重难点专训03 抽象函数与函数新定义八大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“性质推导公式+题型通法+新定义翻译”构建系统方法体系，覆盖抽象函数与新定义全考向，实现从基础到压轴的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抽象函数基础|2题型（定义域/值域）|定义域“整体范围一致”原则、值域“四性质锁定法”|从自变量取值到函数值范围，构建函数基本要素认知链| |抽象函数性质|2题型（奇偶性/周期性）|奇偶性“双赋值流程”、周期性“知二求一”结论|以奇偶性为基础，结合对称性推导周期性，形成性质综合应用逻辑| |函数新定义|4题型（运算/性质/周期/恒成立）|新定义“三步翻译法”（圈划-转符号-拆逻辑）|从运算规则到性质判定，再到周期与恒成立综合，体现概念生成到复杂应用的拓展|

重难点专训03 抽象函数与函数新定义 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 抽象函数的定义域（基础必考） 2 题型2 抽象函数的值域（中档填空高频） 3 题型3 抽象函数的奇偶性（大题必考） 4 题型4 由抽象函数的周期性求函数值（填空压轴） 5 题型5 运算型新定义（填空18题高频） 6 题型6 性质型新定义（21题第一问必考） 7 题型7 周期型新定义（上海模考最热） 9 题型8 恒成立/存在性新定义（21题压轴问） 12 重难专题分层过关练 14 巩固过关 14 创新提升 15 解题方法及技巧提炼 一、抽象函数三大核心性质推导公式（上海必考） 1. 奇偶性（赋值法标准流程） 通用解题步骤：先令，求出的值；再令，推导与的等量关系，判定奇偶性。 奇函数判定核心：，且必有； 偶函数判定核心：。 2. 对称性与周期“知二求一”（填空压轴高频） 设常数，无需推导，可直接记忆结论解题： ① 双对称轴：，周期 ； ② 双对称中心：，周期 ； ③ 一轴一心（对称轴+对称中心）：周期 ； 速记口诀：同型对称二倍距，异型对称四倍距。 3. 高频周期递推变形（循环求值神器） 上海模考、高考高频递推公式，可直接判定周期： ① ； ② ； ③ 周期（上海专属高频周期模型）。 二、抽象函数大题规范 1. 所有赋值步骤单独成句，明确标注“令”“令”，逻辑清晰； 2. 单调性证明必须书写“任取”，完整作差、判号、下结论，缺一不可； 3. 解抽象不等式，先标注定义域，再脱，最后取交集，规避定义域失分。 三、新定义“三步翻译法”（破题关键） 新定义题型核心难点不是计算，而是读懂陌生规则，固定三步破题： 1. 圈划关键词：标记任意/存在、恒成立、区间范围、等式/不等式核心条件； 2. 文字转符号：将题干陌生函数定义，转化为标准数学等式、不等式； 3. 分层拆解逻辑：第一层满足新定义必要条件，第二层对应题目求值、证明、参数范围求解问题。 四、新定义大题规范 1. 解题首步转化题干新定义，写出对应数学表达式，贴合出题意图； 2. 区分全称/特称命题，精准判断恒成立、存在性最值取值方向； 3. 参数范围问题最终验证临界值，书写标准区间形式，答案规范。 题型通法及变式提升 题型1 抽象函数的定义域（基础必考） 核心解题本质：抽象函数定义域始终指「自变量的取值范围」，核心原则：同一对应法则下，括号内整体取值范围完全一致，与字母无关。 两大必考模型+满分模板 模型1：已知定义域，求定义域 解题步骤：①明确中的范围；②令)落在该范围内，解不等式，所得范围即为所求。 模型2：已知定义域，求定义域 解题步骤：①由已知范围，求内层的值域；②该值域即为的定义域。 上海考场避坑点：禁止混淆“整体范围”与“自变量范围”，多个复合函数嵌套时，逐层锁定括号内整体区间，不重复、不遗漏边界。 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 3．函数的定义域是，则函数的定义域是______． 4．已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（    ） A． B． C． D．R 题型2 抽象函数的值域（中档填空高频） 核心解题逻辑：无解析式不强行求值，依托单调性、奇偶性、区间范围、有界性四大性质，整体锁定函数最值与区间。 三类高分解题技巧 技巧1：单调性法（最通用）：确定抽象函数在定义域区间的增减性，直接代入区间端点，求得值域上下限。 技巧2：奇偶对称法：奇函数关于原点对称、偶函数关于y轴对称，可由单侧区间值域快速推导对称区间值域，简化计算。 技巧3：赋值约束法：依托题干抽象关系式，赋值求出特殊最值、定值，锁定函数取值范围（适配无单调、无对称条件的冷门题型）。 规范结论模板：抽象函数值域最终必须写成闭区间/开区间标准形式，严格匹配定义域边界。 6．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数的值域为，则函数的值域为__________. 8．若函数的值域是，则函数的值域为 __． 9．用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；则正确命题的序号是___________. 10．是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________． 11．已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是___________. 12．函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________. 题型3 抽象函数的奇偶性（大题必考） 上海阅卷标准解题流程（满分固定步骤） 步骤1：判定义域：优先验证定义域是否关于原点对称，不对称直接非奇非偶（第一步秒杀排除）； 步骤2：双赋值求值：令求，再令构造与关系； 步骤3：下精准结论： 若且，为奇函数； 若，为偶函数； 等式不成立则为非奇非偶函数。 高频推论（直接秒杀） 1. ：必为奇函数； 2. ：无奇偶性固定结论，必须赋值推导； 3. 定义域含0的奇函数，必有（可用于参数求值、排除选项）。 13．已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 14．已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 15．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．设函数在上存在导数，对任意实数有，且当时，若，则实数的取值范围是__________. 17．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________. 题型4 由抽象函数的周期性求函数值（填空压轴） 核心解题思路：大自变量化小自变量，利用周期将超大自变量、负自变量，转化为已知区间、可求值的小自变量，是上海填空17/18题核心速解方法。 三步秒杀解题模板 步骤1：判周期：由题干递推式，套用周期公式求出最小正周期； 步骤2：化自变量：对任意，有，通过加减周期，将自变量压缩至基础区间； 步骤3：精准求值：结合奇偶性、已知特殊值、区间解析式，求出最终函数值。 上海高频周期速用结论 1. ； 2. ； 3. 递推周期（上海模考高频必考）； 4. 对称综合周期：同型对称，异型对称。 压轴提速技巧：多周期嵌套、对称+周期综合题型，优先画图辅助，锁定一个最小周期内的函数规律，批量求解多个函数值、求和问题。 18．已知奇函数对任意都有，则______. 19．若是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则=________． 20．已知为上的奇函数，且，当时，，则_____. 21．已知为奇函数，当，，且关于直线对称.设方程的正数解为，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______. 22．已知函数对任意都有且的图像关于点对称，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 题型5 运算型新定义（填空18题高频） 题干自定义新型函数运算、映射规则，无复杂逻辑，侧重代数化简。 解题技巧：严格贴合定义代入化简，按自变量区间分类讨论，重点关注定义域边界、分段临界点，杜绝漏解。 23．（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 24．（2026·上海宝山·三模）严格递增函数的定义域为正整数集，函数值也是正整数，且满足，则的值为________. 25．（2025·上海闵行·一模）已知集合，；如果存在，对于属于且不属于任意（）的所有元素，都有成立，则的取值范围是________ 26．（25-26高三上·上海·期中）定义在区间 上的函数 满足：①对任意， ；② ，若任意 ，则整数 的值为 ______． 27．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，且对任意实数x恒成立．若有且仅有一个实数，使得，则=________． 28．（2025·上海崇明·三模）设函数的定义域为，若对曲线上任意一点，均存在曲线上的点，使得且，则称函数是“旋转函数”.若存在旋转函数，使，则正实数的最大值是__________. 29．（2025·上海宝山·三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是__________. 题型6 性质型新定义（21题第一问必考） 常见定义：上凸/下凸函数、保号函数、等域函数、对偶函数、单调保距函数等。 满分答题模板：①任取区间内自变量；②代入新定义式变形化简；③结合函数单调性、最值、不等式性质推导结论或参数范围。 30．（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． (1)若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； (2)若函数具有性质，且在上严格增，证明：； (3)若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 31．（25-26高三下·上海·阶段检测）若函数，满足：对于任意、，均有（为正整数）成立，则称函数具有“级”性质． (1)分别判断，是否具有“1级”性质，并说明理由； (2)已知定义域为的函数具有“2级”性质，求证：对于任意的，都有； (3)已知定义域为的函数具有“3级”性质，求证：函数为常值函数． 32．（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” (1)分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） (2)设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； (3)若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 33．（25-26高三下·上海·阶段检测）若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 34．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 题型7 周期型新定义（上海模考最热） 35．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并证明； (2)已知余弦周期函数在区间上仅存在2026个不同的实数， 使得，求实数的取值范围； (3)已知是以为“余弦周期”的“余弦周期函数”，且恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数． 36．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，若存在实数和定义域为的周期函数 ，使得恒成立，则称具有性质. (1)判断，是否具有性质，不需说明理由； (2)已知对任意实数，函数，满足， .若具有性质， （i）当时，求 （ii）求证：不是周期函数; （iii）求证：具有性质. 37．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； (2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； (3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 38．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）. (1)若满足，求实数的值； (2)设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由： (3)若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 39．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数满足对任意，当时，都有＜，则称函数为“绝对值严格增函数”． (1)若为“绝对值严格增函数”，试判断是否可能具有周期性； (2)求证：为“绝对值严格增函数”是 始终在图像上方的充要条件； (3)若“绝对值严格增函数”的值域为且在上为严格增函数，试讨论的奇偶性． 题型8 恒成立/存在性新定义（21题压轴问） 核心区分两类逻辑（阅卷核心采分点，极易混淆失分）： 1. 全称命题（ 恒成立）：参数≥函数最大值，或参数≤函数最小值； 2. 特称命题（ 存在解）：参数≥函数最小值，或参数≤函数最大值； 通用解题思路：分离参数→构造常规函数→求函数值域→锁定参数范围。 40．（25-26高三·上海·二轮复习）若存在实数常数，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条. 41．（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 42．（25-26高三上·上海·期中）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质. (1)当，判断、是否具有性质，不需要说明理由； (2)当，，，若具有性质，求实数的取值范围； (3)当，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值. 43．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，，且，．求的值及函数的解析式； (3)若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（    ） A． B． C． D． 2．对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 27．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论: （1） ； （2）函数 是偶函数； （3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形； （4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_____. 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________. 4．（2025·上海浦东新·三模）对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有__________个. 5．设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 6．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质． (1)若函数具有性质，求：的值； (2)设，求证：存在常数，使得具有性质； (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为． 创新提升 1．（2026·上海虹口·三模）若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（     ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 2．（2026·上海黄浦·三模）设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（     ）． A．“”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件 B．设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件 C．设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件 D．设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）如果函数的定义域为R，且满足对任意的，均有，则称这样的函数具有“性质P”.有如下两个命题： 命题α：若函数具有“性质P”，且，则； 命题β：“函数对任意的，，均有”是“具有性质P”的充要条件． 关于两个命题的真假判断正确的是（     ） A．真真 B．真假 C．假真 D．假假 4．（2026·上海·三模）设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 5．（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）若函数的定义域内存在区间，且  ，则称函数具有“性质F ”．正确的是____________．① 具有“性质F ”的一次函数存在且有无数个；② 具有“性质F ”的二次函数存在且有无数个；③存在，使函数具有“性质F”；④对任意，函数都具有“性质F ”． 6．（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 7．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． (1)若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； (2)是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 9．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 10．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 抽象函数与函数新定义 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 抽象函数的定义域（基础必考） 2 题型2 抽象函数的值域（中档填空高频） 4 题型3 抽象函数的奇偶性（大题必考） 8 题型4 由抽象函数的周期性求函数值（填空压轴） 12 题型5 运算型新定义（填空18题高频） 15 题型6 性质型新定义（21题第一问必考） 23 题型7 周期型新定义（上海模考最热） 30 题型8 恒成立/存在性新定义（21题压轴问） 37 重难专题分层过关练 42 巩固过关 42 创新提升 46 解题方法及技巧提炼 一、抽象函数三大核心性质推导公式（上海必考） 1. 奇偶性（赋值法标准流程） 通用解题步骤：先令，求出的值；再令，推导与的等量关系，判定奇偶性。 奇函数判定核心：，且必有； 偶函数判定核心：。 2. 对称性与周期“知二求一”（填空压轴高频） 设常数，无需推导，可直接记忆结论解题： ① 双对称轴：，周期 ； ② 双对称中心：，周期 ； ③ 一轴一心（对称轴+对称中心）：周期 ； 速记口诀：同型对称二倍距，异型对称四倍距。 3. 高频周期递推变形（循环求值神器） 上海模考、高考高频递推公式，可直接判定周期： ① ； ② ； ③ 周期（上海专属高频周期模型）。 二、抽象函数大题规范 1. 所有赋值步骤单独成句，明确标注“令”“令”，逻辑清晰； 2. 单调性证明必须书写“任取”，完整作差、判号、下结论，缺一不可； 3. 解抽象不等式，先标注定义域，再脱，最后取交集，规避定义域失分。 三、新定义“三步翻译法”（破题关键） 新定义题型核心难点不是计算，而是读懂陌生规则，固定三步破题： 1. 圈划关键词：标记任意/存在、恒成立、区间范围、等式/不等式核心条件； 2. 文字转符号：将题干陌生函数定义，转化为标准数学等式、不等式； 3. 分层拆解逻辑：第一层满足新定义必要条件，第二层对应题目求值、证明、参数范围求解问题。 四、新定义大题规范 1. 解题首步转化题干新定义，写出对应数学表达式，贴合出题意图； 2. 区分全称/特称命题，精准判断恒成立、存在性最值取值方向； 3. 参数范围问题最终验证临界值，书写标准区间形式，答案规范。 题型通法及变式提升 题型1 抽象函数的定义域（基础必考） 核心解题本质：抽象函数定义域始终指「自变量的取值范围」，核心原则：同一对应法则下，括号内整体取值范围完全一致，与字母无关。 两大必考模型+满分模板 模型1：已知定义域，求定义域 解题步骤：①明确中的范围；②令)落在该范围内，解不等式，所得范围即为所求。 模型2：已知定义域，求定义域 解题步骤：①由已知范围，求内层的值域；②该值域即为的定义域。 上海考场避坑点：禁止混淆“整体范围”与“自变量范围”，多个复合函数嵌套时，逐层锁定括号内整体区间，不重复、不遗漏边界。 1．若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由，解得，故的定义域为． 故答案为：. 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________． 【答案】 【详解】由，得，所以函数的定义域为． 故答案为： 3．函数的定义域是，则函数的定义域是______． 【答案】. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 解得或，则函数的定义域是. 故答案为：. 4．已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在定义域上是增函数，且， 则有，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5．若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【来源】上海市虹口区上海外国语大学附属外国语学校2024届高三上学期期中数学试题 【详解】对于函数图象上任一点逆时针旋转可得， 即也在函数图象上， 所以均在函数图象上，都在定义域内， 从而结合函数定义有，当时，有 若定义域为，则不存在满足题意的对应值，故B错误； 故选：B. 题型2 抽象函数的值域（中档填空高频） 核心解题逻辑：无解析式不强行求值，依托单调性、奇偶性、区间范围、有界性四大性质，整体锁定函数最值与区间。 三类高分解题技巧 技巧1：单调性法（最通用）：确定抽象函数在定义域区间的增减性，直接代入区间端点，求得值域上下限。 技巧2：奇偶对称法：奇函数关于原点对称、偶函数关于y轴对称，可由单侧区间值域快速推导对称区间值域，简化计算。 技巧3：赋值约束法：依托题干抽象关系式，赋值求出特殊最值、定值，锁定函数取值范围（适配无单调、无对称条件的冷门题型）。 规范结论模板：抽象函数值域最终必须写成闭区间/开区间标准形式，严格匹配定义域边界。 6．已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 7．已知函数的值域为，则函数的值域为__________. 【答案】 【来源】上海市莘庄中学2024届高三上学期10月月考数学试卷 【详解】函数的图象是通过一下操作得到的： 首先将函数上所有点的横坐标缩小到原来的得到， 然后将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 以上操作过程中不改变函数图象的“高度”， 也就是说函数的值域和函数的值域一样，都是. 故答案为：. 8．若函数的值域是，则函数的值域为 __． 【答案】 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域为， 则的值域为， 所以函数的值域为． 故答案为：． 9．用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；则正确命题的序号是___________. 【答案】①②/②① 【来源】上海市吴淞中学2022届高三上学期期中数学试题 【详解】因符号表示小于的最大整数，则时，， 于是得，即函数在R上的值域为，①正确； 方程，当时，则有，而是整数， 于是得的值可为1，2，3，即x值有3个，则方程有三个根，②正确； 数列是等差数列，如数列1.7，1.8，1.9，2，2.1，2.2成等差数列， 而由计算所得结果对应的数列1，1，1，1，2，2不成等差数列，③不正确， 所以正确命题的序号是①②. 故答案为：①② 10．是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________． 【答案】 【来源】上海市晋元高级中学2022届高三上学期期中数学试题 【详解】解：由是上的奇函数，是上的偶函数 得到， 因为函数的值域为 即 所以 又， 得 所以的值域为：. 故答案为：. 11．已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是___________. 【答案】 【来源】上海市曹杨第二中学2023届高三上学期10月月考数学试题 【详解】因为是上周期为1的函数， ， 故对任意的整数， 当时，， 而， 即， 故当， 当， 当， 当， 当， 当， 当， 当. 则在的值域是 故答案为：. 12．函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________. 【答案】 【来源】上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题 【详解】法一：令，解得（负值舍去）， 当时，， 当时，， 且当时，总存在，使得， 故， 若，易得， 所以， 即实数的取值范围为； 法二：原命题等价于任意， 所以恒成立， 即恒成立，又， 所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型3 抽象函数的奇偶性（大题必考） 上海阅卷标准解题流程（满分固定步骤） 步骤1：判定义域：优先验证定义域是否关于原点对称，不对称直接非奇非偶（第一步秒杀排除）； 步骤2：双赋值求值：令求，再令构造与关系； 步骤3：下精准结论： 若且，为奇函数； 若，为偶函数； 等式不成立则为非奇非偶函数。 高频推论（直接秒杀） 1. ：必为奇函数； 2. ：无奇偶性固定结论，必须赋值推导； 3. 定义域含0的奇函数，必有（可用于参数求值、排除选项）。 13．已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【来源】上海市嘉定区2024届高三上学期质量调研数学试题 【详解】对于A，因为，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确； 对于D，令，可得，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 14．已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 15．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减， 又的解集为， 可得的解集为， 所以当，或时，的图象在图象的下方， 当时，的图象在图象的上方， 又因为当，或时，的图象在图象的上方， 当时，的图象在图象的下方， 所以当，或时，的图象在图象的下方， 当时，的图象在图象的上方， 则不等式的解集为. 故选：B. 16．设函数在上存在导数，对任意实数有，且当时，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【来源】上海市奉贤区奉贤中学2024届高三上学期12月月考数学试题 【详解】当时， 当时， 令， ， ， 为偶函数， 当时， 函数在上单调递减， ，等价于，， 即， 则当时，即时， 由函数在上单调递减，得，解得， 当时，即时， 由为偶函数，得， 由函数在上单调递减，得，解得， 综上，的取值范围为， 故答案为：. 17．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________. 【答案】 【详解】因对任意的，且，都有， 则在上单调递减， 又为奇函数及，所以， 则为偶函数，且，故在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，则， 当时，，得，解得或, 故； 当时，，即， 得或，解得或， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 题型4 由抽象函数的周期性求函数值（填空压轴） 核心解题思路：大自变量化小自变量，利用周期将超大自变量、负自变量，转化为已知区间、可求值的小自变量，是上海填空17/18题核心速解方法。 三步秒杀解题模板 步骤1：判周期：由题干递推式，套用周期公式求出最小正周期； 步骤2：化自变量：对任意，有，通过加减周期，将自变量压缩至基础区间； 步骤3：精准求值：结合奇偶性、已知特殊值、区间解析式，求出最终函数值。 上海高频周期速用结论 1. ； 2. ； 3. 递推周期（上海模考高频必考）； 4. 对称综合周期：同型对称，异型对称。 压轴提速技巧：多周期嵌套、对称+周期综合题型，优先画图辅助，锁定一个最小周期内的函数规律，批量求解多个函数值、求和问题。 18．已知奇函数对任意都有，则______. 【答案】0 【来源】上海市光明中学2023届高三上学期期中数学试题 【详解】奇函数对任意都有 ①，则 ②， ①-②得，故函数的周期为12，则. 由，又由为奇函数得，故， 由，，故. 故答案为：0 19．若是定义在R上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则=________． 【答案】0 【来源】上海市育才中学2024届高三上学期期中数学试题 【详解】根据题意，是定义在R上的函数， 由为偶函数，有，即， 由为奇函数，即为奇函数，有， 即，且， 综合得， 变形可得， ， 故是周期为4的周期函数， 则. 故答案为：0. 20．已知为上的奇函数，且，当时，，则_____. 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，所以， 所以，即， 所以函数是周期的函数， 因为，所以， 所以. 故答案为： 21．已知为奇函数，当，，且关于直线对称.设方程的正数解为，且任意的，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为______. 【答案】 【来源】上海市市北中学2023届高三上学期10月月考数学试题 【详解】因为为奇函数，所以，且， 又关于直线对称，所以， 所以， 则， 所以函数是以4为周期的周期函数， 作出函数和的图像如图所示： 由的正数解依次为、、、、、， 则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2， 所以. 所以得任意的，， 已知任意的，总存在实数，使得成立， 可得，即的最小值为. 故答案为：2. 22．已知函数对任意都有且的图像关于点对称，则（    ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】B 【来源】上海市进才中学2023届高三上学期10月月考数学试题 【详解】因为， 所以， 两式相减后得：， 故函数的周期，， 所以， 中，令得： 的图像关于点对称， 所以的图象关于点对称， 又的定义域为R， 所以， 中，令得：， 所以， 因为为奇函数， 所以，所以，解得：， 所以， 则. 故选：B 题型5 运算型新定义（填空18题高频） 题干自定义新型函数运算、映射规则，无复杂逻辑，侧重代数化简。 解题技巧：严格贴合定义代入化简，按自变量区间分类讨论，重点关注定义域边界、分段临界点，杜绝漏解。 23．（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 【答案】178 【详解】记满足题设条件的，定义域为的函数的个数为. 显然，当时，（按，排序）：； 当时，， 于是当时，则； 当时，则；当时，则； 从而设中满足的个数为，满足的个数为． 此时有，，且． 整理上式得，，， 所以，，，，，，． 24．（2026·上海宝山·三模）严格递增函数的定义域为正整数集，函数值也是正整数，且满足，则的值为________. 【答案】3029 【详解】时，， 若，则，不符合题意， 若，则与矛盾，不符合题意， 所以，则，符合题意， ，则 ， ， ， 又，严格递增，且为正整数， 所以 时， ， 又严格增，故 ． 25．（2025·上海闵行·一模）已知集合，；如果存在，对于属于且不属于任意（）的所有元素，都有成立，则的取值范围是________ 【答案】 【详解】因为所以， ，设则， 令 ， 所以在单调递增， 在单调递减； ， 故 故答案为： 26．（25-26高三上·上海·期中）定义在区间 上的函数 满足：①对任意， ；② ，若任意 ，则整数 的值为 ______． 【答案】-3或-2 【详解】根据函数的定义域，当时，恒成立， 所以在上恒成立. 设函数，当时，（当且仅当时取等号）， 所以. 又. 且在上单调递增，所以， 所以在上恒成立. 设，则函数在上单调递减，所以. 所以. 综上：，又为整数，所以或. 故答案为：-3或-2. 27．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，且对任意实数x恒成立．若有且仅有一个实数，使得，则=________． 【答案】 【详解】因为，有且仅有一个实数使， 所以对于任意的，有， 令，则，即，解得或， 若，则，即， 但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故， 若，则，即， 此时有且仅有一个实数根， 综上所述，函数的解析式为. 所以 . 故答案为：. 28．（2025·上海崇明·三模）设函数的定义域为，若对曲线上任意一点，均存在曲线上的点，使得且，则称函数是“旋转函数”.若存在旋转函数，使，则正实数的最大值是__________. 【答案】 【详解】由是旋转函数，设曲线上任意一点，对应复数， （1）当时， 则由定义可知，点绕原点仅顺时针旋转即可得到轴右侧的点， 则对应复数：， 即点， 由可得，则， 则有，满足题意，；    （2）当时， 则由定义可知，点绕原点仅逆时针旋转才能得到轴右侧的点， 则对应复数：， 即点， 由可得， 则有，也满足题意，；    （3）当时， 点绕原点顺或逆时针旋转都能得到轴右侧的点， 点或， 由且可知， 若；若； 此时若，满足题意； 此时若，即，； 此时若，即，； 即若，，. 不论选择顺时针还是逆时针旋转，或者顺、逆混合旋转得到， 由旋转函数定义，对任意，旋转后均存在曲线上的点， 故此时取值都应取遍内所有实数，    因为， 由，则. ①当时，， 由题意， 由时，满足； ②当时，， 要使， 则必须有恒成立，由，， 则要使恒成立，故， 则. 下面构造当时的函数， 当时，， 当时，由，解得， 由的构造可知，当时，， 故在单调递增，且， 故； 且当，， 又定义函数上任一点顺时针旋转得到点， 则当时，对应的轨迹可看作单调递增函数的图象且， 当时，对应的，，即且. 且当时，即时，， 不妨定义， 故. 由此可知构造函数满足. 综上所述，的最大值为.      故答案为：11. 29．（2025·上海宝山·三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】设， ，对求导得， 则 这是一个“吸引不动点”. 由蛛网图可知 ，，，使得， 故，有 因此.① 另一方面，当时，， 又， 所以.② 结合①②可知， 故. 当时，取满足题意. 当时，任取的实数，满足题意. 故的取值范围为 故答案为：. 题型6 性质型新定义（21题第一问必考） 常见定义：上凸/下凸函数、保号函数、等域函数、对偶函数、单调保距函数等。 满分答题模板：①任取区间内自变量；②代入新定义式变形化简；③结合函数单调性、最值、不等式性质推导结论或参数范围。 30．（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有成立，则称函数具有“性质”． (1)若一次函数具有性质，其中，求实数，的值； (2)若函数具有性质，且在上严格增，证明：； (3)若具有性质的函数满足：存在常数，使得对任意，都有．证明：具有该性质的函数是唯一的，并写出其解析式． 【详解】（1）因一次函数具有性质， 则， 则可得：，解得或， 因为，所以，. (2)假设存在实数，使得，分两种情况讨论: 若，结合函数严格增，可得， 再由，代入得，整理可得，与矛盾； 若，因为严格增，可得， 结合，代入得，整理可得，与矛盾， 综上可知，假设不成立，即对任意的，都有，得证. (3)已知对所有成立，令，即，, 则， 代入,可得， 化简得：， 对任意，构造数列满足. 由可知，， 则数列为等比数列，则， 所以，若， 则当时，，与矛盾，因此必须有， 即对任意的，，故，其函数唯一. 31．（25-26高三下·上海·阶段检测）若函数，满足：对于任意、，均有（为正整数）成立，则称函数具有“级”性质． (1)分别判断，是否具有“1级”性质，并说明理由； (2)已知定义域为的函数具有“2级”性质，求证：对于任意的，都有； (3)已知定义域为的函数具有“3级”性质，求证：函数为常值函数． 【详解】（1）当时，取，则， 故不具有“1级”性质. 当时， ， 故具有“1级”性质. （2）对任意的，取， 因为具有“2级”性质，故， 同理， 故 . （3）若不是常值函数，则存在，， 不妨设，对任意的正整数，将区间等分，得如下分点： ， 因为具有“3级”性质， 故， 而 ， 当时，不成立， 这与正整数的任意性矛盾，故是常值函数. 32．（2026·上海·二模）若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质” (1)分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由） (2)设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围； (3)若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集． 【详解】（1）因为是严格增函数，则根据“性质”的定义可知，函数在上具有“性质”； 因为，则函数在上不具有“性质”. （2）当时，此时在和上单调递增，函数在上具有“性质”. 当时，此时在和上单调递减，函数在上具有“性质”. 当时，函数在区间不单调， 在不具有“性质”. 当时，此时在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上具有“性质”， 则需满足或，即或， 整理得或，解得或或， 又，得或. 当时，函数在区间不单调，在上不具有“性质”. 综上，实数的取值范围是. (3)证明：因为函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，在上单调. 若单调递减，假设中至少有2个元素，则，单调递减， ，矛盾，因此最多一个元素. 若单调递增，假设中至少有2个元素，则. 对，若 ，由于单调递增，，矛盾 若，由于单调递增，，矛盾. 因此对，必有，即，是无限集. 令是连续函数，若单调递增： 若对所有都成立，则，与矛盾. 若对所有都成立，则，与矛盾. 故存在，使，由零点存在定理，，使，即，非空. 若单调递减： 当，，， 由零点存在定理，使，非空. 综上，要么是单元素集，要么是无限集，命题得证. 33．（25-26高三下·上海·阶段检测）若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【详解】（1）不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以， 综上，对任意，，有， 所以具有性质. （2）因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. （3）由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 34．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 题型7 周期型新定义（上海模考最热） 35．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并证明； (2)已知余弦周期函数在区间上仅存在2026个不同的实数， 使得，求实数的取值范围； (3)已知是以为“余弦周期”的“余弦周期函数”，且恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数． 【详解】（1）是，证明如下：， 所以函数是否为“余弦周期函数”； （2）， 所以当且仅当时，， 所以在区间上有2026个不同的解， 因为， 所以函数的一个周期为，在1个周期内，有2个不同的解， 所以区间上有2026个不同的解问题可等价转化为在区间上方程有2个不同的解， 所以； （3）证明：若，由得为周期函数． 若，那么对任意，存在正整数，使得且． 由得，由函数是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，得， 因此． 由于在上严格递减，因此，即， 因此恒成立，故函数是周期函数． 若，那么同理可证（取为负整数即可）． 综上，是周期函数，得证． 36．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，若存在实数和定义域为的周期函数 ，使得恒成立，则称具有性质. (1)判断，是否具有性质，不需说明理由； (2)已知对任意实数，函数，满足， .若具有性质， （i）当时，求 （ii）求证：不是周期函数; （iii）求证：具有性质. 【详解】（1）因为 ，其中为周期函数，所以具有性质， 若具有性质，则存在实数和周期函数，使得， 所以为周期函数， 又由二次函数性质知当且仅当时，取最小值， 这与是周期函数矛盾，所以不具有性质； (2)（i）； (ii) 若是周期函数，设是 的一个周期， 则 ，这与 矛盾， 所以不是周期函数； （iii）因为具有性质，所以存在实数和周期函数，使得， 由(ii)知，否则是周期函数，矛盾， 令 ， 以下证是以为周期的周期函数，是 的周期， ， 假设存在 ，使得 ， 则 ，矛盾， 所以 所以 ， 所以 具有性质 ，即证. 37．（2026·上海黄浦·三模）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； (2)已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个解，求的最小值； (3)已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 【详解】（1）假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”． 由定义可得， 取，则，矛盾． 故不存在这样的函数． （2）因为是周期为的偶函数，且当时， 所以当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 又因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，或，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为， 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解， 即需要6个这样的区间．第26个解为， 故的最小值为． （3）由题意，存在函数及，使得且 若，则由可得； 若，则由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得，因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 又因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 38．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）. (1)若满足，求实数的值； (2)设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由： (3)若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 【详解】（1）对求导， ， ，， 则，解得或. （2）已知，则， 故， 若是常数列，则， 则，即， 令，则，即在上单调递增， 又， 且是连续函数，由零点存在性定理可得， 存在唯一的，使得，即， 故当时，是常数列， 综上，存在实数使得是常数列. （3）证明必要性： 若恒成立， 则，故（为常数）， 则，则（为常数）， 是定义域上的增函数， 是增函数，， 又函数是周期函数，设其周期为，即， 而，故， 即是周期函数，周期也为. 证明充分性： 设，设的一个正周期为，的一个正周期为. 由题意，存在对任意实数，都有， 则有最大值，记. 记集合，由为的一个正周期， 则对任意的，均有. 下面用反证法证明是常值函数. 假设不是常值函数，则存在实数， 不妨假设，又由已知是增函数，可得， 又因为是上的增函数，所以，则； 可在集合中取一个元素，满足，且， 再取足够大的正整数，使得， 则，则， 由的的一个正周期，则， 即，即①， 由是上的增函数，则， 若，又由， 可得，这与①式矛盾， 故，又由是上可导（必连续）的增函数， 所以对任意，. 由，则任意，； 则，这与矛盾， 故假设不成立，是常值函数，且. 故， 恒成立，必要性证毕. 综上，“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 39．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R的连续函数满足对任意，当时，都有＜，则称函数为“绝对值严格增函数”． (1)若为“绝对值严格增函数”，试判断是否可能具有周期性； (2)求证：为“绝对值严格增函数”是 始终在图像上方的充要条件； (3)若“绝对值严格增函数”的值域为且在上为严格增函数，试讨论的奇偶性． 【详解】（1）不可能. 假设具有周期性，设是它的一个周期，则对任意正整数，都有. 由于，而为“绝对值严格增函数”，所以.又，矛盾. 因此不可能具有周期性. (2)先证为“绝对值严格增函数”等价于. 若，当时，有，即，所以为“绝对值严格增函数”. 反之，若为“绝对值严格增函数”，有，取，则，所以. 再证始终在图像上方等价于. 当时，等价于. 令，则，且，于是上式等价于， 进一步化简得. 若，由， 可得. 所以恒成立. 反之，若始终在图像上方，则对任意恒成立. 取，得，化简得，所以. 综上，为“绝对值严格增函数”是始终在图像上方的充要条件. （3）设，其中.由于为“绝对值严格增函数”， 当时，有. 于是. 固定，令，其中，再令， 由连续性可得， 故，即对任意，都有. 下面分类讨论. 当时，的值域为，故对任意，都有. 于是由可得，所以为偶函数. 当时，由值域为知既取负值又取正值. 又连续，所以存在，使得，存在，. 若，则由可得，矛盾. 故，且是的唯一零点. 因为在上为严格增函数，且，所以当时，. 若存在，则在与之间存在，， 与是的唯一零点矛盾,则时，. 则，即是奇函数，值域关于原点对称，故. 综上，当时，为偶函数；当时，为奇函数. 题型8 恒成立/存在性新定义（21题压轴问） 核心区分两类逻辑（阅卷核心采分点，极易混淆失分）： 1. 全称命题（ 恒成立）：参数≥函数最大值，或参数≤函数最小值； 2. 特称命题（ 存在解）：参数≥函数最小值，或参数≤函数最大值； 通用解题思路：分离参数→构造常规函数→求函数值域→锁定参数范围。 40．（25-26高三·上海·二轮复习）若存在实数常数，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． (1)请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） (2)求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条. 【详解】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是（答案不唯一，满足的均可）. （2）由题意，则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，则当时，取得最大值，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条. 41．（25-26高三上·上海黄浦·期中）对于两个定义域均为D的函数和，若存在，使得且，则称和“局部相等”. (1)判断函数与是否“局部相等”，并说明理由； (2)若函数与“局部相等”，求实数m的值； (3)对于给定的实数m，若存在实数n，使得函数与“局部相等”，求实数m的取值范围. 【详解】（1）， 根据题意可令，解得， 所以函数与是“局部相等”； （2）， 若函数与“局部相等”， 则，解得，； （3） 根据题意可得关于m的不等式：有解， 消去n可得关于的不等式有解， 设，所以， 所以的符号为： 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且时，；时，， 所以 所以 42．（25-26高三上·上海·期中）已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质. (1)当，判断、是否具有性质，不需要说明理由； (2)当，，，若具有性质，求实数的取值范围； (3)当，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值. 【详解】（1）为减函数，具有性质 为增函数，，不具有性质 （2）依题意，对任意，恒成立， 在上是增函数， 因为的增区间为，，所以， 所以，故实数的取值范围为. （3）若，满足恒成立， 但不是常值函数，所以 为整数集，具有性质的函数均为常值函数， 当，恒成立，的周期为2， 设，， 由题意，，则， 当时，，， 当时，，， 所以为正奇数时符合题意； 当为正偶数时，不合题意，例如函数，不符合题意； 综上，m为正奇数. 43．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，，且，．求的值及函数的解析式； (3)若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【详解】（1）对任意，所以， 又因为，且， 所以，故函数属于集合． 由，，由二次函数的性质可知，． 故. （2）由可知，存在满足． 又，故必有． 因此必有，且，所以， 又，，所以或 当时，由题意，对任意，，，即. 又因为，即，故． 故. 当时，由题意，对任意，，，即， 又因为，，即，故 ． 综上，当时，；当时；. （3）先证必要性：若是定义在上的增函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 若是定义在上的减函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 综上，必要性得证. 再证充分性：（反证法）假设函数在上不单调， 则必存在，使得或． 不妨设，且是函数在区间上的最大值． 设函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为 由题，，， 故，又， 故 即， 即，即， ，矛盾． 因此假设不成立.是上的单调函数． 因此，是单调函数的充要条件是：对任意正实数， 恒成立 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的图象关于直线对称，则. 即，令，则， 则也关于对称. 是奇函数，则，， 令，则，则也关于对称.且令，得. 由前面知道，且令，则. 且，令，则， 故周期为4.则.，，都不确定是否为0． 故选：B. 2．对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【来源】2026年上海市春季招生统一文化考试（春季高考） 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 27．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论: （1） ； （2）函数 是偶函数； （3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形； （4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_____. 【答案】（1）（3）（4） 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数新定义、分段函数的性质及应用 【分析】根据狄利克雷函数和 函数的定义，结合奇偶性，可判定（1）（2）；直接取点说明（3）（4）正确； 【详解】由狄利克雷函数的定义，可得，所以（1）正确； 由，可得，不满足， 所以函数不是偶函数，所以（2）错误； 若取函数图象上四个点，，，， 因为，且，即，互相平分， 所以函数图象上四个点，使得四边形为矩形，故（3）正确； 函数图象上三个点，，， 即，，，因为， 所以为等边三角形，故（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4） 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为________. 【答案】 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，存在，使得，即， 可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，实数的最小值为. 故答案为：. 4．（2025·上海浦东新·三模）对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有__________个. 【答案】18 【详解】由题意，函数的定义域为和函数的值域均为：，可知自变量和函数值是一一对应的关系； 的定义域为，根据题目给出的“3”函数的新定义：有，即： ，，. 可得：，只能是，，，这样在值域当中只剩下是的倍，故，. 因为函数是“2”函数，根据题意恰有2个根，结合，，，，；剩余的不能确定的个函数值中，只需要，不同的分配方法有种. 故答案为： 5．设函数对任意都有，． (1)当x均为正整数时，猜想的函数解析式，并用数学归纳法对其进行证明； (2)已知（1）中的结论对任意都成立（无需证明，可直接使用该结论）． ①求证：不具有周期性； ②若定义域为R的函数的奇偶性与相同，是定义域为R的奇函数，，求：的值． 【详解】(1)，猜想：当x为正整数时，.（下面利用数学归纳法证明） 首先，当时，猜测成立； 其次，假设（）时，即猜测成立，. 则当时，. 即时，猜测也成立. 即当x为正整数时，. 综上：当x为正整数时，. (2)①用反证法证明： 假设存在满足：恒成立； 则：恒成立，化简得：恒成立； ∴ 这与矛盾，故假设不成立， ∴ 不具有周期性； ②由结论知为偶函数，则为偶函数，又为奇函数，   则定义域为R，关于原点对称，   故， 所以为定义域为R的奇函数， ∴ . 【来源】上海市复旦大学附属中学2026届高考临考冲刺限时练习数学试题 6．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质． (1)若函数具有性质，求：的值； (2)设，求证：存在常数，使得具有性质； (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为． 【来源】上海交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义、抽象函数的值域 【详解】（1）因为函数具有性质，所以， 所以． （2）证明：设，则， 令，即， 设， 因为， 所以在区间上函数存在零点， 当时，则，此时函数具有性质． （3）证明：设，因为，所以， 设， 因为， 所以具有性质，， 令得，， ①若，则函数在存在零点； ②若，即时， 当时，，即， 所以在区间存在零点； ③若，即， 因为， 所以，所以， 当时，，即， 所以在区间存在零点； 综上所述，，都存在零点，即都有， 故的值域为． 创新提升 1．（2026·上海虹口·三模）若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（     ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】D 【详解】对于①，由，，成等差数列，则， 取，即， 则，， 若，，成等比数列，则， 即，则， 即或，则或（舍去）， 当时，，当时，， 所以函数满足“性质”，故①错误； 对于②，由，，成等差数列，则， 取，则，， 所以 ， 而，则， 所以对于任意的正实数，都满足“性质”，故②正确. 2．（2026·上海黄浦·三模）设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（     ）． A．“”是“函数具有‘性质’”的充分非必要条件 B．设，则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的必要非充分条件 C．设，“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件 D．设，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为， 若，则对任意，均有，充分性成立； 若函数具有“性质”，则，，使得， 即，则，所以，必要性成立， 所以“”是“函数具有‘性质’”的充分必要条件，故A错误. 对于B，若函数具有“性质”，则，，使得， 即，则，所以充分性成立； 若具有最小值，设，则，，使得， 即，所以函数具有“性质”，必要性成立， 则“函数具有‘性质’”是“具有最小值”的充分必要条件，故B错误. 对于C，函数具有“性质”，则，，使得， 所以，且， 由不等式的性质可知，即，必要性成立； 若，取，而， 所以，所以函数不具有“性质”，充分性不成立， 所以“”是“函数具有‘性质’”的必要非充分条件，故C错误. 对于D，（方法一）若函数具有“性质”，则，，使得， 推不出，所以充分性不成立； 若函数具有“性质”，则，，使得，则， 若不在的值域内，则不存在，使得，所以必要性不成立. （方法二）充分性：举反例，取常函数， 令，则， 所以，，使得，函数具有“性质”， ，所以函数不具有“性质”， 即函数具有“性质”推不出具有“性质”，充分性不成立； 必要性：举反例，取一个值域为的函数，令，则， 取，则，，使得，函数具有“性质”， 假设存在，使得，则，与值域矛盾， 所以假设不成立，所以不具有“性质”， 即函数具有“性质”推不出具有“性质”，必要性不成立. 综上，“函数具有‘性质’”是“具有‘性质’”的既非充分又非必要条件，故D正确. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）如果函数的定义域为R，且满足对任意的，均有，则称这样的函数具有“性质P”.有如下两个命题： 命题α：若函数具有“性质P”，且，则； 命题β：“函数对任意的，，均有”是“具有性质P”的充要条件． 关于两个命题的真假判断正确的是（     ） A．真真 B．真假 C．假真 D．假假 【答案】D 【详解】 由题意可知，性质：对任意，， 所以对任意实数和整数，， 因为，则：， 所以，因此命题为假， 若具有性质，令，则， 又因为，所以， 因此：， 两边取绝对值得，必要性成立， 满足对任意，，则， 无法保证符号始终为正，也就无法推出可加性， 构造符号函数，使得对任意， 始终满足，同时存在使得： ， 即满足对任意a,b成立，但不满足性质， 因此，由无法推出具有性质， 充分性不成立，命题为假命题. 4．（2026·上海·三模）设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【详解】对于①，取，，则， 因为和的正周期分别为和， 而是无理数，则有，所以不是周期函数，①错误； 对于②，若，其中，， 可得； 若，其中，即， 整理得，令， 则，则，其中，下证恒成立. 假设存在，，考虑 ， 因为，所以当足够大时，有， 这与矛盾， 所以即恒成立，故函数存在正整数周期，②正确， 综上，①是假命题，②是真命题． 5．（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）若函数的定义域内存在区间，且  ，则称函数具有“性质F ”．正确的是____________．① 具有“性质F ”的一次函数存在且有无数个；② 具有“性质F ”的二次函数存在且有无数个；③存在，使函数具有“性质F”；④对任意，函数都具有“性质F ”． 【答案】①②③ 【详解】对于①选项，若函数为一次函数，设，不妨取， 则函数在上单调递增， 所以，解得，此时， 故任取时，必有函数在区间满足题意，①对； 对于②选项，不妨取，其中，，取，， 则函数在上单调递增， 由可得， 所以当且时，必有函数在区间上满足题意，②对； 对于③选项，若，则函数在上为增函数， 由题意可得，可知关于的方程在上至少有两个不等的实数解， 即，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，则；当时，，则. 且， 要使得方程至少有两个不等的实根，则，解得， 因为，故存在，使函数具有“性质F ”，③对； 对于④选项，若，则函数具有“性质F ”， 且函数在上为增函数，则， 故关于的方程至少有两个实数解， 当时，由可得，即，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，，则；当时，，则. 若方程有两个实数解，则，解得， 当时，即当时，方程在时有且只有一个实数解， 当时，方程在时无实数解， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 故当时，方程在时有且只有一个实数解， 方程在时无实数解， 即当时，函数不具有“性质F ”，④错． 故正确的是：①②③． 6．（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【详解】（1）由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． （2）必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. （3）由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 7．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 【详解】(1)不是函数， 说明如下（举反例）：记，取， 则 即， 所以不是函数； （2）记， 当时，当时，， 对任何实数以及中的任意两个实数， 即， 所以是函数． 当时，取 ， 又， 所以 即， 所以 不是函数． 综上所述，的最大值为1． (3)先证充分性，若“存在实数，使得恒成立”， 则有，则恒成立． 充分性得证． 再证必要性，若“存在非零实数，使得恒成立”， 不妨设，记，则有 ， 因为， ， 故对于任意整数， 有 ，假设存在实数，使得， 显然 ，则存在整数，使得 ， 一方面，取，则 ， ， 即， 另一方面，取，则， 所以，即，所以， 与矛盾，假设不成立， 所以恒成立，必要性得证． 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． (1)若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； (2)是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 【详解】（1）若，则， 因为在上严格增，则在上严格增， 函数不存在极值点，此时函数不是“极值差比函数” 所以， 根据正弦函数的性质可知，存在极大值，， 极小值，，则， 因此是“极值差比函数”. （2）的定义域为，求导可得， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），求导可得， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为. （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，则极值差比系数可化为， ， 因为，解得， 令（），求导可得， 设（）， 求导可得， 所以在上单调递减， 因此当时，， 从而，所以在上单调递增， 所以，即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 9．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 【详解】（1）因为，在区间D上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，对称轴为，故，即． （2）由题设有在上为单调函数， 设任意，， 则， 因为，，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或，故或． (3)若函数为常值函数，取； 同理，若函数是常值函数，取； 因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况． 分别取和，可以得到函数与， 不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数， 因此存在，使得且， 令，其中． 首先证明：对任意都有． 反证法：假设存在使得，其中且， 不妨设，取，，对于函数， 则， ， 因此，，与是单调函数矛盾． 同理可以证明对任意都有， 因此，对任意，， 所以为常值函数， 取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证. 10．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R的函数与实数，定义集合 (1)若，求； (2)若，，且对任意实数x均有，求实数k的取值范围； (3)是否存在定义域为的图像连续的函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【详解】（1）由题意得， 即， 即，化简得， 因为，所以，所以； （2）法一：由题意得， 即， 即， 当时，， 而， 所以，解得， 因为，所以； 法二：由题意得， ， ， 即， 整理为关于的二次函数恒成立问题， 该二次函数开口向上（），对称轴， 要对所有恒正，需判别式： 可得， 化简得， 令，式子变为， 该二次函数开口向上，对称轴， 最小值处， 结合，解得； （3）当时，， 故与同号， 取得， 不妨设，则， 由连续性与零点定理可证，对任意， 当时，， 取得， 因，故， 同理可证：对任意，即对任意， 记，则对任意， 结合， 得①， 对任意，令， 代入的不等式得， 因，故， 结合，得②， 结合①②，对任意有， 化简得，但左边是开口向上的二次函数， 当时趋向，不可能恒成立，矛盾. 因此不存在满足条件的函数. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $