3.1.1 函数的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数概念与定义域核心知识点，先通过函数概念的非空性、任意性、单值性、方向性四个特征构建基础认知，再系统梳理定义域的具体确定方法，涵盖具体函数、同一函数判断、抽象函数及定义域求参题型，形成递进式学习支架。 资料特色在于例题设计兼顾抽象与现实，如通过等边三角形边长与周长关系判断培养数学眼光，多样题型训练逻辑推理发展数学思维，符号化表达强化数学语言。课中辅助教师高效授课，课后练习助力学生巩固知识，有效查漏补缺。

函数概念与定义域 知识点一：函数的概念 内容 函数的概念 一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x). 注意：函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 例1.(多选)下列各图中，可能是函数图象的是(       ) A．B．C．D． 例2.（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是 A． B． C． D． 例3.下列关系中是函数关系的是（ ） A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系 C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系 例4.设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 知识点二：函数三要素——定义域 内容 定义域 函数的定义域是自变量的取值范围． 题型一：具体函数定义域 （1）分母不等于0 （2）偶数方根的被开方数大于等于0；如 中，x≥0。 （3）零次幂的底数不等于0；即a0=1（a≠0） 例5.函数的定义域为(　　) A. B. C. D. 例6.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例7.函数，的定义域为________． 类型二：同一函数的判断 例8.下列函数中，与是相同的函数是（ ） A． B． C． D． 例9.（多选）下列各组函数是同一组函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 类型三：抽象函数定义域 抽象函数的定义域要点：①定义域指的是x的取值范围； ②括号内的取值范围相同。 例10.（1）已知的定义域为，求函数的定义域； （2）已知的定义域为，求的定义域； （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 例11.函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 例12.函数的定义域是，则函数的定义域是 . 例13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 类型四：根据定义域求参 例14函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 例15.函数的定义域是，则实数a的取值范围为________． 例16.知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 课后练习 1.下列图象中，表示函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）        A． B． C． D． 3．的定义域为（    ） A． B． C． D． 4.（黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 5.（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 6.已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数概念与定义域 知识点一：函数的概念 内容 函数的概念 一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x). 注意：函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 例1.(多选)下列各图中，可能是函数图象的是(       ) A．B．C．D． 【答案】ACD 【解析】B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．故选ACD． 例2.（多选）给出下列四个对应，其中构成函数的是 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，A正确； B项：自变量没有对应的数字，不能构成函数，B错误； C项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数，C错误； D项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，D正确，故选：AD. 例3.下列关系中是函数关系的是（ ） A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系 C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系 【答案】A 【解析】根据函数关系的定义可得， 选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应， 所以等边三角形的边长和周长符合函数关系； 其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A 例4.设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解. 【详解】①中：因为在集合中当时， 在中无元素与之对应，所以①不是； ②中：对于集合中的任意一个数， 在中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中：对应元素，所以③不是； ④中：当时，在中有两个元素与之对应， 所以④不是；因此只有②满足题意 知识点二：函数三要素——定义域 内容 定义域 函数的定义域是自变量的取值范围． 题型一：具体函数定义域 （1）分母不等于0 （2）偶数方根的被开方数大于等于0；如 中，x≥0。 （3）零次幂的底数不等于0；即a0=1（a≠0） 例5.函数的定义域为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得解得x<1且x≠. 例6.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由题意得，解得，则定义域为 例7.函数，的定义域为________． 【答案】 类型二：同一函数的判断 例8.下列函数中，与是相同的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数的定义域和解析式一致，可得出正确的选项. 【解答过程】对于A选项，函数定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数； 对于C选项，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数； 对于D选项，的定义域为，但其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数. 例9.（多选）下列各组函数是同一组函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BCD 【解析】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数； B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数； C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数； D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；故选：BCD. 类型三：抽象函数定义域 抽象函数的定义域要点：①定义域指的是x的取值范围； ②括号内的取值范围相同。 例10.（1）已知的定义域为，求函数的定义域； （2）已知的定义域为，求的定义域； （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同． ∴，∴，即的定义域为． （2）由题意知中的，∴. 又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为． （3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为． 又，即，∴函数的定义域为. 例11.函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为区间，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 例12.函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. 例13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，则定义域为，再利用，解出即可. 【详解】，则，的定义域为， 所以，解得，故其定义域为， 故选：C. 类型四：根据定义域求参 例14函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 【答案】B 【解析】解：f（x）的定义域是R，则﹣mx2﹣2x+1≥0恒成立， 即mx2+2x﹣1≤0恒成立，则，解得m≤﹣1， 所以实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]． 故选：B． 例15.函数的定义域是，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】解：因为函数的定义域是. 所以不等式恒成立． 所以，当时，不等式等价于，显然恒成立； 当时，则有，即，解得. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为: 例16.知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 课后练习 1.下列图象中，表示函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的概念即可求解. 【详解】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足. 故选：D. 2．如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）        A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义， 即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应， 对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数， 对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数， 综上可知， 是函数的个数为.故选：A. 3．的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为. 4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数； 对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数. 5.（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域； （2）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即，则， 所以，函数的定义域为， 对于函数，有，解得， 因此，函数的定义域为. 6.已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题可得，对恒成立， 当时，不满足题意； 当时，要使对恒成立， 则有，解得， 所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $