第02课 集合间的基本关系 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习以“集合间的基本关系”为核心，通过基础概念巩固、中档能力提升、综合应用拓展的三层递进设计，构建从概念理解到参数推理的完整知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|子集、真子集、集合相等概念及性质|概念填空、符号判断题型，强化符号意识与抽象能力| |提升层|子集个数计算、空集性质|元素之和计算、空集判断题，发展运算能力与推理意识| |综合层|含参数的集合包含关系|解答题与参数范围题，培养逻辑推理与数学应用意识|

第02课 集合间的基本关系 一、概念填空 1．子集、真子集、集合相等： 概念 图示 性质 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的___ ，记作___ (或____)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C， 如果，且， 那么 集合 相等 一般地，如果集合A的___元素都是集合B的元素，同时集合B的___元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则 真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作___ (或___ )   AB，且BC，则AC; ，且，则AB 2．规定：_______是任何集合的子集.也就是说，对于任意一个集合A，都有_________. 二、判断子集的个数 3.根据集合中元素个数求解子集个数： （1）集合的真子集个数为 ． （2）集合且的非空子集的个数为 ． （3）已知集合，则的子集个数为 ． （4）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为 ． 4.根据集合的包含关系求解子集个数： （1）若，则的真子集个数为 ． （2）满足条件的集合M的个数为 ． （3）满足⫋的集合的个数为 ． （4）满足的所有集合的个数是 ． （5）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是 ． 三、所有子集中元素之和 5.（1）已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． （2）集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则______． （3）集合的所有子集中的元素之和为______． （4）设是集合的非空子集，称中的元素之和为的“容量”，则的所有非空子集的“容量”之和是______． 四、包含关系的判断 6．下列说法中，正确的是________．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 7．指出下列各组集合之间的关系： （1），；______ （2），；______ （3），______ （4），．______ （5），， ______ （6）， ______ 8．指出下列各组集合之间的关系： （1），；______ （2），______ （3），则________ （4），，则________ （5） 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ （6），，，则集合的关系是（ ） A． B． C． D． 五、概念判断题 9.判断下列表述的正误，对的填“√”，错误的填“×”： （1）； ( ) （2）； ( ) （3）； ( ) （4）； ( ) （5）； ( ) （6）； ( ) （7）； ( ) （8）； ( ) （9）； ( ) （10）⫋． ( ) 六、用适当的符号填空 10．用适当的符号填空（填“∈”，“∉”，“⫋”，“≠”，“=”）： （1）0____ （2）0____ （3）____ （4）____ （5）0____ （6）___Q （7）___Z （8）3.5___N （9）___ （10）{0，1}___R （11）0____ （12）__ （13）Z___N （14）Z___Q （15）___ 11．用适当的符号填空：（填“∈”，“∉”，“⫋”，“≠”，“=”）： （1）是菱形____是平行四边形； （2）是等边三角形}______是等腰三角形 （3）______； （4）是正方形}，是矩形}，是平行四边形}，则A______B，B______C； （5）集合，，则A______C． （6）集合，， 则______， ______ ，______ ， ______ ； （7）集合，则______，______ ，______ ，______； 七、空集 12．判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}； （ ） （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （ ） （3）空集没有子集； （ ） （4）空集是任何一个集合的子集． （ ） （5）空集是任何集合的真子集； （ ） （6）若∅A，则A≠∅． （ ） （7）∈{{}} （ ） （8）⊆{{}} （ ） （9）∈{ } （ ） （10）{} （ ） 13.根据空集求参数范围 （1）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为________. （2）关于x的不等式的解集为，则a的取值集合为______ （3）集合的没有真子集，则实数________． （4）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. （5）若集合是空集，则的取值范围是______． （6）若集合，则实数的取值范围是______. （7）若集合有且仅有1个子集，则的取值范围是______． （8）若集合表示空集，则a的取值范围是________． （9）若集合表示空集，则a的取值范围是________． （10）若集合表示空集，则a的取值范围是________． （11）若集合表示非空集合，则a的取值范围是________． 八、根据包含关系求参数范围 14.根据包含关系求解参数范围： （1）集合，，若，则______． （2）集合，且，则实数的取值集合为_____. （3）集合，，则实数的取值范围是_______. （4）集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ （5）集合，，若的实数m的值所组成的集合为__________. 15.根据包含关系求解参数范围： （1）集合，且，则实数a的取值范围是_________. （2）集合或，，且，则实数的取值范围______.（用集合表示） （3）集合或 ，若，则实数的取值范围是________． （4）集合，，若，则实数的取值范围是______． （5）集合，，若，则实数的取值范围为_____. （6）集合，，若，则实数m的取值范围是______. （7）集合，若，则实数的取值范围是__________. （8）集合，，若，则的取值范围为_____． （9）集合，，且，则m的取值范围为__________． 九、解答题 16.已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 17．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 18．已知集合， （1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素； （2）若A是空集，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02课 集合间的基本关系 一、概念填空 1．子集、真子集、集合相等： 概念 图示 性质 子集 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的___ ，记作___ (或____)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集，即; 对于集合A，B，C， 如果，且， 那么 集合 相等 一般地，如果集合A的___元素都是集合B的元素，同时集合B的___元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作___ ，且; ，且，则 真子集 如果集合___ ，但存在元素，且___ ，就称集合A是集合B的真子集，记作___ (或___ )   AB，且BC，则AC; ，且，则AB 【答案】任意一个，子集，，，任何一个，任何一个，，，，AB，BA 2．规定：_______是任何集合的子集.也就是说，对于任意一个集合A，都有_________. 【答案】空集， 二、判断子集的个数 3.根据集合中元素个数求解子集个数： （1）集合的真子集个数为 ． （2）集合且的非空子集的个数为 ． （3）已知集合，则的子集个数为 ． （4）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为 ． 【答案】 （1）3 （2）31 （3）8 （4）15 【解析】 （1）集合有个元素，故集合的真子集个数为. （2）因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． （3）解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. （4）由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 4.根据集合的包含关系求解子集个数： （1）若，则的真子集个数为 ． （2）满足条件的集合M的个数为 ． （3）满足⫋的集合的个数为 ． （4）满足的所有集合的个数是 ． （5）已知集合M满足，则满足条件的集合M的个数是 ． 【答案】 （1）7 （2）7 （3）7 （4）8 （5）31 【解析】 （1）因为，所以，所以的真子集个数为个 （2）由题意得，集合的个数即为真子集的个数，； （3）由题意得，集合的个数即为非空子集的个数，； （4）由题意得，集合的个数即为子集的个数，； （5）由题可知，即为的真子集，共有个. 三、所有子集中元素之和 5.（1）已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． （2）集合，若的所有子集中的所有元素之和为32，则______． （3）集合的所有子集中的元素之和为______． （4）设是集合的非空子集，称中的元素之和为的“容量”，则的所有非空子集的“容量”之和是______． 【答案】 （1） （2）0 （3）128 （4）672 【解析】 （1）集合的所有非空真子集为，所以元素之和为， 故. （2）由题意可知，集合的非空真子集的个数为， 集合中的每一个元素在其非空真子集中出现的次数为次， 所以的所有子集中的所有元素之和为， 所以． （3）， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. （4）在所有的子集中，每个元素出现的次数都是个， 的所有非空子集的“容量”之和为 四、包含关系的判断 6．下列说法中，正确的是________．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 【答案】①③ 【解析】解：①若，则，正确； ②若，不一定，也存在，故错误； ③若，则，正确； ④若，不一定，也存在，故错误； 7．指出下列各组集合之间的关系： （1），；______ （2），；______ （3），______ （4），．______ （5），， ______ （6）， ______ 【答案】 （1）⫋ （2） （3）⫋ （4）⫋ （5）⫋． （6）⫋ 【解析】 （1）由集合和，所以⫋． （2）因为两个集合都表示长方形构成的集合，所以． （3）因为表示正整数，表示自然数，所以； （4）由集合和，所以⫋． （5）因为，所以⫋． （6），， 则，，所以 8．指出下列各组集合之间的关系： （1），；______ （2），______ （3），则________ （4），，则________ （5） 之间的关系是（　　） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋ （6），，，则集合的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】 （1）⫋ （2）⫋ （3）⫋ （4）⫋ （5）A （6）C 【解析】 （1）集合表示，集合表示，所以 （2）由 ，则． （3）由题意得, 显然仅表示奇数，而表示整数， 因此集合是集合的真子集，即⫋； （4）对于，时，； 时，，； （5）集合，， 所以， ， ， 所以⫋. （6）集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得. 五、概念判断题 9.判断下列表述的正误，对的填“√”，错误的填“×”： （1）； ( ) （2）； ( ) （3）； ( ) （4）； ( ) （5）； ( ) （6）； ( ) （7）； ( ) （8）； ( ) （9）； ( ) （10）⫋． ( ) 【答案】 （1）正确（√） （2）正确（√） （3）正确（√） （4）错误（×） （5）错误（×） （6）错误（×） （7）错误（×） （8）错误（×） （9）正确（√） （10）正确（√） 【解析】 （1）因为，所以正确． （2）因为，所以正确； （3）因为空集是任何集合的子集，所以正确. （4）因为，所以错误. （5）因为，所以错误，故错误； （6）因为，所以错误，故错误； （7）因为，所以错误，故错误； （8）因为，所以错误，故错误； （9）因为空集是任何集合的子集，所以正确，所以正确； （10）因为空集是任何非空集合的真子集，所以正确，故正确． 六、用适当的符号填空 10．用适当的符号填空（填“∈”，“∉”，“⫋”，“≠”，“=”）： （1）0____ （2）0____ （3）____ （4）____ （5）0____ （6）___Q （7）___Z （8）3.5___N （9）___ （10）{0，1}___R （11）0____ （12）__ （13）Z___N （14）Z___Q （15）___ 【答案】 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15）或 11．用适当的符号填空：（填“∈”，“∉”，“⫋”，“≠”，“=”）： （1）是菱形____是平行四边形； （2）是等边三角形}______是等腰三角形 （3）______； （4）是正方形}，是矩形}，是平行四边形}，则A______B，B______C； （5）集合，，则A______C． （6）集合，， 则______， ______ ，______ ， ______ ； （7）集合，则______，______ ，______ ，______； 【答案】 （1） （2） （3）= （4）， （5） （6） （7） 【解析】 （1）菱形是特殊的平行四边形，故是菱形⫋是平行四边形； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，是等边三角形}是等腰三角形． （3）由或， 则； （4）由正方形都是矩形，但矩形不一定是正方形，则， 由矩形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，则； （5）由，，则. （6）集合， 所以B,BA． （7）集合，所以. 七、空集 12．判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}； （ ） （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （ ） （3）空集没有子集； （ ） （4）空集是任何一个集合的子集． （ ） （5）空集是任何集合的真子集； （ ） （6）若∅A，则A≠∅． （ ） （7）∈{{}} （ ） （8）⊆{{}} （ ） （9）∈{ } （ ） （10）{} （ ） 【答案】 （1）错误； （2）错误； （3）错误； （4）正确； （5）错误； （6）错误. （7）错误. （8）正确 （9）正确 （10）正确 【解析】 （1）,所以“∅＝{0}”错误；         （2）空集只有一个子集，所以“任何一个集合必有两个或两个以上的子集”错误； （3）空集有一个子集，所以“空集没有子集”错误；      （4）空集是任何一个集合的子集，正确； （5）空集是任何非空集合的真子集，所以“空集是任何集合的真子集”错误； （6）若∅A，则A可以为，所以A≠∅错误. （7）不是{{}}的元素，故错误； （8）是任何集合的子集，所以是{{}}的子集，故正确； （9）是{}的元素，故正确； （10）是任何非空集合的真子集，{}有一个元素，是非空集合，故正确. 13.根据空集求参数范围 （1）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为________. （2）关于x的不等式的解集为，则a的取值集合为______ （3）集合的没有真子集，则实数________． （4）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. （5）若集合是空集，则的取值范围是______． （6）若集合，则实数的取值范围是______. （7）若集合有且仅有1个子集，则的取值范围是______． （8）若集合表示空集，则a的取值范围是________． （9）若集合表示空集，则a的取值范围是________． （10）若集合表示空集，则a的取值范围是________． （11）若集合表示非空集合，则a的取值范围是________． 【答案】 （1）1 （2） （3）0 （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） 【解析】 （1）可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为，综上，； （2）若不等式的解集为，则，所以，符合题意， 故a的取值集合为. （3）因为集合没有真子集， 所以，即无解，则. （4）由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. （5）若，则方程无解，所以; 若，由方程无解，可得即，此时. 综上可知，实数的取值范围为：. （6）由题意，集合， 若时，集合，满足题意； 若时，要使得集合， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （7）由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． （8）由题意可得：，求解不等式可得：. （9）由题意可得：，求解不等式可得：. （10）由题意可得：，求解不等式可得：. （11）由题意可得：，求解不等式可得：. 八、根据包含关系求参数范围 14.根据包含关系求解参数范围： （1）集合，，若，则______． （2）集合，且，则实数的取值集合为_____. （3）集合，，则实数的取值范围是_______. （4）集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ （5）集合，，若的实数m的值所组成的集合为__________. 【答案】 （1）1 （2） （3） （4） （5） 【解析】 （1）因为 ，且 ，所以 ． 又，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． （2）， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. （3）由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. （4）当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或或， ，或或或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. （5），又， 当时，无解，故，满足条件； 若，则或，得或， 故满足条件的实数. 15.根据包含关系求解参数范围： （1）集合，且，则实数a的取值范围是_________. （2）集合或，，且，则实数的取值范围______.（用集合表示） （3）集合或 ，若，则实数的取值范围是________． （4）集合，，若，则实数的取值范围是______． （5）集合，，若，则实数的取值范围为_____. （6）集合，，若，则实数m的取值范围是______. （7）集合，若，则实数的取值范围是__________. （8）集合，，若，则的取值范围为_____． （9）集合，，且，则m的取值范围为__________． 【答案】 （1） （2）或 （3）或 （4） （5） （6） （7） （8） （9） 【解析】 （1）由，则集合中的所有元素必须属于集合，所以. （2）因为或，，且， 显然，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为或. （3）由题意，因集合或 ，， 则或，即或； （4）当，则，即，此时满足； 当时，，即， 此时要满足，需，结合，得， 综合上述可知实数的取值范围是； （5）由于，故，解得； （6），， 因，则当时，，满足； 当，即时，由，可得，则，符合题意； 综上，实数m的取值范围是. （7）分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：， 所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. （8）由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为； （9）由，，， 当时，，解得； 当时，由或，解得. 综上所述，m的取值范围为. 九、解答题 16.已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】 (1)0或； (2) (3) 【解析】 （1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 17．已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】 (1)； (2). 【解析】 （1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 18．已知集合， （1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素； （2）若A是空集，求a的取值范围； （3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】 （1）当a=0时，；时，； （2）； （3）或 【解析】 （1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根， 当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时， 当a≠0，此时，解得：a=1，此时， （2）若A是空集， 则方程无解， 此时，解得：a＞1. （3）若A中至多只有一个元素， 则A为空集，或有且只有一个元素， 由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1. 试卷第2页，共21页 试卷第17页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $