精品解析：甘肃平凉市庄浪县紫荆中学2025-2026学年第二学期第一学段考试题高二数学

紫荆中学2025-2026学年第二学期第一学段考试题（卷） 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在小时内经过的车辆数是一个随机变量；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置是一个随机变量；③某人小时内接到的电话次数是一个随机变量；④天内的温度是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 8. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A. A与B为互斥事件 B. A与B为相互独立事件 C. D. 10. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（ ） A. B. AP⊥AD C. AP⊥AB D. 是平面ABCD的一个法向量 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数既存在极大值又存在极小值 B. 函数存在3个不同的零点 C. 函数的最小值是 D. 若函数有两个不同的零点，则或 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一枚深水炸弹轻创、重创一艘潜艇的概率分别是、，被轻创和重创的潜艇分别以和的概率失去战斗力，计算一枚深水炸弹就能使潜艇失去战斗力的概率为____________. 13. 若是函数的极值点，则___________ 14. 在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求函数的导数. （2） 如图，已知平面内有，，三点，求平面的一个法向量. 16. 已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 （1）求的值； （2）求； （3）求. 17. 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C­-PB­-A的正切值． 18. 北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数. （1）若，求X的分布列与数学期望； （2）当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少? 19. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若在上恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫荆中学2025-2026学年第二学期第一学段考试题（卷） 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在小时内经过的车辆数是一个随机变量；②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置是一个随机变量；③某人小时内接到的电话次数是一个随机变量；④天内的温度是一个随机变量.其中是离散型随机变量的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的结果是可以一一列举出来的判断即可. 【详解】解：根据离散型随机变量的结果是可以一一列举出来的可知，①中小时内经过的车辆数和③某人小时内接到的电话次数都是可以列举出来的，而②一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置和④中天内的温度都无法列举出来，故是离散型随机变量的为①③. 故选：B 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导即可得解. 【详解】由可得， 故， 故， 故选：A 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，则正态曲线关于直线对称， 因为，则， 根据对称性得到， 则. 5. 袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件，取出的两个小球标号都为“1”为事件， 则，， 所以已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，另一个小球标号也是“1”的概率为 ， 故选：B 6. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导后根据已知条件可判断在上递减，从而可判断出的大小. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以在上递减， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：B 7. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 8. 若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对给定不等式同构变形，构造函数并利用单调性得恒成立，再分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】依题意，不等式， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 不等式，则，而， 于是恒成立，令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 因此，解得，又，则， 所以的取值范围为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ） A. A与B为互斥事件 B. A与B为相互独立事件 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件、积事件的知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 事件包含的基本事件是：（正，正），（正，反）. 事件包含的基本事件是：（正，正），（反，正）. 所以不是互斥事件，A选项错误. ，所以BD选项正确. ，C选项错误. 故选：BD 10. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（ ） A. B. AP⊥AD C. AP⊥AB D. 是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数既存在极大值又存在极小值 B. 函数存在3个不同的零点 C. 函数的最小值是 D. 若函数有两个不同的零点，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于函数的极值，需要通过求导判断函数的单调性，进而确定极值点，对于函数的零点，可结合函数的单调性和特殊点的值来判断，对于函数的零点问题，可转化为函数与直线的交点问题. 【详解】因为，所以， 令， 令，令， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减. 所以是极小值点，是极大值点. 即既存在极大值又存在极小值，故A正确. 由选项A可知，， 可得， 当时，且， 同理，当时，， 所以函数在和上各有一个零点，共两个零点，所以B不正确. 由选项A和B，可知 且当时，，所以的最小值是，故C正确. 函数有两个不同的零点，即有两个不同的解. 即函数与的图像有两个不同的交点， 由选项A和B，可知，结合图像可以看出， 当时，函数与的图像有两个不同的交点， 当时，函数与的图像有两个不同的交点，故选项D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一枚深水炸弹轻创、重创一艘潜艇的概率分别是、，被轻创和重创的潜艇分别以和的概率失去战斗力，计算一枚深水炸弹就能使潜艇失去战斗力的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【详解】记事件一枚深水炸弹轻创一艘潜艇，事件一枚深水炸弹重创一艘潜艇， 记事件潜艇失去战斗力， 则，，，， 由全概率公式可得. 13. 若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 14. 在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）求函数的导数. （2） 如图，已知平面内有，，三点，求平面的一个法向量. 【答案】（1）；（2） （结果不唯一） 【解析】 【分析】（1）直接利用求导公式计算得到答案. （2）设出法向量的坐标，根据法向量与向量垂直，列出方程组，求解即可. 【详解】（1）. （2）不妨设平面的法向量，又， 故可得，即，不妨取，故可得， 故平面的一个法向量为. 又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可. 16. 已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 （1）求的值； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 所以 17. 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C­-PB­-A的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，结合面面垂直的判定定理可证平面PAC⊥平面PBC； （2）过作，垂足为，过作，垂足为，连，可证是二面角C­PB­A的平面角，再通过计算可求出结果. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面PAC⊥平面PBC. 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为，连，如图： 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面，所以， 因为，，所以平面，所以， 所以是二面角C­-PB­-A的平面角， 因为，，，所以，所以，，， 因为，，所以，所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中,. 所以二面角C­-PB­-A的正切值为. 18. 北京某高校有20名志愿者报名参加2022年北京冬奥会服务工作，其中有2名老师，18名学生.若从中随机抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老师的人数. （1）若，求X的分布列与数学期望； （2）当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少? 【答案】（1）分布列见解析， （2）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）写出X的所有可能取值及取每个值时所对应的概率，列出分布列，利用期望公式求解即可；（2）写出的概率，利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 当时，X的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P . 【小问2详解】 的概率为，，且. 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的概率取最大值，最大值是. 19. 设函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若在上恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导数，对a讨论，根据的正负即可求出函数单调性； （2）利用参数分离将在上恒成立，转化为在上恒成立问题，设，求出在上的最大值，即可得到a的取值范围. 【小问1详解】 已知，则函数的定义域为，且， 当时，，在单调递增； 当，且时，，此时在上是增函数； 时，，此时在上是减函数． 综上所述，当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数． ，则， a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $