专题3.1.1 函数的概念（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念这一核心知识点，系统梳理函数的定义（非空数集、任意性、单值性、方向性）、三要素（定义域、值域、对应关系）及函数相等的判断标准，构建从概念理解到应用的完整学习支架。 资料以9大题型分类（如函数关系判断、定义域值域求解等），搭配例题与变式题，通过实际问题（如等腰三角形周长与边长关系）培养数学眼光，参数求解题型锻炼逻辑推理的数学思维，助力教师授课与学生课后查漏补缺。

专题3.1.1 函数的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 函数关系的判断】 2 【题型2 求具体函数的定义域】 3 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 3 【题型4 实际问题中的定义域】 4 【题型5 求函数的值域】 4 【题型6 由函数的定义域或值域求参数】 5 【题型7 求函数值】 6 【题型8 已知函数值求自变量或参数】 6 【题型9 判断两个函数是否相等】 7 考点1 函数的概念 知识点1 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 知识点2 函数的定义域与值域 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【题型2 求具体函数的定义域】 【例2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【变式2-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 【变式2-3】（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型4 实际问题中的定义域】 【例4】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·四川乐山·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一·全国·课后作业）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·贵州遵义·期中）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求函数的值域】 【例5】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【变式5-3】（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【题型6 由函数的定义域或值域求参数】 【例6】（25-26高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若的定义域为，求的取值范围． 【变式6-3】（25-26高一上·重庆南岸·阶段检测）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【题型7 求函数值】 【例7】（25-26高一上·吉林辽源·期中）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【变式7-1】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若函数，，则（    ） A． B．9 C．4 D． 【变式7-2】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式7-3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数，则（    ） A．4046 B．4048 C．8092 D．8096 【题型8 已知函数值求自变量或参数】 【例8】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【变式8-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式8-2】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【变式8-3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 考点2 函数的相等 知识点3 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型9 判断两个函数是否相等】 【例9】（25-26高一上·安徽合肥·期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式9-2】（25-26高一上·江西赣州·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式9-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.1 函数的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 函数关系的判断】 2 【题型2 求具体函数的定义域】 4 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 5 【题型4 实际问题中的定义域】 7 【题型5 求函数的值域】 8 【题型6 由函数的定义域或值域求参数】 11 【题型7 求函数值】 13 【题型8 已知函数值求自变量或参数】 14 【题型9 判断两个函数是否相等】 16 考点1 函数的概念 知识点1 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 知识点2 函数的定义域与值域 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【题型1 函数关系的判断】 【例1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【解答过程】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·贵州·期中）下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据函数的定义进行判断即可. 【解答过程】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【解题思路】ABD选项，求出值域均为集合的子集，且对每一个，有唯一确定的与其对应；C选项，求出值域不是集合的子集，故C不能表示从A到B的函数. 【解答过程】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解题思路】由函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【题型2 求具体函数的定义域】 【例2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数解析式存在的意义列不等式组求解即可. 【解答过程】由，解得或， 故的定义域是. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·山西晋城·期末）函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【解题思路】根据函数要有意义列出不等式组解出即可. 【解答过程】由题意函数要有意义则：，解得， 即函数的定义域为或或， 故选：D． 【变式2-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D．（3，4） 【答案】C 【解题思路】根据二次根式有意义的条件得出被开方数大于或等于0，再解一元二次不等式即可. 【解答过程】要使有意义，只需，即， 解得或，所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由定义域的概念可得联立不等式组，计算可得结果. 【解答过程】由题意知，解得且，所以定义域为. 故选：D. 【题型3 求抽象函数、复合函数的定义域】 【例3】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解题思路】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【解答过程】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定函数，结合抽象函数定义域列出不等式组求解. 【解答过程】函数的定义域为，当时，， 则函数的定义域为，在函数中，， 解得且，所以函数的定义域为. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抽象函数定义域结合分式和根式的意义列式求解即可. 【解答过程】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【解答过程】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D. 【题型4 实际问题中的定义域】 【例4】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用三角形三边关系即可得到函数的定义域. 【解答过程】由题知：，， 根据三角形三边关系得到， 所以函数的定义域为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高一上·四川乐山·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据实际意义分析即可. 【解答过程】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一·全国·课后作业）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设矩形的一边长为x，该边的邻边长为，根据矩形的边长大于零即可求解. 【解答过程】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为， 由得，故这个函数的定义域是. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·贵州遵义·期中）将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意易得，从而得到结果. 【解答过程】将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为， ∴，解得 ∴函数的定义域为 故选：D. 【题型5 求函数的值域】 【例5】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解． 【解答过程】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 【变式5-1】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【解答过程】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【解题思路】（1）判断函数的单调性，求出区间端点函数值，即可得解； （2）首先求出函数的定义域，即可求出的取值范围，从而得解； （3）利用分离常数法及反比例函数的性质计算可得. 【解答过程】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 【变式5-3】（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解题思路】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【解答过程】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 【题型6 由函数的定义域或值域求参数】 【例6】（25-26高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【解答过程】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【解答过程】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数． (1)若，求； (2)若的定义域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，求解得，进而计算可求. （2）分，和三种情况，分别计算求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以，解得，则， 故． （2）因为的定义域为，所以对于任意，不等式恒成立， ①当时，二次函数的图象开口向下， 故必然存在使得，不符合题意； ②当时，的定义域为，不满足题意； ③当时，要使对于任意恒成立， 只需满足，解得． 综上，的取值范围是． 【变式6-3】（25-26高一上·重庆南岸·阶段检测）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解题思路】（1）由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合判别式运算求解； （2）由题意可知：的值域包含，分和两种情况，结合二次函数运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 【题型7 求函数值】 【例7】（25-26高一上·吉林辽源·期中）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据题意，直接代入，即可求解. 【解答过程】由函数，则. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若函数，，则（    ） A． B．9 C．4 D． 【答案】D 【解题思路】代值计算即可. 【解答过程】由题可得：，则. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知函数满足，，，且，则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解题思路】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可. 【解答过程】对于，且，， 令，可得，解得， 因为，所以，解得， 令，可得，得到， 则，故D正确. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数，则（    ） A．4046 B．4048 C．8092 D．8096 【答案】C 【解题思路】根据函数解析式证明，即可得到答案.. 【解答过程】， 定义域为， 则， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【题型8 已知函数值求自变量或参数】 【例8】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【解答过程】函数，令，则，而， 所以. 故选：B. 【变式8-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【解答过程】令，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【解答过程】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 【变式8-3】（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【解题思路】中令，结合可得答案. 【解答过程】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 考点2 函数的相等 知识点3 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【题型9 判断两个函数是否相等】 【例9】（25-26高一上·安徽合肥·期中）下列四组函数中，表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出定义域，看看是否相同，若不同，则两个函数不是同一函数，若相同，则继续化简表达式，若表达式不同，则两个函数不是同一函数，若相同，则两个函数是同一函数. 【解答过程】选项A，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，故选项A错误； 选项B，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，故选项B错误； 选项C，的定义域为，的定义域为，定义域同， 与表达式不同，不是同一函数，故选项C错误； 选项D，的定义域为，的定义域为， 定义域相同，，与表达式相同， 是同一函数，故选项D正确. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高一上·湖北武汉·期中）下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】根据函数同一函数的概念，逐项检验定义域与对应关系即可判断是否为同一函数. 【解答过程】对于A，与的定义域均为，但，两个函数的对应关系不同，故A不是同一函数； 对于B，的定义域满足，得，故定义域为， 而定义域满足得或，故定义域为， 两函数定义域不相同，故B不为同一函数； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不相同，故C不为同一函数； 对于D，与的定义域均为，且，， 两函数对应关系也相同，故D为同一函数. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高一上·江西赣州·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【解答过程】对于A，的定义域为，而的定义域为， 两者相异，故A错误； 对于B，两个函数的定义域均为，且， 两个函数为同一函数，故B正确； 对于C，的定义域为，而的定义域为， 故两者相异，故C错误； 对于D，，两个函数对应法则相异，故D错误. 故选：B. 【变式9-3】（25-26高一上·湖北·阶段检测）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与对应关系逐项验证函数是否为同一函数即可得结论. 【解答过程】对于A，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合； 对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合； 对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为， 的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $