精品解析：甘肃兰州市第五十九中学2025～2026学年第二学期期中考试高二数学

兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求出切点和切线的斜率即得解. 【详解】因为， 所以， 联立可解得， 所以，. 故选：C 2. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 3. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点处的纬度，计算出晷针与点处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.. 由于，所以， 由于， 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为. 故选：B 【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题. 5. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点是底面圆周上异于的一点，若，当三棱锥体积最大时，则点到平面的距离（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一： 当三棱锥体积最大时，即直接的面积最大，可得点是弧AB的中点，连接交于点，点到平面的距离等于点到平面的距离，利用体积相等可得答案； 法二：当三棱锥体积最大时，即直接的面积最大，可得点是弧AB的中点，易证平面平面平面ADE，因此点到平面BDE的距离为点到直线DE的距离，可得答案； 法三：当三棱锥体积最大时，即直接的面积最大，可得点是弧AB的中点，建立空间直角坐标系，利用点到平面的空间距离公式计算可得答案. 【详解】法一：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即， 当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大， 由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形， 此时，， 连接交于点，所以点为的中点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 由于平面，所以， ，所以， 所以，解得. 法二：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即， 当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大， 由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形， 所以，， 连接交于点，所以点为的中点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 做，且交于点， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 因此点到平面的距离为点到直线的距离， 即. 法三：因为三棱锥的高即为圆柱的高，即， 当三棱锥体积最大时，即直角的面积最大， 由于，所以点是弧AB的中点时，即是等腰直角三角形， 可得， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以， 所以点到平面的距离为. 故选：D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用对数复合函数单调性及定义域求参. 【详解】因为单调递增 令， 又因为为单调增区间，所以是单调递增， 所以,所以, 又因为,所以, 所以. 故选：D. 7. 已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质结合给定概率求出，再求出，进而利用方差的性质计算即得. 【详解】由，得，， 则，， 由，得，所以. 故选：C 8. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 当时，是上的减函数 B. 当时，是的极小值点 C. 当时，取到最小值 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当时，即可；对于BC，由导数判断函数的单调性即可求解；对于D，由导数判断函数的单调性，并求函数最小值，再通过导数证明即可. 【详解】由题意，函数，定义域为， 则导函数为， 对于A，当时，，则函数在上单调递减，故A正确； 对于B，当时，令，解得， 当时，，则函数在单调递增； 当时，，则函数在单调递减； 所以为的极小值点，故B错误； 对于C，当时，令，解得， 当时，，则函数在单调递增； 当时，，则函数在单调递减； 所以函数的最小值为，故C正确； 对于D，由B选项知，函数在取最小值， 则， 假设，则， 即在恒成立， 令， 则， 令，则，在单调递增， 令，则，在单调递减， 所以， 所以恒成立， 所以当时，恒成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据概率乘法公式可得的分布列，即可求解,进而判断AB,利用方差和期望的性质即可求解CD. 【详解】 表示停止取球时没有取到黄球，所以 ，故 A 正确; 又随机变量 的所有可能取值为0，1，2，则 ， ， 故的分布列为 0 1 2 所以 ，故 B 正确; 由 ，故 C 错误; ，故 D 正确. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ） A. 该正方体外接球的表面积为 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体的外接球的直径是正方体的体对角线可求外接球的表面积，可判断A的真假；利用平行把异面直线所成的角转化为平面角，再利用三角形的边角关系可求异面直线所成角的三角函数，判断B的真假；做出截面，判断截面形状，可判断C的真假；构造三棱锥，利用体积法求点到面的距离，可判断D的真假. 【详解】对A：棱长为3的正方体的体对角线长为：， 所以所求正方体的外接球表面积为：，故A正确； 对B：如图 连接，∵，所以即为异面直线与所成的角，设为. 在中，，，， 所以，所以，故B正确； 对C：如图： 取中点，连接，过点作，交于点，则， 所以平面截正方体所得截面为梯形. 由，所以. 所以，，所以， 所以梯形不是等腰梯形，故C错误； 对D：如图： 设点到平面的距离为，则， 而， ， 所以：，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题即可. 【详解】函数，求导， 令，求导， 函数在上单调递增，当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此函数在上单调递增， 当时，，即， 函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，此时，即； 在上单调递增，此时，即， 由对任意的，存在唯一的使得， 得是的子集， 即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域. 13. 已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定，分别求出各自的概率，然后期望公式可求 【详解】记检测次数为，则 当时，检测的两件产品均为正品或为次品，则， 当时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品， 都能确定所有次品，则， 所以， 故答案为： 14. 如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____.  【答案】 【解析】 【分析】利用四点共面，求出相应最值，根据三元均值不等式求解即可 【详解】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题（共72分） 15. 甲袋中装有2个红球、2个白球，乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出2个球. （1）记摸出红球的个数为X，求X的分布列和期望； （2）已知摸出的2个球是1红1白，求这2个球来自乙袋的概率. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 期望为； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别求出从甲袋中摸出两球，两红，一红一白，两白的概率，从乙袋中摸出两球，两红，一红一白，两白的概率，再计算出从甲摸球和从乙摸的概率，利用独立事件的概率公式求得分布列，然后由期望公式求得期望； （2）由（1）得两球是一红一白的概率，及从乙袋中摸得一白一红两球的概率，再由条件概率公式计算． 【小问1详解】 由题意的可能值是， 甲袋2个红球、2个白球，分别编号为红1，红2 ，白1，白2， 任意抽取2球的可能情形是：红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2共6种， 因此抽取的两球均红的概率为，一红一白的概率为，两球均白的概率是， 乙袋1个红球、3个白球，3个白球编号为， 抽取2球的可能情形有：红1，红2，红3，12，13，23共6种， 抽取的两球均红的概率为0，一红一白的概率为，两球均白的概率是， 又抽取的球从甲袋抽取的概率为，从乙袋抽取的概率是， 所以，，， 的分布列为： 0 1 2 期望为； 【小问2详解】 由（1）知两球一红一白的概率是，一红一白两球是从乙袋中抽取的概率是， 所以在摸出的2个球是1红1白，这2个球来自乙袋的概率． 16. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若，求a； （2）求a的取值范围． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可； （2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； 【小问2详解】 ，则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 17. 如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. （1）证明：平面BCD； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）在中，，，， 由余弦定理可得即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 则，可得， 因为平面BCD，可知为平面BCD的一个法向量， 因为，则， 且平面BCD，所以平面BCD. （2） 【解析】 【分析】（1）可证平面BCD，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）分别求平面APC、平面PCM的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，，， 设平面APC的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面PCM的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为θ，由题意可知θ为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即得函数的零点情况. 【小问1详解】 当时，函数， 又，则. 所以在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，的定义域为， 显然恒成立， ①若，则，此时在上单调递减； ②若，令，解得. 当时，，当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 若，由（2）知，至多有一个零点； 若，由（2）知，当时，取得最小值为. 设，则， 故在上单调递增，又. （i）当时，，故此时没有两个零点； （ii）当时，， 又， 故在上有一个零点； 当，由可得即，得，则 故，即，又易知 则，即 因此在上也有一个零点. 综上，若有两个零点，实数的取值范围为. 19. 在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于． （1）当时，求点的轨迹长度； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过垂直关系得到，然后建立空间直角坐标系得到点的轨迹，根据角度求轨迹的长； （2）利用向量法求面面角，解方程求出点的坐标，进而利用体积公式求解即可. 【小问1详解】 作交于， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 因为，，、平面，， 所以平面，又因为平面，所以． 分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，因为，所以， 又，， 所以，即， 设中点为，则，如图： 又，所以， 因此，的轨迹为圆弧，其长度为； 【小问2详解】 由（1）知，可设，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令得． 为平面的一个法向量，令二面角为角， ，又， 解得，（舍去）或，， 则或， 从而可得三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第五十九中学2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学 时间：120分钟 分数：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 1 2. 设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 5. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点是底面圆周上异于的一点，若，当三棱锥体积最大时，则点到平面的距离（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量的分布列如下表所示： 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 当时，是上的减函数 B. 当时，是的极小值点 C. 当时，取到最小值 D. 当时，恒成立 10. 盒中有 3 个球， 其中 1 个红球， 2 个黄球.从盒中随机取球， 每次取 1 个， 不放回， 直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 分别为随机变量 的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（ ） A. 该正方体外接球的表面积为 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 D. 点到平面的距离为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 13. 已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则______. 14. 如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____.  四、解答题（共72分） 15. 甲袋中装有2个红球、2个白球，乙袋中装有1个红球、3个白球.抛掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出2个球. （1）记摸出红球的个数为X，求X的分布列和期望； （2）已知摸出的2个球是1红1白，求这2个球来自乙袋的概率. 16. 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若，求a； （2）求a的取值范围． 17. 如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. （1）证明：平面BCD； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求实数的取值范围. 19. 在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于． （1）当时，求点的轨迹长度； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $