精品解析：江西省临川第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

数学试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟. 一､选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 5. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，平分交于点.若，则的长度为（ ） A 2 B. C. D. 二､填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______. 8. 不等式的解集是______. 9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个. 10. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为__________（结果保留）. 11. 二次函数的图象过点，其中为常数，则的值为______. 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______. 三､简答题（本大题5小题，每小题6分，共30分.） 13. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中. 14. 如图，已知矩形. （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接.求证：四边形是菱形. 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； 16. 如图，在中，. （1）求证：； （2）若平分，请直接写出的形状. 17. 小明书桌上有一个型台灯，灯柱高40cm，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离.（结果保留1位小数） 四､解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长相交于点，过点作于点，交于点. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长. 19. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）.并绘制出不完整的条形统计图（如图2）. 成绩 频数 百分比 不及格 3 及格 良好 45 优秀 32 图1学生体质健康统计表 图2学生体质健康条形统计图 （1）图1中__________，__________，__________； （2）请补全图2条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会.请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率. 20. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/. （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价. 五､解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示. 列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）D1001次列车从站到站行驶了__________分钟，从站到站行驶了__________分钟； （2）记D1001次列车的行驶速度为，离站的路程为次列车的行驶速度为，离站的路程为. ①__________； ②从上午8：00开始计时，时长记为分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求的值. 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线. （1）求拋物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标. 六､解答题（本大题共12分） 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片和中，. （1）【初步感知】 如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值. （2）【深入探究】 如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长. （3）【拓展延伸】 在纸片绕点A旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟. 一､选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数的性质直接比价大小即可. 【详解】易知. 故选：C 2. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数解析式逐项代入检验即可. 【详解】把所给点代入函数解析式可知，ABC错误；D正确. 故选；D 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特点判断即可. 【详解】对于A，A是轴对称图形，但不是中心对称图形； 对于B，B是轴对称图形，也是中心对称图形； 对于C，C轴对称图形，但不是中心对称图形； 对于D，D是中心对称图形，但不是轴对称图形； 故选：B. 4. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ） A. 20 B. 21 C. 23 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给图形归纳出结论即可得解. 【详解】由所给图形可得规律；第个图形中菱形个数为， 所以第⑧个图形中菱形个数为. 故选：C 5. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同一个圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半先得出，再根据垂径定理及等腰三角形的性质计算即可. 【详解】因为同一个圆中，同一段弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以， 由垂径定理可知，则有， 显然为等腰三角形， 则. 故选：B 6. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，平分交于点.若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，得，证明，有，在中，由勾股定理求，可得的值. 【详解】正方形中，，， 又，则，有， 平分，，又， 得，有， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ，解得，即. 故选：D 二､填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用判别式计算即可. 【详解】由题意可知，所以. 故答案为：1 8. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合一元一次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得，即不等式的解集为. 故答案：. 9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个. 【答案】8 【解析】 【分析】根据绿球个数除以总个数即可. 【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：; 故答案为：8 10. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为__________（结果保留）. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式可得. 【详解】扇形的半径为4，圆心角为，则面积为. 故答案为： 11. 二次函数的图象过点，其中为常数，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性可得的关系，代入三点坐标，利用消元法计算即可. 【详解】由题意知两点纵坐标相同，即关于二次函数的对称轴对称， 所以有，即， 又在二次函数图象上， 所以，整理得， 则， 所以. 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，设，，则，由勾股定理得到，求出，找到规律，同理可得的横坐标为. 【详解】由题意得，，设，，则， 由勾股定理得，即，解得，故， 故，故，即 ， 同理可得，……，， 即的横坐标为. 故答案为： 三､简答题（本大题5小题，每小题6分，共30分.） 13. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中. 【答案】（1）2，（2），1 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可； （2）先进行乘法运算，再去括号化简，最后代入求值. 【详解】（1）原式 （2）, 将代入上式可得. 14. 如图，已知矩形. （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接.求证：四边形是菱形. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用垂直平分线的作法作图即可； （2）根据菱形的判定定理判定即可. 【小问1详解】 如图1所示，直线为所求； 【小问2详解】 如图2，设与的交点为， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线. ， 又四边形是矩形，， ， ， 四边形是菱形. 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据A点坐标先求k，得反比例函数解析式，再代入求B坐标，由两点坐标求一次函数解析式即可； （2）直接利用图象求解集即可. 【小问1详解】 经过，解得， 把代入，得，解得， 把代入， 得，解得； 【小问2详解】 观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， 不等式的解集为：或. 16. 如图，在中，. （1）求证：； （2）若平分，请直接写出的形状. 【答案】（1）证明见解析 （2）是等腰直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质与判定证明即可； （2）利用（1）的结论及平行线的性质计算即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 是等腰直角三角形. ，平分， ， ， 是等腰直角三角形. 17. 小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高40cm，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离.（结果保留1位小数） 【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为57.3cm 【解析】 【分析】先证明四边形BDEM是平行四边形，再过点作于点，利用直角三角形求得，即可求解. 【详解】由已知，，在图1中，， 四边形平行四边形，， 在中，， 在图2中，过点作于点， ， 灯柱高40cm，点到桌面的距离为. 答：此时台灯最高点到桌面的距离为57.3cm. 四､解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长相交于点，过点作于点，交于点. （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质及角的关系证明即可； （2）证明，根据，求出即可得解. 【小问1详解】 证明：连接，如图， ，， 又， ， ， 是的切线. 【小问2详解】 如（1）图，， 又， ， 的半径为， ，即， 又点为线段的中点，， ， ，. 19. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）.并绘制出不完整的条形统计图（如图2）. 成绩 频数 百分比 不及格 3 及格 良好 45 优秀 32 图1学生体质健康统计表 图2学生体质健康条形统计图 （1）图1中__________，__________，__________； （2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会.请用列表或画树状图方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率. 【答案】（1） （2）条形图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； （3）选取的2名学生均为“良好”的概率为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得样本容量为，进而求得的值； （2）根据题意，补全条形统计图，进而得到该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）设3名“良好”分别用表示，1名“优秀”，用表示，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意得，样本容量为， 则，. 【小问2详解】 解：由题得，补全条形统计图，如图所示： 则（人）， 所以估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人. 【小问3详解】 解：设3名“良好”分别用表示，1名“优秀”，用表示，列表如下： A B C D A C D 由表格知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有6种， 所以选取的2名学生均为“良好”的概率为. 20. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/. （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价. 【答案】（1）种水果购进1000千克，种水果购进500千克 （2）种水果的最低销售单价为12.5元 【解析】 【分析】（1）根据题意建立二元一次方程组解方程即可； （2）根据题意建立不等式解不等式即可. 【小问1详解】 设A种水果购进千克，种水果购进千克， 根据题意有：，解得：， 种水果购进1000千克，种水果购进500千克. 【小问2详解】 设A种水果的销售单价为元，根据题意有：， 解得，故A种水果的最低销售单价为元. 五､解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示. 列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）D1001次列车从站到站行驶了__________分钟，从站到站行驶了__________分钟； （2）记D1001次列车的行驶速度为，离站的路程为次列车的行驶速度为，离站的路程为. ①__________； ②从上午8：00开始计时，时长记为分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求的值. 【答案】（1）90，60 （2）①；②或125 【解析】 【分析】（1）由表格直接得解即可； （2）①计算各车运行时间，根据距离相等得解；②由题意得出列车速度及车站间距离， 可分析出时，次列车经过站，当时，次列车在站停车，据此对的范围分类讨论求解即可. 【小问1详解】 次列车从站到站行驶了90分钟，从站到站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； 【小问2详解】 ①根据题意得：D1001次列车从站到站共需分钟， 次列车从站到站共需分钟， ，故答案为：； ②（千米/分钟），（千米/分钟）. 与站之间的路程为360. 当时，次列车经过站. 由题意可如，当时，次列车在站停车. 次列车经过站时，次列车正在站停车. i. 当时，， （分钟）； ii. 当时，， （分钟），不合题意，舍去； iii. 当时，， （分钟），不合题意，舍去； iv. 当时，， （分钟）. 综上所述，当或125时，. 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线. （1）求拋物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标. 【答案】（1） （2）最大值为；此时 （3）， 【解析】 【分析】（1）由抛物线过点A及对称轴可建立方程组解方程即可求解析式； （2）过作轴交于，利用锐角三角函数将问题转化为求的最大值，设点P坐标，由坐标建立二次函数求最值即可； （3）先得出平移后抛物线的解析式，利用特殊角确定直线，求得M坐标，分类讨论N的位置结合锐角三角函数得出线段比计算即可. 【小问1详解】 ∵与轴交于两点，交轴于点， 抛物线的对称轴是直线，解得； 【小问2详解】 如图，延长交轴于，过作轴交于， 当时，解得：， 当时，， ， 轴，， ， ，设为， 解得：直线为：， 设， ∵的对称轴为直线， ， 当时，取得最大值，最大值为；此时； 【小问3详解】 抛物线沿射线方向平移个单位， 即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 新的抛物线为：， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， 同理可得：直线为，当时，， ， ， ， ，设， ，解得：或（舍去）， ； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过 作过的垂线于，同理可得：， 设，则，同理可得：， 或（舍去），， 综上可知或. 六､解答题（本大题共12分） 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片和中，. （1）【初步感知】 如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值. （2）【深入探究】 如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长. （3）【拓展延伸】 在纸片绕点A旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）能，4或16或12或 【解析】 【分析】（1）证明,求出,可得,故,又,可得,从而; （2）连接,延长交于点,连接交于，延长交于，由,得,求出,证明，即可得，,从而四边形矩形,有,,得,可得是的中位线,,设,证明，得,故,，由得，可得的长. （3）分四种情况分别画出图形解答即可. 【小问1详解】 ， ,即， , 【小问2详解】 连接，延长交于点,连接交于,延长交于，如图： 根据（1）得， 是中线， ，即 ， ， 四边形是平行四边形， 四边形矩形， ， ，设，则， , 解得 ， ， ，解得. 【小问3详解】 如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点， ， 四边形是矩形，， ，故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点， ， ， ， ， ， 解得；故. 综上所述，直角三角形的面积为4或16或12或. 【点睛】思路点精：纸片绕点A旋转过程中，若三点能构成直角三角形，则有以下情况：当与重合时，此时，此时是直角三角形， 当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 当时，此时是直角三角形， 当时，此时直角三角形， 在了解每种情况之后，一般都需要通过辅助线寻找三角形相似，进而求解边长和面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$