15.3 等腰三角形新课预习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，通过分层题型整合全等、轴对称等知识，提炼分类讨论、转化思想等解题方法，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|第1/2题|等边对等角、三线合一|从定义到内角和计算，构建性质应用逻辑链| |判定与全等|第3/17题|等角对等边、SSS证全等|结合角平分线性质，形成判定与全等推理体系| |综合探究|第10/15题|分类讨论、轴对称转化|关联最短路径、格点问题，实现知识跨场景迁移|

15.3 等腰三角形 新课预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点为边上一点，连接，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．下列说法：①等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行；②有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；③等腰三角形的顶角平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等；④角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．其中正确的说法有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（   ）    A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 5．如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作弧，与前面的弧交于点；④作射线交于点、若，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图，已知直线于点O，点A，B分别在，上，，，在直线或直线上找一点C，使是等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 二、填空题 11．在中，，若使为正三角形，请你再添一个条件：___________． 12．在中，已知，，则的取值范围是_____． 13．如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________． 14．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，，与交于点G，若，则的长为________． 15．如图，在学习了轴对称后，小华在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有角的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角中，，点E，P分别在斜边和直角边上，则的最小值是________． 三、解答题 16．如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角． 17．如图，在和中，，．求证：． 18．如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向． （1）求的度数； （2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度． 19．已知，是等边三角形，是中线，延长至，使． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点作的垂线交于点，请直接写出图中所有与线段相等的线段（不包括本身）． 20．如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得最小，请画图并直接写出点P的坐标． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C A C D A A D 1．【答案】C 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，一个底角为， ∴另一个底角也为， ∵三角形内角和为， ∴顶角． 2．【答案】A 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线； 又∵， ∴． 3．【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查角平分线的判定性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，根据相关知识点逐一判断各说法即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角外角的一半与底角相等，形成同位角或内错角，所以顶角的外角平分线与底边平行，∴ ①正确； ∵ 两边和一角对应相等可能为，不一定全等，∴ ②错误； ∵ 等腰三角形顶角平分线平分顶角，由可证全等，∴ ③正确； ∵ 角的内部到两边距离相等的点必在角平分线上，∴ ④正确. ∴ 正确说法有3个， 故选B． 4．【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，可画出种不同的拼法，即可求解，根据等腰三角形的判定画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，共有中拼法：      故选：C． 5．【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 6．【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】尺规作一个角等于已知角、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，作一个角等于已知角．先证，进而根据三角形内角和为180度得出，根据等角对等边，可得，由作图方式得出，进而得出，，再次应用三角形内角和定理，得出，推出，可得． 【详解】解： 中，， ， ， ， 由作图知，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 8．【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等边对等角、线段垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】连接，根据直角三角形两锐角互余得，再利用线段垂直平分线的性质得，继而得到，进而可得，然后根据含角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．【答案】A 【知识点】找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 10．【答案】D 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分可能为底，可能是腰进行分析． 【详解】解：使是等腰三角形， 当当底时，则作的垂直平分线，交的有两点，即有两个三角形． 当让当腰时，则以点A为圆心，为半径画圆交有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，为半径画圆，交有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 11．【答案】答案不唯一 【知识点】等边三角形的判定 【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加的条件是：答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，熟知三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 12．【答案】 【知识点】求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用、大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的边角关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系，大边对大角，结合内角和定理列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形内角和定理，， 代入得， 即， 故， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质、两点之间线段最短 【分析】作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得即为的最小值，进而由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接， 是等边三角形， ，， ， 平分，， 点是的中点，垂直平分， 点是的中点， ，平分， ， 当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长， ， 垂直平分， ， ， 即． 14．【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．首先根据，，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，进而求出，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．【答案】6 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、等边三角形的性质 【分析】本题考查最短路径问题及等边三角形的性质，利用轴对称将的最小值转化为线段长是解题的关键．作点B关于的对称点，过作交于点P，则的最小值为求出即可． 【详解】解：如图：作点B关于的对称点，过作交于点P， 连接， 由题意可得两块完全相同的含有的三角板可以拼成一个等边三角形， ∴， ，当点、P、E共线，且时取等号， 的最小值为， ，， ， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 16．【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的定义、找出图中的等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的定义，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， 中，腰：和，底边：，顶角为； ∵， ∴为等腰三角形， 中，腰：和，底边：，顶角为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的相关定义，解题的关键是掌握在等腰三角形中，相等的两条边为腰，另外一条边为底边，底边所对的角为顶角． 17．【答案】 证明： ，，， ． ． ． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先根据，，，证明，故，最后由等角对等边，得，即可作答． 【详解】略 18．【答案】（1）70°；（2）15km/h 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边求边长、与方向角有关的计算题 【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB； （2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°， ∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°； （2）∵∠BAC=∠ACB=70°， ∴BC=AB=75km， ∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）． 【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键． 19．【答案】(1)见解析 (2)与线段相等的线段有：，， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，结合等角对等边即可证明； （2）根据等边三角形的性质得出，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，是中线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，是中线， ∴， 在中，， 故， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故， 即， 故与线段相等的线段有：，，． 20．【答案】(1)图见解析，，， (2)图见解析， 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称作图，坐标系中点的对称和最短路线问题，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题关键． （1）点关于y轴对称，其纵坐标不变，横坐标变为相反数．依次画出点，，，然后顺次连接即可； （2）先作点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为，根据图确定点的坐标． 【详解】（1）如图所示， ， 则，，， （2）如图，作点关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为， ， 由图可知，点坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $