甘肃兰州新区贺阳高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

高二数学参考答案 1.C因为P(1,一2，一5)，所以点P到平面Oxy的距离为5. 2.D依题意.(x)'=0,(5)y=51n5,(cosx)/=-sinx,(In4x)/=·4=1 4.x 3.C因为a=(x,3,y),b=(0,1,m),且ab,所以x=0,y=3m. 4.C lim A灯 fa+2△)-f-21mf1+2-f0-2fr1 △x A 2△x 5.Bx2+y2-2x-1=0可化为(x-1)2+y2=2,圆心为C(1,0),半径为2，则圆心C(1,0) 到直线x+y=0的距离4-1十0-号所以1AB=22-(号)-后。 √2 6.A不同的安排方法种数为CCA=120. 7.B以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,之轴建立 D 如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),M(2,0,1),N(0,2,1), B P(1,0,0),所以MN=(-2,2,0),MP=(-1,0,-1). 设平面PMN的法向量为n=(x,y,z),所以M示·n=-2x+2y= M“ A 0,MP·n=-x-之=0，令x=1,则y=1,x=-1,可得n=(1,1, B -1).因为AM=(2,0,1),所以点A到平面PMN的距离d= 7-号 8.Af'(x)=2(x十a)(x-4)+(x十a)2=(x十a)(3x十a-8),由题可知f'(-2)=(-2+ a)(a-14)=0,解得a=2或a=14.当a=14时，f'(x)=(x+14)(3x+6),f(x)在x=-2 处有极小值，不符合题意；当a=2时，f'(x)=(x十2)(3x一6)，f(x)=(x十a)2(x一4)在x= 一2处有极大值，符合题意， 9.AC由已知得PA=(-1,1,1),BC=(-1,2,-3),则PA·BC-1+2-3=0,所以PA⊥ BC,A正确； 因为AC=(-1,2,1),所以cos<AC,PA》= AC.PA 1+2+12W2 ACUPA√6X3 3 ,B错误； 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),所以AC·n=-x+2y十：=0，BC·n=-x+2y 3z=0,令y=1,则x=2,x=0,可得n=(2,1,0),C正确； -2+1 √/15 直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 PA·n PAm3X/5 15D错误 10.ACD因为S3=3a2=6,所以a2=2.因为a1a2=2,所以a1=1,即d=a2-a1=1,a1o=a1 2 00,S,二n士”D””A正确，B错误，C正确.因为S 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 2片所以对+++…+=2x1-+号+…+品》-器 D正确. 1.ABD令x=0.得f0)=f0)+3.即f'(3)=0.又f'(x)=-f0)-1,则f3)= 30)-1-0所以f0)=2,所以f)2,故f0)=。A正确： e 了x)=。3,则f)在(-0,3》上单调递减，在(3，十)上单调递蜡所以3是<)的 极小值点，B正确； 当0<x<1时，0<x2<x<1,则f(x2)>f(x),C错误； 设切点为(，2怎），切线方程为y-2。”-”。一加)点，0)在切线上，所以 _2-m=m-3(-m),化简可得m2-(1+2)m+3t-2=0,所以△=(1+2)2-4(3t-2) em e =t2一8t十12=(t一2)(t-6)>0,故关于m的方程m2一(t十2)m十3t-2=0有两个解， D正确. 12.2因为A,B,C,D四点共面，所以3+2-3m十m=1,解得m=2. 18.0由图可知点P处的切线斜奉为8-2则切线方程为y=-2x十8，所以了3)=-2 ×3+8=2,故f(3)+f'(3)=0. 4.(9,+∞)令g()则g(x)=。<0,g)单调递减，由f(ar2+ <c子+1.可袋a》”,即gar+a+1).所以当号 e2+ 3]时，ar2+x>十1恒成立，即a>(),所以a>9.故a的取值范围为(9，十o). 15,解：1PM=B7-B驴-Bd-B驴-=Bi+BC)-B护=}Bi+BC-B驴，3分 Pi=√/(4Bi+4BC-B) √耐+8C++g·C耐·前-成.前 =V×16+6×16+36+0-2×46×2×4X6×2=25. …6分 2Pi.B成-成.BC+心-B驴.成=0+×16-4X6x号-8、…8分 1 o成.Bd1= PM.BC 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 改价为图 13分 2 16.解：(1)由题可知 2分 a21, 解得a=2,c=√2，b=√2， …4分 所以C的方程为+苦-1.5分 (2)设直线l:y=x十m,M(x1y1),N(x2,y2).… …6分 y=x十m, 由g+号=1，得3+nr+2m-1=0.则x+=-智。 31x2= 2m2-4 3 …9分 4 2 MN=√1+1|x1-x2=2·√(x1+x2)-4x1x2=2· /16m24(2m2-4)8 9 3 ………13分 解得m=士√2，所以l的方程为x一y士√2=0.…15分 17.(1)解：由题意得f(x)的定义域为(0，十0∞).…1分 由f(x)=ax-a1nx,可得/)=a&三aa=aa） ……2分 若a<0,则f'(x)<0在(0，十∞)上恒成立， 则f(x)的单调递减区间为(0，十∞)，无单调递增区间.…4分 若a>0,则当x∈(0，a)时，f'(x)<0,当x∈(a,十o∞)时，f'(x)>0, 则∫(x)的单调递增区间为(a,十o∞)，单调递减区间为(0，α).…7分 (2)证明：当a>0时，f(x)mm=f(a)=a2-alna,…9分 要证f(x)≥2a2-a3,只需证f(a)≥2a2-a3. 又f(a)-2a2+a3=-a21na-a2+a3=a2(a-lna-1),所以只需证a-lna-1≥0.… ……11分 令ga)=a-lna-1,则g'(a)=1-1-a-」 …12分 则当a∈(0,1)时，g'(a)<0,当a∈(1，十∞)时，g'(a)>0, 即g(a)的单调递增区间为(1，十∞)，单调递减区间为(0,1)， 所以g(a)mim=g(1)=0,即g(a)≥0，所以当a>0时，f(x)≥2a2-a3.…15分 18.(1)证明：取AB的中点O,连接CO,A1O,BD.由题意易得CO⊥AB,A1O⊥AB,A1O∥ DB.…1分 因为侧面ABB1A1⊥底面ABC,侧面ABB1A1∩底面ABC=AB, 所以AO⊥平面ABC,…2分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 所以A1O⊥AC,故BD⊥AC.…3分 又BC⊥AC,BC∩BD=B,所以ACL平面BCD.…4分 因为CDC平面BCD,所以AC⊥CD.… …5分 (2)解：以O为原点，OC,OB,OA1所在直线分别为x,y,x轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 易知O(0,0,0),B(0,1,0),A(0,-1,0),C(1,0,0),A1(0,0,w3) B1(0,2,3),D(0,1,W3),所以BA=(0,-1,3),BC=(1,-1, 0). …6分 设平面A1BC的法向量为m=(x,y,x), m·BA1=-y1十3z1=0, 所以 令y1=√3，得x1=3,之1=1，则 m·BC=x1-y1=0, m=(W3,W3,1). 8分 易知平面A1B1C1的一个法向量为n=(0,0,1). …9分 又nm=日沿-， 所以平面AB,C与平面A1BC所成角的余弦值为号 …11分 (3)解：因为A1C-AC=(1,1,0),所以C1(1,1,W3).…12分 设M(x,y,z),球M的半径为r, MA2=x2+(y+1)2+z2=r2 MB2=x2+(y-1)2+x2=r2, 所以 MC=(x-1)2+(y-1)2+(:-3)2=r2, …14分 MD=x2+(y-1)2+(z-√3)2=r2, 解得x=y=0- 2·=/2,… 15分 则球山的体积为号-8 3 17分 19.解：(1)当a=1时，f(x)=e-x2,则f(0)=1. …1分 又f'(x)=e-2x,所以f'(0)=1.… … 2分 故曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x十1，即x一y+1=0.…4分 (2)(i)当a=0时，f(x)无零点，…5分 故a≠0.令f)=0,可得1=g …6分 a e 设w)=若则w)=22 e 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 当x∈（一o∞，0）时，u'(x)<0,u(x)单调递减，当x∈(0,2)时，u'(x)>0,u(x)单调递增， 当x∈(2，十∞)时，u'(x)<0,u(x)单调递减.…8分 e2w(0)=0,可得0<1<4」 由u(2)=4, 上a。2,解得a了、】 故a的取值范围是(，十∞）.…10分 (i)由(i)可知x1<0<x2<x3,e1-ax=0,e2-a.x=0,e3-ax=0, 所以==x …1分 则e1=()①e=()@, …12分 设该等差数列的公差为d(d>0),即x2一x1=xg一x2=d. …13分 由①可得e=-2=-xg 4得号1曲②可得e- C,得e-1+d e …15分 所以e兰-=2，化简得(e兰)2一2兰-1=0，解得e兰-2十1（负值舍去），…16分 e 即公差d=2ln(w2+1). …。…4。·4·4。。。7 回路▣ 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】高二数学 国 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册至选择性必修第二册第二章】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(1,-2,一5)到平面Oxy的距离为 Al B.5 C.5 D.29 2.下列求导数运算正确的是 A(x°)'=10x B.(5)'=51 C.(cos x)'=sin D.ln4x)'=1 ( 曲，如1=(】 3.已知向量a=(x,3,y),b=(0,1,m),若a/仍，则 A.x=1 B.ym=3 C.y=3m D.m-3y 4.已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f(x),则1im f1+2△x)-f1)=Y Az Af(1) Bfo) C.2f'(1) D.-f'(1) 5.若直线x十y=0交圆C:x2+y2-2x-1=0于A,B两点，则|AB|= A25 B.6 C.2W2 D.2 线 6.某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A,B,C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务 点，每个服务点至少安排1人若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为 A120 B.80 C.60 D.48 斜 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，P,M,N分别为 AB,BB1,DD1的中点，则点A到平面PMN的距离为 A号 B号 C.1 D.5 【高二数学第1页（共4页）】 8.已知函数f(x)=(x+a)2(x一4)在x=-2处有极大值，则a= A.2 B.14 C.-2或2 D.2或14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知三棱锥P-ABC的顶点分别为P(0,1,0),A(-1,2,1),B(-1,2,5),C(-24,2),则 A.PA⊥BC 且有受花与成的夹角的余弦值为号 C.平面ABC的一个法向量为n=(2,1,0) D直线PA与平面ABC所成角的正弦值为/2 15 10.设等差数列{an}的前n项和为S.,公差为d,若a1a:=2,S,=6,则 A.d=1 B.a10o=200 C.S=n 2.1 1.已知函数fx)的导函数为f'(x),且f(x)=f0）-+(3,则下列说法正确的是 Af-号 B.3是f(x)的极小值点 C.当0<x<1时，f(x2)<f(x) D.若t<2,则过点(t,0)可作两条直线与曲线y=f(x)相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点0，都满足OD=3O+(2-3m)O+m0元.若 A,B,C,D四点共面，则m=▲ 13.已知函数f(x)的图象在点P处的切线如图所示，f(x)的导函数为 f(x),则f(3)+f'(3)=▲· 14记函数f(x)的导函数为f'(x),Vx∈R,f(x)<f(x),若关于 x的不等式far+x)<e-fr+1在x∈[行]上恒成立，则 a的取值范围为▲、 【高二数学第2页（共4页）】 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，∠PBA=∠PBC=60O°，BA =BC=4,PB=6,D为AC的中点，M为BD的中点. (1)用BA,BC,B驴表示PM,并求PMI: (2)求异面直线PM与BC所成角的余弦值. B 16.(15分) 已知隔圆C导+芳-1Kc>6>0的离心率为号A2,0)是C上一点 (1)求C的方程： (2)已知斜率为1的直线1与C交于M,N两点，若MN1-号求1的方程 边， 1.·发为是八2浙. ,1 17.(15分) 好0)1里” 已知a≠0，函数f(x)=ax-a2lnx. ,级0"， (1)讨论f(x)的单调性； ，,领，81法 (2)证明：当a>0时，f(x)≥2a2-a. ,之省小8，题小1阻发·，三 出 18.(17分) 如图，在斜三棱柱ABCA,B1C,中，侧面ABB1A1⊥底面ABC,△AEC是等腰直角三角 形，AC⊥BC,△ABA1是边长为2的等边三角形，D为A1B,的中点. (1)证明：AC⊥CD. (2)求平面A1B1C1与平面A,BC所成角的余弦值. (3)若点A,B,C1,D均在球M的球面上，求球M的体积 弥 合三只，须个国的出· 19.(17分) 已知函数f(x)=e-ax2 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程. 封 (2)设f(x)有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x:<x). (1)求a的取值范围； (i)若x1,x2x3成等差数列，求该数列的公差， 个 扫描全能王创建