15.3等腰三角形知识归纳与题型突破（八题型）2026-2027学年人教版八年级上册

**基本信息** 以等腰三角形为核心，系统整合性质判定、等边三角形及含30°角直角三角形知识，通过八类题型实现从概念到综合应用的逻辑递进，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识归纳|5知识点|概念-性质-判定分层呈现|从等腰三角形基础概念出发，衍生等边三角形特殊性质，关联含30°角直角三角形结论，形成“一般-特殊”认知链| |题型一至八|每题型4-5题|覆盖角度计算、线段求解、多结论判断等|题型与知识点精准对应，从单一性质应用到综合判定推理，逐步提升空间观念与逻辑推理能力|

15.3等腰三角形知识归纳与题型突破2026-2027学年 人教版八年级上册（八题型） 知识归纳 知识点01 等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的概念： 有两条边 相等 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 腰 ，所对的角叫做等腰三角形的 底角 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 顶角 。 2. 等腰三角形的性质：如图 ①等腰三角形的两腰 相等 。即AB ＝ AC。 ②等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ＝ ∠C。【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 重合 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ＝ ∠CAD，BD ＝ CD，AD ⊥ BC。 知识点02 等腰三角形的判定 1. 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 相等 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 2. 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 重合 ，则这个三角形是等腰三角形。 知识点03 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形的概念： 三条边都 相等 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 等腰三角形 。 2.等边三角形的性质： ①等边三角形的三条边都 相等 ，三个角也 相等 ，且三个角都等于 60 °。 ②等边三角形三条边都存在 三线合一 。 ③等边三角形是一个 轴对称 图形，它有 3 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 知识点04 含30°角的直角三角形 30°角所对的直角边与斜边的关系： 30°角所对的直角边等于斜边的 一半 。 知识点05 等边三角形的判定 ①定义判定：三条边都 相等 的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角 相等 的三角形是等边三角形。或有两个角是 60° 的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。 题型突破 题型一：利用等腰三角形的性质求角度 1.等腰三角形的一个底角是a°，它的顶角是（　　） A．a° B．90°﹣a° C．180°﹣2a° 【答案】C． 2.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【答案】D． 3.如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度数为（　　） A．10° B．15° C．25° D．30° 【答案】B． 4.如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．36° C．45° D．72° 【答案】B． 5.已知∠ABC＝30°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当△ABP是等腰三角形时，∠ABD的度数为 　 　． 【答案】60°或30°或15°． 题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度 1.已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【答案】B． 2.已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（　　） A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和11 【答案】C． 3.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD＝1，则BD等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D． 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度． 【答案】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EP⊥BC， ∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°， ∴∠E＝∠BFP， 又∵∠BFP＝∠AFE， ∴∠E＝∠AFE， ∴AE＝AF＝2， ∴△AEF是等腰三角形． 又∵CE＝7， ∴AB＝AC＝CE﹣AE＝7﹣2＝5， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3． 题型三：等腰三角形中多结论问题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【答案】A． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 4.已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A． 题型四：等腰三角形的判定 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE∥AD交BA的延长线于点E，求证：△ACE是等腰三角形． 【答案】证明：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAC， 又∵CE∥AD， ∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE， ∴∠E＝∠ACE， ∴AE＝AC， ∴△ACE是等腰三角形． 2.如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，且CE∥AB，求证：△ABC为等腰三角形． 【答案】证明：∵CE平分∠ACD， ∴， ∵CE∥AB， ∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠DCE， ∴∠B＝∠A， ∴BC＝AC， ∴△ABC为等腰三角形． 3.如图，已知在△ABC中，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求证：AB＝AC． 【答案】证明：∵∠ADE＝∠AED． ∴∠BAD+∠B＝∠EAC+∠C， ∵∠BAD＝∠EAC ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC． 4.如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】证明：∵AQ＝AR， ∴∠R＝∠AQR． 又∵∠BQP＝∠AQP， ∴∠R＝∠BQP． 在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形． 【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形． 题型五：利用等边三角形的性质求角度 1.在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】C． 2．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】A． 3．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 【答案】C． 4.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（　　） A．105° B．95° C．85° D．75° 【答案】A． 5.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【答案】C． 题型六：利用等边三角形的性质求线段 1.已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D作BC边的平行线交AC于E点，则DE的长是（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C． 2.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 3．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为　　． 【答案】4． 4.如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE的长度为3cm，则点D到BC的距离为 　　cm． 【答案】3． 5.如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△A′B′C′，则B′C的长度为 　 　． 【答案】1． 题型七：等边三角形的判定 1.下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 【答案】D． 2.已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法： ①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形； ②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形； ③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形． 上述说法中，正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 【答案】证明：∵D为AB的中点， ∴AD＝BD． ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠BFD＝90°． 在Rt△ADE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A＝∠B， ∴CA＝CB， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC ∴△ABC是等边三角形． 4．已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形． 【答案】证明：∵∠B＝∠C，AB∥DE， ∴∠DEC＝∠C， ∵EC＝ED， ∴∠C＝∠EDC， ∴∠DEC＝∠C＝∠EDC＝60°， ∴△DEC为等边三角形． 5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形． 【答案】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC， ∴BC＝BE， ∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D， ∴∠ECB＝60°， ∴△CEB为等边三角形． 题型八：含30°角直角三角形的计算 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B． 2.在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A． 3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．3m B．4m C．4.5m D．5m 【答案】B． 4.已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（　　） A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30° 【答案】A． 5.如图，点P是∠AOB平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，若∠AOB＝30°，OC＝4，求点P到OA的距离PD． 【答案】解：过P作PE⊥OB， ∵PC∥OA， ∴∠PCB＝∠AOB＝30°，∠AOP＝∠OPC， ∵点P是∠AOB平分线上的一点， ∴∠AOP＝∠POB，PD＝PE， ∴∠POB＝∠OPC， ∴CO＝PC， ∵OC＝4， ∴PC＝4， ∵∠PCB＝30°， ∴PE＝PC＝2， ∴PD＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3等腰三角形知识归纳与题型突破2026-2027学年 人教版八年级上册（八题型） 知识归纳 知识点01 等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的概念： 有两条边 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 ，所对的角叫做等腰三角形的 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 。 2. 等腰三角形的性质：如图 1 等腰三角形的两腰 。即AB AC。 2 等腰三角形的两个底角 相等 。即∠B ∠C。【简称：等边对等角】 3 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ∠CAD，BD CD，AD BC。 知识点02 等腰三角形的判定 1. 利用等角对等边判定： 一个三角形中如有两个角 相等 ，则这两个角所对的两条边也 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。 2. 利用三线合一性质判定： 若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 ，则这个三角形是等腰三角形。 知识点03 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形的概念： 三条边都 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 。 2.等边三角形的性质： ①等边三角形的三条边都 ，三个角也 ，且三个角都等于 60 °。 ②等边三角形三条边都存在 。 ③等边三角形是一个 图形，它有 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 知识点04 含30°角的直角三角形 30°角所对的直角边与斜边的关系： 30°角所对的直角边等于斜边的 。 知识点05 等边三角形的判定 1 定义判定：三条边都 的三角形是等边三角形。 2 判定定理1：三个角 的三角形是等边三角形。或有两个角是 的三角形是等边三角形。 3 判定定理2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 题型突破 题型一：利用等腰三角形的性质求角度 1.等腰三角形的一个底角是a°，它的顶角是（　　） A．a° B．90°﹣a° C．180°﹣2a° 2.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 3.如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度数为（　　） A．10° B．15° C．25° D．30° 4.如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　） A．28° B．36° C．45° D．72° 5.已知∠ABC＝30°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当△ABP是等腰三角形时，∠ABD的度数为 　 　． 题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度 1.已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 2.已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（　　） A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和11 3.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD＝1，则BD等于（　　） A．1 B． C． D． 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度． 题型三：等腰三角形中多结论问题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4.已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 题型四：等腰三角形的判定 1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE∥AD交BA的延长线于点E，求证：△ACE是等腰三角形． 2.如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，且CE∥AB，求证：△ABC为等腰三角形． 3.如图，已知在△ABC中，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求证：AB＝AC． 4.如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．求证：△ACD为等腰三角形． 题型五：利用等边三角形的性质求角度 1.在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 2．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 3．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 4.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（　　） A．105° B．95° C．85° D．75° 5.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 题型六：利用等边三角形的性质求线段 1.已知等边三角形ABC的周长为12，D是AB的中点，过点D作BC边的平行线交AC于E点，则DE的长是（　　） A． B．1 C．2 D．4 2.如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为　　． 4.如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE的长度为3cm，则点D到BC的距离为 　　cm． 5.如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△A′B′C′，则B′C的长度为 　 　． 题型七：等边三角形的判定 1.下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C 2.已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法： ①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形； ②如果添加条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形； ③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形． 上述说法中，正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 4．已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形． 5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形． 题型八：含30°角直角三角形的计算 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE＝2，则CE的长度为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2.在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．3m B．4m C．4.5m D．5m 4.已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（　　） A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30° 5.如图，点P是∠AOB平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，若∠AOB＝30°，OC＝4，求点P到OA的距离PD． 学科网（北京）股份有限公司 $