江西省抚州市2026-2027学年高一上学期数学开学自编模拟卷（北师大版必修第一册）

**基本信息** 2026-2027学年抚州高一开学模拟卷（北师大版必修第一册），聚焦集合、不等式、函数核心知识，通过基础巩固与创新探究题梯度设计，检测开学初知识掌握与数学思维（如推理能力、创新意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、不等式解集、命题否定|第8题含参不等式整数解，考查逻辑推理| |填空题|3题15分|集合关系、基本不等式|第14题方程实根问题，体现模型意识| |解答题|5题77分|集合综合、函数最值、新定义探究|18题新集合定义，19题性质证明，发展创新与批判性思维|

2026-2027学年江西省抚州市高一数学上学期开学自编模拟卷 （适用于：北师大版 必修第一册） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 2．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 3．命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 7．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．满足的集合A共有______个. 13．设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 14．已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 17．（15分）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 18．（17分）已知函数和，定义集合 . (1)设 ，求； (2)设，当 时，求的取值范围； (3)设 ，若 ，求的取值范围. 19．（17分）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江西省抚州市高一数学上学期开学自编模拟卷（解析版） 一、单选题 1．已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则. 2．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 3．命题，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”的否定为“”. 4．已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，结合的条件逐一验证各选项的恒成立性. 【详解】选项A.已知，则， 已知，则. 因此，故A错误. 选项B.已知，则. 因为，则，故B正确. 选项C.由，所以，进而，故C错误. 选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误. 5．设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别通过基本不等式判断必要性、举反例判断充分性，即可确定两个条件的逻辑关系 【详解】设条件，条件。 已知，由基本不等式可得（当且仅当时等号成立）， 若，则，即成立，故必要性成立； 取，满足，且，但， 即存在满足的情况不满足，即不成立，故充分性不成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 6．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 7．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 8．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 二、多选题 9．下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 10．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题 12．满足的集合A共有______个. 【答案】64 【详解】依题意，集合是集合与集合的子集的并集， 而集合有个子集， 所以集合的个数为64. 13．设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 14．已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】关于的方程的四有正实根，两边同除以，等价变形为，然后利用分离变量法转化成值域问题即可解决. 【详解】由题意知：， 关于的方程有正实根，， 等价变形为，（1） 设，则，（1）可变形为：有根， 分离变量得：， 原方程有四个正根，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等， 所以， 四、解答题 15．已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 16．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 17．已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1)3 (2)时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 （2）由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 18．已知函数和，定义集合 . (1)设 ，求； (2)设，当 时，求的取值范围； (3)设 ，若 ，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【详解】（1）已知 ， 由即 ， 解得 ， 则； （2）已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即 恒成立， 当时，恒成立； 当时，由， 解得； 综上，当时，的取值范围为； （3）已知 ， 由 得，不等式组有解， 由 ， 又 ， 当 ，即时，对任意 恒成立， 则满足 ； 当 ，即时， 或， 要使 ，则 或 ， 解得，则有； 当 ，即时， 或 ， 要使 ，则 或 ， 解得，则有 ； 综上所述，的取值范围是 19．已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $