第1章 1.4 1.4.1 充分条件与必要条件-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，通过命题真假梳理推出关系，定义p⇒q时p为q的充分条件、q为p的必要条件，结合判定定理与性质定理，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“双刀开关控制灯亮”情境引入激发兴趣，用表格对比命题真假与条件关系助理解，例题结合集合、三角形等实例提升逻辑推理与数学抽象素养。课中辅助教师引导学生构建逻辑关系，课后练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

1．4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 课程标准 素养解读 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 通过对充分条件、必要条件的学习和理解，体会充分条件、必要条件在数学表达、论证等方面的作用，重点提升逻辑推理素养与数学抽象素养 [情境引入] 某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯．这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示． [问题]　(1)A开关闭合时B灯一定亮吗？ (2)B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示　(1)一定亮． (2)不一定，还可能是C开关闭合． [知识梳理] [知识点一]　充分条件与必要条件　 1．定义 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p　⇒　q p　　 q 条件关系 p是q的　充分　条件 q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件 q不是p的　必要　条件 2.本质：当命题p⇒q是真命题时，条件p与结论q之间的逻辑称谓． 3．应用：充分条件、必要条件是两个常用的逻辑用语，数学学科中大量的命题用它们来叙述． 1.p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 提示：相同，都是p⇒q. 2．以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 提示：这五种表述形式是等价的． [知识点二]　判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系　 (1)数学中的每一条　判定　定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． (2)数学中的每一条　性质　定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． [预习自测] 1．设命题甲：{x|0<x<3}，命题乙：{x||x－1|<2}，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．下列四个条件中能成为x＞y的充分条件的有(　　) A．xt2＞yt2　　　　　 B．xt＞yt C．x2＞y2 D．0＜＜ 答案：B 3．用符号“⇒”“ ”填空． (1)x2＝y2　________　x＝y； (2)内错角相等　________　两直线平行． 答案：(1) 　(2)⇒ 　充分条件的判断 [例1] 判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)p：a<b，q：<1； (3)p：x>1，q：x2>1； (4)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； (5)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. [思路点拨]　分清命题的条件和结论，判断是由条件推出结论，还是由结论推出条件． [解]　(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1，因为p q，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)设A＝{a|(a－2)(a－3)＝0}，B＝{3}，则BA.因此p q，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若∠A>∠B，则BC>AC.因此，p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． [变式训练] 1．(1)使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是(　　) A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0 C．(x＋1)2＋y2＝0 D．x(y－2)(x＋2)＝0 (2)设集合M＝{x|0<x≤2}，N＝{x|0<x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的　________　条件．(填“充分”或“必要”) 解析：(2)由题意得，M∪N＝N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 答案：(1)A　(2)充分 　 必要条件的判断 [例2] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若＝，则x＝y； (4)若关于x的方程ax＋b＝0((a，b∈R)有唯一解，则a>0. [思路点拨]　找到条件和结论的关系，是判断必要条件的关键． [解]　(1)等腰梯形的两条对角线相等．因此，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形． 因此pq，所以q不是p的必要条件． (3)若＝，则x＝y是真命题． 因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)命题“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a>0”为假命题，因此p q，所以q不是p的必要条件． 必要条件的两种判断方法 (1)定义法： (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． [变式训练] 2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)若∠α＝60°32′，则∠α的余角是29°28′； (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则a×b是偶数． 解：(1)该命题是真命题，p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)因为∠α＝60°32′，所以∠α的余角为90°－60°32′＝29°28′. p⇒q，所以q是p的必要条件． (3)因为3＋4<9，所以长分别为3 cm、4 cm和9 cm的三条线段不能组成三角形，所以p q，所以q不是p的必要条件． (4)两个偶数相乘仍是偶数． 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 　 　　充分条件与必要条件的应用 [例3] 已知p：－1＜x＜3，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围． [思路点拨]　依充分条件的定义构造不等式组求解． [解]　由－a＜x－1＜a，得1－a＜x＜1＋a， 依题意，得{x|－1＜x＜3}⊆{x|1－a＜x＜1＋a}， 所以解得a≥2. 故使a＞b恒成立的实数b的取值范围是{b|b＜2}． 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 (1)化简p，q两命题． (2)根据p与q的关系(充分、必要条件)转化为集合间的关系．依据如下： p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A (3)根据集合间的关系，利用集合端点的大小建立不等式组． (4)求解参数范围． 特别提醒：验证集合为∅时是否符合题意． [变式训练] 3．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 解：(1)若2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． 则只要⊆{x|x<－1，或x>3}，即只需－≤－1，所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)若2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1，或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件. 1．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 2．(多选)已知p：a＝b，q：|a|＝|b|，则下列说法正确的是(　　) A．q是p的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．q的必要不充分条件是p D．p的必要不充分条件是q 答案：BD 3．用充分条件、必要条件填空： (1)“a＋b<0”是“a<0且b<0”的　________　； (2)“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的　________　. 答案：(1)必要条件　(2)充分条件 4．“a＝2”是“方程x2－4x＋a＝0有实根”的　________　条件．(用“充分”“必要”填空) 答案：充分 5．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分条件，但不是必要条件，求实数m的取值范围． 解：因为p是q的充分条件，但不是必要条件，所以p⇒q但q p，即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集， 所以，或解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}. 1．设命题“若p，则q”为假，而“若q，则p”为真，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：B 2．“x＝3”是“x2＝9”的(　　) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要的条件 答案：A 3．子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自《论语·卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　) A．a＞b＋1　　　　　　 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 答案：A 5．(多选)给出四个条件： ①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2； ④0<<. 其中能成为x>y的充分条件的有(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析：AD　[①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y； ②当t>0时，x>y，当t<0时，x<y， 故xt>yt x>y； ③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2 x>y； ④由0<<⇒x>y.故选A、D.] 6．(多选)已知集合A＝{x|a＋1＜x＜2a－3}，B＝{x|x≤－2或x≥7}，则A∩B＝∅的必要不充分条件可能是(　　) A．a＜7　　　　　 B．a＜6 C．a＜5 D．a＜4 解析：AB　[当A＝∅时，a＋1≥2a－3，解得a≤4，此时A∩B＝∅； 当A≠∅时，a＋1＜2a－3，解得a＞4， 若A∩B＝∅，则解得－3≤a≤5， 又a＞4，则4＜a≤5. 故A∩B＝∅等价于a≤5，所以A∩B＝∅的必要不充分条件可以是a＜7，a＜6.] 7．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的　________　条件． 解析：a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0；(a－1)(a－2)＝0⇒a＝1或a＝2，从而可知“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 8．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的　________　条件． 解析：∵－2＜x＜1 x＞1或x＜－1，并且x＞1或x＜－1－2＜x＜1，∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分条件，也不必要条件． 答案：既不充分也不必要 9．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是　________　. (2)“a，b都不为0”的充分条件是　________　. 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 ④ab>0⇔或则a，b都不为0. 答案：(1)①②③　(2)④ 10．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0； (2)若x为无理数，则x2为无理数； (3)若x＝y，则x2＝y2； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若a＞b，则ac＞bc. 解：(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． (2)∵pq ，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件． (3)∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件． (4)∵p⇒q，而q p，∴p是q的充分不必要条件． (5)∵pq，而qp，∴p是q的既不充分也不必要条件． 11．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围． 解：令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≤－或x≥2}； N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}， 由已知p⇒q，且q p，得MN. 所以或⇔≤a＜2或＜a≤2⇔≤a≤2.即所求a的取值范围是. 12．已知集合A＝， B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围． 解：y＝x2－x＋1＝2＋， 因为≤x≤2，所以≤y≤2， 所以A＝. 由x＋m2≥1，得x≥1－m2， 所以B＝{x|x≥1－m2}． 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B， 所以1－m2≤，解得m≥或m≤－， 故实数m的取值范围是. 13．是否存在实数p，使4x＋p＜0是x2－x－2＞0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由． 解：由x2－x－2＞0，解得x＞2，或x＜－1， 令A＝{x|x＞2，或x＜－1}， 由4x＋p＜0，得B＝{x|x＜－}， 当B⊆A时，即－≤－1，即p≥4， 此时x＜－≤－1⇒x2－x－2＞0， ∴当p≥4时，4x＋p＜0是x2－x－2＞0的充分条件． 学科网（北京）股份有限公司 $