恒有解， ∴恒成立， 即恒成立。 又是一个关于的一元二次不等式， ∴，解得. 综上所述，的范围是. 2、已知命题是真命题，求实数的取值范围。 解：∵，∴. 由题意知又 ∴∴ 故实数的取值范围为. 3、已知命题，命题若与都是真命题，求实数的取值范围. 解：若为真命题，则对,有恒成立，∴ 若为真命题，则关于的方程有实数根，所以即或. 综上，实数的取值范围为. 1、例1阶段：独立判断全称量词命题真假，注意举反例的方法； 2、例2阶段：独立判断存在量词命题真假，注意找特例的方法； 3、将判断方法整理在笔记本上。 1、独立完成题型1，注意用符号表示命题； 2、独立完成题型2，注意举反例和找特例； 3、独立完成题型3含参问题，将命题真假转化为恒成立或有解问题； 4、错题整理：量词类型混淆、真假判断方法不当、求参转化方向错误。 。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、全称量词与全称量词命题 ·全称量词： "所有的""任意一个"等，符号∀ ·全称量词命题：含有全称量词的命题 ·表述形式： 二、存在量词与存在量词命题 ·存在量词： "存在一个""至少有一个"等，符号∃ ·存在量词命题：含有存在量词的命题 ·表述形式： 三、命题类型的判断方法 ·分析是否含量词→判断量词类型→不含量词则按意义判断 ·存在量词命题量词不可省略，部分全称量词命题量词可省略 四、命题真假的判断 ·全称量词命题为真：证明所有元素都满足 ·全称量词命题为假：举一个反例 ·存在量词命题为真：找一个满足条件的元素 ·存在量词命题为假：证明所有元素都不满足 五、含量词命题的求参问题 ·成立 ⇔ 恒成立问题（求最值） ·成立 ⇔ 有解问题（求值域） 六、符号语言与自然语言的转化 ·自然语言→符号语言：识别量词，确定集合和性质 ·符号语言→自然语言：用恰当的中文表述和 教师强调：全称量词与存在量词是对命题结构的精细化刻画。表示"所有"，强调普遍性；表示"存在"，强调特殊性。判断全称量词命题为假只需举一个反例，判断存在量词命题为真只需找一个特例。含量词的求参问题中，要注意将"恒成立"与"有解"正确转化。 1、跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点； 2、独立绘制简易思维导图，梳理全称量词、存在量词的概念和判断方法； 3、主动举手分享本节课易错点（量词类型混淆、真假判断策略、求参转化方向）； 4、完成自我评价：能否独立判断命题类型和真假。 作业 布置 1、书后练习第1、2、3题； 2、习题1.5 第1、2、3题； 3、拓展：已知命题为真命题，求实数的取值范围。 记录作业要求，课后独立完成； 拓展题选做，注意将恒成立转化为求最值问题。 板书 设计 第一章 1.5.1 全称量词与存在量词 一、全称量词与全称量词命题 ·全称量词： "所有的""任意一个"，符号∀ ·全称量词命题： 二、存在量词与存在量词命题 ·存在量词： "存在一个""至少有一个"，符号∃ ·存在量词命题：∃x∈M, p(x) 三、命题类型判断 ·含量词：直接判断量词类型 ·不含量词：按命题意义判断 ·存在量词不可省略，全称量词有时可省略 四、真假判断 ·全称命题为真：证明所有成立 ·全称命题为假：举一个反例 ·存在命题为真：找一个特例 ·存在命题为假：证明所有不成立 五、求参问题 ·⇔ 恒成立（求最值） ·⇔ 有解（求值域） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $