重难点专训01 抽象函数及其题型归纳（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型通法-分层训练”为主线，系统构建抽象函数定义域、性质、综合应用的解题体系，突出赋值法、性质推理等核心方法，培养抽象能力与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|4类核心方法|含赋值法、性质推理、构造法等，提炼“四步基本思路”|从抽象关系转化到具体性质应用，构建方法论框架| |10类题型通法|每题型含典例+变式（2-3题）|各题型配核心口诀（如“同一括号范围相同”）、高分技巧及易错警示|按“定义域→解析式→单调性→奇偶性→周期性→对称性→综合应用”递进，形成知识网络| |分层过关练|巩固5题+创新5题|结合高考模拟题，强化性质综合与新定义问题|从基础应用到创新拓展，适配一轮复习梯度需求|

重难点专训01 抽象函数及其题型归纳 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 抽象函数的定义域 2 题型2 抽象函数的解析式 2 题型3 抽象函数的单调性 4 题型4 抽象函数中比较函数值的大小关系 7 题型5 抽象函数中奇偶性问题 11 题型6 抽象函数中的周期性问题 13 题型7 抽象函数中的对称性问题 17 题型8 抽象函数中的函数性质综合 21 题型9 抽象函数中的解不等式问题 25 题型10 抽象函数中的新定义问题 27 重难专题分层过关练 32 巩固过关 32 创新提升 34 解题方法及技巧提炼 1、抽象函数问题的基本思路是： （1）准确理解题目中给出的抽象函数所满足的等式、不等式或特殊性质； （2）根据条件合理赋值，将抽象关系转化为具体的数值或函数性质； （3）结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等基本性质进行逻辑推理； （4）运用所学的函数知识、不等式方法等合理进行变形与运算，求得结果。 2、抽象函数中的赋值法， 是通过对自变量取特殊值（如0、1、-1等）来探求函数值、判定函数性质（如奇偶性、单调性、周期性）的重要途径。赋值要有的放矢，与已知条件紧密联系，善于从目标出发选择适当的赋值方式，将抽象关系具体化。 3、抽象函数中的性质推理， 是通过已知条件推导函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，利用这些性质将抽象问题转化为比较大小、解不等式等熟悉问题。其中周期性与对称性的判断要注意自变量符号的区别，周期性对应括号内同号变化，对称性对应异号变化。 4、抽象函数中的构造法， 是根据条件的结构特征构造辅助函数（如利用导数运算法则构造新函数），借助所构造函数的性质来解决原问题。此法特别适用于抽象函数与导数综合的题目，通过构造将抽象关系转化为具体函数的单调性、最值等问题，从而有效降低思维难度。 题型通法及变式提升 题型1 抽象函数的定义域 【典例1-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 核心口诀：同一 下括号范围相同，知一求一列不等式。 高分技巧： 已知 定义域求 定义域：令 ，解出 范围； 已知 定义域求 定义域：令 ，由 范围求 的值域（范围）； 已知 定义域求 定义域：先由前者反推 的定义域，再以此作为括号范围求出后者定义域； 多个抽象函数四则运算：取各函数定义域的交集，额外注意分母不为0、偶次根式被开方数非负等限制。 易错警示：定义域均指自变量 的取值范围，而非括号内整体的取值范围；若内层函数值域受限，需特别标注。 题型2 抽象函数的解析式 【典例2-1】（25-26高三上·北京东城·期末）已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意结合指数运算性质可得. 【详解】因为，且.所以当时，满足题意. 所以满足条件的一个函数解析式. 故答案为：. 核心口诀：围绕目标赋好值，联立方程消未知。 高分技巧： 求 ：令 ；求 ：令 ；求 ：令 或 ； 和型递推：，令 得 ，累加求 ； 积型递推：，令 得 ，令 得 ； 构造方程组：对同一关系式进行两种不同赋值（如令 与 ），联立消元求解特定表达式； 求 ：将原式中的 替换为 ，再与 联立。 易错警示：赋值顺序不同可能导致关系式变形方向不同，需以目标值为导向选取赋值；涉及 时需确认0是否在定义域内。 【变式2-1】（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【答案】（任意满足条件的即可） 【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数. 【详解】，则在上满足指数函数性质， 又时，，则在上是增函数，可取， 因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可） 【变式2-2】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值. 【详解】令，代入题设函数方程得： ， 将代入化简，得递推关系：， 当时，有， 则，，， 故 ， 故，则. 题型3 抽象函数的单调性 【典例3-1】（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 核心口诀：赋值作差判符号，奇偶周期帮化归。 高分技巧： 和型单调判定：设 ，令 ，则 。若能推出 ，只需判断 的符号； 积型单调判定（定义在 ）：设 ，令 ，则 。若能推出 ，只需判断 的符号； 商型判定：若关系式中涉及乘法，有时用 与1比较更便捷（需确保 ）； 奇偶性辅助：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反； 周期性辅助：周期函数在每个周期内单调性重复，可将任意区间平移到已知单调区间内判断。 易错警示：判断符号时需充分利用题设中关于正负或增减的额外信息；选填中构造受阻时，直接用模型函数替代验证单调趋势。 【典例3-2】（2026·北京·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于函数，取， 当时，，所以， 满足； 当时，， 满足； 当时，，满足； 综上，存在，使得对于任意的都有， 但在上不是减函数； 所以“存在，使得对于任意的都有”推不出“为上的减函数”； 反之，因为在上是减函数，且时，有，则有， 即“在上是减函数”能推出“存在，使得对于任意的都有”， 所以“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的必要不充分条件. 【变式3-1】（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行分析得解. 【详解】充分性分析： ，，单调递减，， ，，， ， ， “单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的充分条件； 必要性分析：设，取， 当时，，则， 此时； 当时，则， 此时； 故存在，对任意的，均有， 但是不是单调递减函数， 故 “单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的不必要条件； 综上可知，“单调递减”是“存在，对任意的， 均有”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）对于函数，定义集合，函数在上单调递增是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据集合的定义分析“函数在上单调递增”能否推出“”，再分析“”能否推出“函数在上单调递增”，进而判断充分性和必要性. 【详解】①先判断充分性 因为函数在上单调递增， 所以当时，对于任意的，，这满足集合的定义， ，充分性成立. ②再判断必要性 取函数， 在上单调递增，； 而时，，， 若，则 当时，， 当时，， 所以对，，满足集合的定义，故， 但在上，是正弦型函数，不是单调函数，故由不能推出在上单调递增，必要性不成立. 综上函数在上单调递增是“”的充分不必要条件. 【变式3-3】（25-26高三上·北京房山·期末）已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件及增函数的定义，构造反例判断即可. 【详解】充分性：因为在上是增函数，且时，有，所以， 即“在上是增函数”能推出“对任意，存在，使得”，充分性成立. 必要性：如函数， 当时，取， 当时，，，， 当时，，，， 所以当时，取，. 当时，，则， 此时，所以， 综上，函数满足对任意，存在，使得. 但取，时，，不满足增函数的定义， 故 “对任意，存在，使得” 不能推出 “在上是增函数”，必要性不成立. 故选：A. 题型4 抽象函数中比较函数值的大小关系 【典例4-1】（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由可得函数关于点中心对称，再根据在上单调递增，结合对称性可得在上也单调递增，最后转化在一个单调区间上利用单调性比较大小即可. 【详解】解：由，则， 令，则，所以， 因此函数关于点中心对称， 因为在上单调递增，结合又关于点对称， 所以在上也单调递增. 由，则令，所以，即. 因为，在上单调递增， 所以，即. 核心口诀：单调同区间直接比，异区间先化归再比，赋值求值快排除。 高分技巧： 同一单调区间内：直接比较自变量大小，利用单调性定序； 自变量跨不同单调区间：利用奇偶性将负自变量转为正，或利用周期性将各自变量平移至同一周期/同一单调区间内，再比较； 赋值法求关键值：令特殊自变量（如0、1、-1、2）算出具体函数值，代入选项逐一排除——此为选填最优路径； 对称性补点：若函数关于 对称，则 ，可将分散的自变量归拢到对称轴一侧比较； 中间值法：若无法直接比较两个函数值，引入中间自变量 （如 ），先比较 与 、 与 ，再传递大小关系； 图像法辅助：在草稿纸上画出满足条件的模型函数草图（如 、），直观判断各点高低。 易错警示：比较时必须确保所利用的单调区间正确，不能跨区间直接定序；偶函数比较负自变量时需先取绝对值。 【典例4-2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 【变式4-1】（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，再结合函数单调性的表示可知函数在上单调递减，再利用单调性比较大小即可． 【详解】解：，， ， 又对，，（），有， 则函数在上单调递减， ，即． 【变式4-2】（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（   ）（注：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用迭代求周期，利用平移变换求对称中心，取求得，可得奇偶性，利用周期性、对称性和奇偶性，结合单调性逐一判断即可. 【详解】，故 所以， 函数的对称中心为，往左平移3单位得到函数， 故函数的对称中心为，则， 因为， 取可得， 又，所以，所以， 因为函数的对称中心为， 故，所以，所以为偶函数； 对于A，在区间上单调递增，故，且， 所以，故A错误： 对于B，在区间上单调递增，对称中心为， 所以在区间上单调递增， 所以，故B错误； 对于C，因为， 故， 且，所以， 所以， 因为在区间上单调递增，故，故C错误； 对于D，结合在区间上单调递增， 故，故D正确. 故选：D 题型5 抽象函数中奇偶性问题 【典例5-1】（25-26高三下·北京·阶段检测）设函数的定义域为，且不恒为0，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的与不存在； ③若为奇函数，则满足的与存在无数对； ④若为偶函数，则满足的与存在无数对．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】利用奇偶函数的定义与运算性质，结合定义域为的任意函数可唯一分解为一个奇函数与一个偶函数之和的结论，逐一分析四个命题判断正误 【详解】对结论①：若为奇函数，，联立， 得，不恒为0，仅成立； 若为偶函数，，联立， 得，不恒为0，仅成立； 因此与恰有一个成立，①正确。 对结论②： 对任意定义域为的函数， 都可以唯一分解为奇函数 + 偶函数， 和是否为奇/偶函数无关，因此一定存在，②错误。 对结论③： 对任意非零常数，构造，（常数为偶函数）， 满足，可取任意非零实数，得到无数对不同的，③正确。 对结论④： 对任意非零常数，构造（奇函数），， 因为是偶函数，，是偶函数， 满足，可取任意非零实数，得到无数对不同的，④正确。 核心口诀：令 判关系，定义域对称要盯紧。 高分技巧： 标准判定：令 代入，推得 且定义域关于原点对称 → 偶函数；推得 → 奇函数； 含常数项型：如 ，先令 求 ，再令 ，代入消去常数项后再判定； 变形转化判定：如 ，令 得 ，再结合 或0判定； 已知奇偶性反推：若已知为奇函数，可直接使用 和 求值；若已知为偶函数，使用 ； 特殊模型验证：对复杂关系式，取 （奇）或 （偶）代入原式检验是否满足，若满足则答案明确。 易错警示：定义域若不关于原点对称，直接排除奇偶性，无需再判定； 是奇函数的必要条件而非充分条件。 【变式5-1】（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 【答案】C 【分析】通过赋值求得，可得，由奇偶性可得，从而即可判断函数的奇偶性． 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足，(*)， 令，可得，所以，则， 代入(*)，可得，又， 则，即得， 则有， 所以为奇函数，经验证，其它选项均不符合题意． 故选：C. 【变式5-2】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 题型6 抽象函数中的周期性问题 【典例6-1】（2026·重庆·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】运用函数奇偶性及对称性可得函数的周期性，并通过赋值法求得，由此可求得. 【详解】由，得， 即，所以函数关于直线对称， 所以，且. 又，所以，且，. 所以， 所以是周期为的函数，所以. 核心口诀：见式直接套周期，递推算到循环止。 高分技巧： 周期公式直接套用（核心记忆，看到即用）： 条件式 周期 （斐波那契型） 由对称性推周期（见题型7-8关联表）； 递推数列法：给递推式（如 ），赋值算前5~6项找循环节，确定周期； 二阶递推找周期技巧：必须算到连续两项与前期连续两项完全对应（如 且 ）才算找到周期； 复合变形识别：若题干给出 ，需通过连续赋值转化为标准周期形式（如 ，得周期6）。 易错警示：注意最小正周期的验证——如 时周期为 ，但若同时存在更小周期需验证后再取最小。 【典例6-2】（2026·四川攀枝花·二模）已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据题意利用赋值法可得，，根据奇函数定义可得，赋值可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解. 【详解】因为， 令，则，即， 且，可得， 令，则， 且不恒为0，则，即， 又因为为奇函数，则，即， 令，则，可得， 且， 令，则；令，则； 可得，可知函数的一个周期为4， 则， 所以. 【变式6-1】（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出4是的一个周期，再结合周期性可得，即可得结果. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 【变式6-2】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 题型7 抽象函数中的对称性问题 【典例7-1】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得 即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 核心口诀：括号相加除以2，轴心一判便分明。 高分技巧： 轴对称快速判定： 型（ 为括号内整体）→ 对称轴 ，即 关于 对称； 关于 对称； 中心对称快速判定： 型 → 对称中心 ，即 关于 对称； 关于 对称； 非零纵坐标中心对称： → 对称中心 ； 对称性求值：若函数关于 对称，则 ，可据此计算对称点函数值； 对称性辅助单调性：若关于 对称，则左右两侧单调性相反；若关于点 对称，则左右两侧单调性相同； 特殊模型验证：取二次函数 验证轴对称，取三次函数 验证中心对称。 易错警示：对称轴或对称中心的横坐标由括号内相加除以2得到，注意区分 与 的区别——后者需先变形为 ，对称轴为 的变形本质是对括号内整体的操作。 【典例7-2】（2026·湖南岳阳·一模）已知函数的定义域为.若的图象关于点中心对称，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．关于直线对称 C． D． 【答案】D 【分析】利用的图像关于点中心对称，为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项逐一分析. 【详解】因为的图象关于点中心对称，所以的图象关于原点对称， 则函数为奇函数，因为函数的定义域为,所以， 又，则， 所以，则， 所以,故,所以是的一个周期， 对于A，不妨令，满足定义域为的奇函数，周期为， 但，所以A错误； 对于B，不妨令，其定义域为， ， 则函数为奇函数， ， 所以是的一个周期， 所以直线不是的对称轴，故B错误； 对于C,因为函数为周期为的奇函数， 则， , 因为不一定为,所以C错误； 对于D，因为函数为周期为的奇函数， 则， 所以 ，故D正确， 故选：D 【变式7-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论. 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 【变式7-2】已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，可求得函数关于轴对称，关于中心对称，周期为4，再根据函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】因为为偶函数，为奇函数， 所以，， 所以函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 所以，令，则，即， 所以，令，则，所以的周期为4， 又，，所以，所以， 又函数关于轴对称，关于中心对称， 所以，， 又的周期为4，所以，，， 所以函数一个周期内的函数值为，，，， 所以， 所以 ，所以. 题型8 抽象函数中的函数性质综合 【典例8-1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，记．若、均为奇函数，当时，，且，则（    ） A．3 B．－1 C．－5 D．7 【答案】A 【分析】由、为奇函数及得到、及，进而函数的周期为4，再根据时，结合求得的值，再根据周期性求解即可. 【详解】因为为奇函数， 所以， 所以，即， 因为为奇函数， 所以，， 所以， 所以为周期函数，周期为4， 因为时，， 所以 因为， 所以 故. 高分技巧： 性质关联推导表（核心记忆，综合题直接套用）： 已知性质组合 可推出结论 奇函数 + 对称轴 （） 周期 偶函数 + 对称轴 （） 周期 奇函数 + 对称中心 （） 周期 偶函数 + 对称中心 （） 周期 两条对称轴 , （） 周期 两个对称中心 , （） 周期 对称轴 + 对称中心 （） 周期 奇函数 + 周期 可直接扩展负半轴：，结合周期性可求任意点值 偶函数 + 周期 可直接扩展负半轴：，结合周期性可求任意点值 多性质综合求值流程：①识别题干给出的性质类型；②查上表推出周期；③用对称性求特殊点值；④用奇偶性扩展至负半轴；⑤用周期性化归至基本区间求值； 易错警示：性质关联推导中 的条件需注意——若 ，则奇函数+对称轴 即为奇偶性本身，不能推出非零周期；选填中直接套表即可，不必重复推导。 【典例8-2】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数，的定义域均为，函数是奇函数，函数是偶函数.若，，则（    ） A．100 B．225 C．400 D．2026 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和周期性求解 【详解】由函数是奇函数，得， 即① 由是偶函数，得② 由，得③ ∴，. 代入②，得④ 由①得⑤ 由④⑤得⑥ 即⑦ 由⑦得， 所以以4为周期. 因为，所以， 由⑤得， 又，∴. 由⑦得， ,， 所以， . 【变式8-1】（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过令和，确定函数为一次函数，通过待定系数法确定解析式，再逐项判断即可. 【详解】令可得：， 再令，可得， 即函数为一次函数， 设，代入给定等式， 左边：， 右边： 对比系数得： 若，得，，与无交点，舍去； 若，得，即，验证满足原等式。 已知，即，得， 对于选项A：，错误； 对于选项B：，错误； 对于选项C：，显然不是奇函数，错误； 对于选项D，令，定义域为R， 满足，是奇函数，正确. 【变式8-2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． 【答案】C 【分析】先通过题干求出的周期；根据偶函数定义判断A选项；通过，结合的单调性与单调性运算性质可判断B选项；利用作差法，结合函数的符号进行比较大小即可判断C选项；结合函数的周期性和对称性判断D选项是否具有周期性. 【详解】已知（①），将替换为得 （②）， 由①+②得，则， 即函数周期为，且恒成立， 又是定义域的偶函数，故，且在单调递增， 因此，结合得. 选项A：（③）， 由得，代入③式得， 而，显然，故A错误； 选项B：时，，，递增， 故在递减； 同时，在上单调递增， 因此，根据单调性运算性质可知递减函数，故B错误； 选项C：因此， 已知，故，故C正确； 选项D：，故D错误. 题型9 抽象函数中的解不等式问题 【典例9-1】（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令， 因为当时，都有， 所以函数在上单调递增. 又不等式两边同乘以， 得，即， 即，所以， 故，解得，即. 核心口诀：化同 判增减，脱去符号解普通，定义域交回来。 高分技巧： 标准四步流程：①将不等式两端化为同一 的形式 或 ；②判断函数在对应区间上的单调性；③依据单调性脱去 （增则 ，减则 ）；④解出普通不等式后与定义域取交集； 常数转化：若不等式含常数 ，需利用已知特殊值将 表示为 的形式（如已知 ，则 ，或 利用齐次性转化），再两端同去 ； 复合型不等式：形式为 ，直接比较 与 的大小（单调性条件为前提）； 含参不等式：脱去 后得到含参不等式，需结合定义域对参数分类讨论； 分段函数型抽象条件：若函数在不同区间单调性不同，需按自变量所在区间分类讨论，分别脱去 后取并集； 赋值法验证：得出解集后，取区间内外的特殊值代入原不等式验证，快速排除错误选项（选填专用）。 易错警示：脱去 后得到的解集必须与原函数定义域取交集；同时需确保 和 均属于所利用的单调区间内，若单调性仅在某区间成立，不能跨区间脱去 ；若 的值域为正数，还需注意不等号方向是否受乘除影响。 【变式9-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 【变式9-2】（2026·山东·模拟预测）已知奇函数的定义域为，对于任意的正数，都有，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件判断函数的单调性，再结合对数函数的性质解不等式. 【详解】设是上的任意两个实数，且，则， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 因为是定义域在上的奇函数，所以在上也单调递增， 由得，即， 又，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则， 令，则， 因为是奇函数，所以， 所以当时，解得， 当时，解得， 当时，，不满足条件， 所以不等式的解集为， 故选：D 题型10 抽象函数中的新定义问题 【典例10-1】（2026·北京·模拟预测）设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用换元法，把定义域上任意的函数值，都等价于区间关于的函数值，再根据临界验证求实数最小值． 【详解】对，，记， 由则，故， 则定义域上任意的函数值，都等价于区间关于的函数值， 已知就能满足全部值域， 对任意，需满足 已知，解得， 该条件对所有成立，则必有， 当，任意，，落在内，满足条件； 若，可取，此时，与超出，不满足值域； 故实数最小值为． 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。 【典例10-2】（2026·北京顺义·二模）已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】①结合题设定义分、两种情况求出的值域即可判断；②根据减函数的定义可得，且时，都有，再结合的定义可得，进而判断即可. 【详解】①由， 当时，，则， 即，所以，则， 此时； 当时，，则， 即，所以，则， 此时. 综上所述，的最大值为，故①正确； ②因为函数和都是减函数， 则对于，且时，都有， 由，则， 所以必有，， 又，则， 所以也是减函数，故②正确. 【变式10-1】（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 【变式10-2】（25-26高三上·北京东城·期末）若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得且； ③若，且为增函数，则； ④若，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是_____________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，通过构造具体的函数和，验证具有性质即可；对于②，构造合适的函数，分别验证是否具有性质即可；对于③，通过举反例来验证不具有性质；对于④，对于任意正数，由，可得存在，使得，根据的奇偶性利用绝对 值不等式，可找到或，使得，从而推出具有性质. 【详解】对于①：设；，两函数定义域均为， 结合函数图象可知，对任意正数， 都存在，使得；也都存在，使得； 故. 由，任意，都有. 故对任意正数，都不存在，使得； 所以，故①正确； 对于②：设，两函数定义域均为， 则，， 可知，，，，，故②正确； 对于③：设， 定义域均为，且为增函数， ，. 则，对任意，都有. 对于任意正数，都不存在，使得； 所以，故③错误； 对于④：因为为奇函数，为偶函数，且. 则定义域均为， 对于任意正数，因为，所以存在，使得， 又因为为奇函数，为偶函数，所以. 则对任意正数， 都有 ； 假设且， 则，这与矛盾，故假设错误， 故中至少一个大于， 即对任意正数，存在或，使得. 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由为奇函数，得，令即可求解． 【详解】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，都有， 即，所以为偶函数， 由可得，即， 所以是以4为周期的偶函数， 因此， 由，令可得， 所以． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，其图象是连续曲线，对任意的正实数，在上是增函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上不单调 C．可能存在最大值 D．可能存在最小值 【答案】D 【分析】对A：举出符合题意的反例，此时在上不单调递增；对B：举出符合题意的反例，此时在上单调递增；对C：假设存在最大值，则存在，使得，这与在上是增函数矛盾；对D：举出符合题意的例子，此时在处有最小值. 【详解】对A：取，则，符合题意， 但在上不单调递增，故A错误； 对B：取，则，符合题意， 但在上单调递增，故B错误； 对C：若存在最大值，设该最大值为， 则存在，使得，且对任意，， 则， 令，则， 由，则，又，，即， 这与在上是增函数矛盾，故不存在最大值，故C错误； 对D：取，由A知符合题意， 且在处有最小值，符合题意， 故可能存在最小值，故D正确. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求导并利用导数结合的单调性和奇偶性分析的单调性和奇偶性，从而转化不等式为，进而求出实数的取值范围． 【详解】设，则， 又在上，，则， 函数在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则， ，即， 函数为上的奇函数， 在上单调递减， 又， ，即， ，解得． 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】是奇函数，所以， 即， 且，又，所以， 因为，即， 即，令，得， 即， 即，则关于直线对称， 可得， 可得 则，故函数是周期为4的函数， ， 所以 创新提升 6．（25-26高三上·上海·期中）有下面三个命题： 命题1：若是周期函数，则是周期函数； 命题2：已知定义在上的函数，若对任意的，均有，则函数为偶函数； 命题3：已知定义在上的偶函数在上严格增，则存在函数在上严格减. 则真命题有（   ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】可举反例，令，显然函数不是周期函数,可判断了A选项；由，可知，可判断B；函数在单调递减，进而可得在上严格减，从而判断得出结论. 【详解】对于命题1，可举反例，，显然函数不是周期函数，但是周期函数，故命题1是假命题； 对于命题2，由，可知，故，即函数为偶函数，故命题2是真命题； 对于命题3，例如，则为偶函数且在上严格增， 则，则为上的奇函数， 先考虑时，， 由于函数为上的单调递减函数， 所以函数在单调递减，进而可得在上严格减，故命题3真命题， 综上，命题1为假命题，命题2和命题3为真命题， 故选：C. 7．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 【答案】B 【分析】对于①：根据函数奇偶性和单调性的性质分析判断；对于②：举反例说明即可. 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 8．（25-26高三上·山东·期末）已知函数和满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得或，分情况讨论判断. 【详解】令，则，即， 又得或， （1）若，则，即， ，即， 对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：，，C错误； 对于D：成立，D正确. （2）若则， 所以 所以 记，则， 所以，同理可得， 因为，即，所以是奇函数， 因为，即，所以是偶函数， 又得或，又且连续， 所以，所以的符号由的符号确定， 若则，在上单调递增，当时，，； 若，则，在上单调递减，当时，，， 综上，当时，在单调递增， 若，则（常数），又，所以，， 对于A：时，，A错误； 对于B：时，，B错误； 对于C：时，，C错误； 而对，，D正确； 综上可知，选项D正确. 故选：D. 9．（25-26高三上·北京丰台·期末）若函数的定义域内存在区间，且，则称函数具有“性质”.下列说法错误的是（    ） A．具有“性质”的一次函数存在且有无数个 B．具有“性质”的二次函数存在且有无数个 C．存在，使函数具有“性质” D．对任意，函数都具有“性质” 【答案】D 【分析】利用“性质”的定义结合函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若函数为一次函数，设，不妨取， 则函数在上单调递增， 所以，解得，此时， 故任取时，必有函数在区间满足题意，A对； 对于B选项，不妨取，其中，，取，， 则函数在上单调递增， 由可得， 所以当且时，必有函数在区间上满足题意，B对； 对于C选项，若，则函数在上为增函数， 由题意可得，可知关于的方程在上至少有两个不等的实数解， 即，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，则；当时，，则. 且， 要使得方程至少有两个不等的实根，则，解得， 因为，故存在，使函数具有“性质”，C对； 对于D选项，若，则函数具有“性质”， 且函数在上为增函数，则， 故关于的方程至少有两个实数解， 当时，由可得，即，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，，则；当时，，则. 若方程有两个实数解，则，解得， 当时，即当时，方程在时有且只有一个实数解， 当时，方程在时无实数解， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以，存在，使得， 故当时，方程在时有且只有一个实数解， 方程在时无实数解， 即当时，函数不具有“性质”，D错. 故选：D. 10．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】对于结论①，利用反证法假设存在，找到满足，引出矛盾即可证明正确；对于结论②，采用类似的分析找到满足，利用推出，再利用推出，引出矛盾即可证明错误. 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 【点睛】本题采用了反证法证明奇偶性，通过灵活利用已知条件得到矛盾的结果，并利用了两个实数之间总能找到一个实数这一结论. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 抽象函数及其题型归纳 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 抽象函数的定义域 2 题型2 抽象函数的解析式 2 题型3 抽象函数的单调性 3 题型4 抽象函数中比较函数值的大小关系 4 题型5 抽象函数中奇偶性问题 5 题型6 抽象函数中的周期性问题 6 题型7 抽象函数中的对称性问题 7 题型8 抽象函数中的函数性质综合 8 题型9 抽象函数中的解不等式问题 10 题型10 抽象函数中的新定义问题 11 重难专题分层过关练 12 巩固过关 12 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 1、抽象函数问题的基本思路是： （1）准确理解题目中给出的抽象函数所满足的等式、不等式或特殊性质； （2）根据条件合理赋值，将抽象关系转化为具体的数值或函数性质； （3）结合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等基本性质进行逻辑推理； （4）运用所学的函数知识、不等式方法等合理进行变形与运算，求得结果。 2、抽象函数中的赋值法， 是通过对自变量取特殊值（如0、1、-1等）来探求函数值、判定函数性质（如奇偶性、单调性、周期性）的重要途径。赋值要有的放矢，与已知条件紧密联系，善于从目标出发选择适当的赋值方式，将抽象关系具体化。 3、抽象函数中的性质推理， 是通过已知条件推导函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，利用这些性质将抽象问题转化为比较大小、解不等式等熟悉问题。其中周期性与对称性的判断要注意自变量符号的区别，周期性对应括号内同号变化，对称性对应异号变化。 4、抽象函数中的构造法， 是根据条件的结构特征构造辅助函数（如利用导数运算法则构造新函数），借助所构造函数的性质来解决原问题。此法特别适用于抽象函数与导数综合的题目，通过构造将抽象关系转化为具体函数的单调性、最值等问题，从而有效降低思维难度。 题型通法及变式提升 题型1 抽象函数的定义域 【典例1-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 核心口诀：同一 下括号范围相同，知一求一列不等式。 高分技巧： 已知 定义域求 定义域：令 ，解出 范围； 已知 定义域求 定义域：令 ，由 范围求 的值域（范围）； 已知 定义域求 定义域：先由前者反推 的定义域，再以此作为括号范围求出后者定义域； 多个抽象函数四则运算：取各函数定义域的交集，额外注意分母不为0、偶次根式被开方数非负等限制。 易错警示：定义域均指自变量 的取值范围，而非括号内整体的取值范围；若内层函数值域受限，需特别标注。 题型2 抽象函数的解析式 【典例2-1】（25-26高三上·北京东城·期末）已知函数的定义域为，满足且，写出满足条件的一个函数解析式_____________． 核心口诀：围绕目标赋好值，联立方程消未知。 高分技巧： 求 ：令 ；求 ：令 ；求 ：令 或 ； 和型递推：，令 得 ，累加求 ； 积型递推：，令 得 ，令 得 ； 构造方程组：对同一关系式进行两种不同赋值（如令 与 ），联立消元求解特定表达式； 求 ：将原式中的 替换为 ，再与 联立。 易错警示：赋值顺序不同可能导致关系式变形方向不同，需以目标值为导向选取赋值；涉及 时需确认0是否在定义域内。 【变式2-1】（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可） 【变式2-2】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（   ） A． B． C． D． 题型3 抽象函数的单调性 【典例3-1】（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 核心口诀：赋值作差判符号，奇偶周期帮化归。 高分技巧： 和型单调判定：设 ，令 ，则 。若能推出 ，只需判断 的符号； 积型单调判定（定义在 ）：设 ，令 ，则 。若能推出 ，只需判断 的符号； 商型判定：若关系式中涉及乘法，有时用 与1比较更便捷（需确保 ）； 奇偶性辅助：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反； 周期性辅助：周期函数在每个周期内单调性重复，可将任意区间平移到已知单调区间内判断。 易错警示：判断符号时需充分利用题设中关于正负或增减的额外信息；选填中构造受阻时，直接用模型函数替代验证单调趋势。 【典例3-2】（2026·北京·三模）定义在上的函数，“存在，使得对于任意的都有”是“为上的减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】（25-26高三上·北京顺义·期末）已知函数满足，则“单调递减”是“存在，对任意的，均有”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（25-26高三下·北京·阶段检测）对于函数，定义集合，函数在上单调递增是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（25-26高三上·北京房山·期末）已知函数的定义域为，则“在上是增函数”是“对任意，存在，使得”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型4 抽象函数中比较函数值的大小关系 【典例4-1】（2026·河南周口·三模）已知函数的定义域为，，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 核心口诀：单调同区间直接比，异区间先化归再比，赋值求值快排除。 高分技巧： 同一单调区间内：直接比较自变量大小，利用单调性定序； 自变量跨不同单调区间：利用奇偶性将负自变量转为正，或利用周期性将各自变量平移至同一周期/同一单调区间内，再比较； 赋值法求关键值：令特殊自变量（如0、1、-1、2）算出具体函数值，代入选项逐一排除——此为选填最优路径； 对称性补点：若函数关于 对称，则 ，可将分散的自变量归拢到对称轴一侧比较； 中间值法：若无法直接比较两个函数值，引入中间自变量 （如 ），先比较 与 、 与 ，再传递大小关系； 图像法辅助：在草稿纸上画出满足条件的模型函数草图（如 、），直观判断各点高低。 易错警示：比较时必须确保所利用的单调区间正确，不能跨区间直接定序；偶函数比较负自变量时需先取绝对值。 【典例4-2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（   ）（注：） A． B． C． D． 题型5 抽象函数中奇偶性问题 【典例5-1】（25-26高三下·北京·阶段检测）设函数的定义域为，且不恒为0，函数为奇函数，函数为偶函数，下列结论： ①若是奇函数或偶函数，且满足，则与中恰有一个成立； ②若既不是奇函数也不是偶函数，则满足的与不存在； ③若为奇函数，则满足的与存在无数对； ④若为偶函数，则满足的与存在无数对．其中正确的是______（填写序号）． 核心口诀：令 判关系，定义域对称要盯紧。 高分技巧： 标准判定：令 代入，推得 且定义域关于原点对称 → 偶函数；推得 → 奇函数； 含常数项型：如 ，先令 求 ，再令 ，代入消去常数项后再判定； 变形转化判定：如 ，令 得 ，再结合 或0判定； 已知奇偶性反推：若已知为奇函数，可直接使用 和 求值；若已知为偶函数，使用 ； 特殊模型验证：对复杂关系式，取 （奇）或 （偶）代入原式检验是否满足，若满足则答案明确。 易错警示：定义域若不关于原点对称，直接排除奇偶性，无需再判定； 是奇函数的必要条件而非充分条件。 【变式5-1】（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（    ） A．一定是奇函数 B．一定是偶函数 C．一定是奇函数 D．一定是偶函数 【变式5-2】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 题型6 抽象函数中的周期性问题 【典例6-1】（2026·重庆·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 核心口诀：见式直接套周期，递推算到循环止。 高分技巧： 周期公式直接套用（核心记忆，看到即用）： 条件式 周期 （斐波那契型） 由对称性推周期（见题型7-8关联表）； 递推数列法：给递推式（如 ），赋值算前5~6项找循环节，确定周期； 二阶递推找周期技巧：必须算到连续两项与前期连续两项完全对应（如 且 ）才算找到周期； 复合变形识别：若题干给出 ，需通过连续赋值转化为标准周期形式（如 ，得周期6）。 易错警示：注意最小正周期的验证——如 时周期为 ，但若同时存在更小周期需验证后再取最小。 【典例6-2】（2026·四川攀枝花·二模）已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式6-1】（2026·山西大同·三模）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式6-2】（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 题型7 抽象函数中的对称性问题 【典例7-1】（2026·北京·三模）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 核心口诀：括号相加除以2，轴心一判便分明。 高分技巧： 轴对称快速判定： 型（ 为括号内整体）→ 对称轴 ，即 关于 对称； 关于 对称； 中心对称快速判定： 型 → 对称中心 ，即 关于 对称； 关于 对称； 非零纵坐标中心对称： → 对称中心 ； 对称性求值：若函数关于 对称，则 ，可据此计算对称点函数值； 对称性辅助单调性：若关于 对称，则左右两侧单调性相反；若关于点 对称，则左右两侧单调性相同； 特殊模型验证：取二次函数 验证轴对称，取三次函数 验证中心对称。 易错警示：对称轴或对称中心的横坐标由括号内相加除以2得到，注意区分 与 的区别——后者需先变形为 ，对称轴为 的变形本质是对括号内整体的操作。 【典例7-2】（2026·湖南岳阳·一模）已知函数的定义域为.若的图象关于点中心对称，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．关于直线对称 C． D． 【变式7-1】（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【变式7-2】已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则（ ） A．1 B．0 C． D． 题型8 抽象函数中的函数性质综合 【典例8-1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域为，记．若、均为奇函数，当时，，且，则（    ） A．3 B．－1 C．－5 D．7 高分技巧： 性质关联推导表（核心记忆，综合题直接套用）： 已知性质组合 可推出结论 奇函数 + 对称轴 （） 周期 偶函数 + 对称轴 （） 周期 奇函数 + 对称中心 （） 周期 偶函数 + 对称中心 （） 周期 两条对称轴 , （） 周期 两个对称中心 , （） 周期 对称轴 + 对称中心 （） 周期 奇函数 + 周期 可直接扩展负半轴：，结合周期性可求任意点值 偶函数 + 周期 可直接扩展负半轴：，结合周期性可求任意点值 多性质综合求值流程：①识别题干给出的性质类型；②查上表推出周期；③用对称性求特殊点值；④用奇偶性扩展至负半轴；⑤用周期性化归至基本区间求值； 易错警示：性质关联推导中 的条件需注意——若 ，则奇函数+对称轴 即为奇偶性本身，不能推出非零周期；选填中直接套表即可，不必重复推导。 【典例8-2】（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数，的定义域均为，函数是奇函数，函数是偶函数.若，，则（    ） A．100 B．225 C．400 D．2026 【变式8-1】（2026·安徽池州·二模）设函数的定义域为，，若的图象与x轴相交于点，则（   ） A． B． C．是奇函数 D．是奇函数 【变式8-2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（   ） A．为偶函数 B．在上是单调递增函数 C． D． 题型9 抽象函数中的解不等式问题 【典例9-1】（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 核心口诀：化同 判增减，脱去符号解普通，定义域交回来。 高分技巧： 标准四步流程：①将不等式两端化为同一 的形式 或 ；②判断函数在对应区间上的单调性；③依据单调性脱去 （增则 ，减则 ）；④解出普通不等式后与定义域取交集； 常数转化：若不等式含常数 ，需利用已知特殊值将 表示为 的形式（如已知 ，则 ，或 利用齐次性转化），再两端同去 ； 复合型不等式：形式为 ，直接比较 与 的大小（单调性条件为前提）； 含参不等式：脱去 后得到含参不等式，需结合定义域对参数分类讨论； 分段函数型抽象条件：若函数在不同区间单调性不同，需按自变量所在区间分类讨论，分别脱去 后取并集； 赋值法验证：得出解集后，取区间内外的特殊值代入原不等式验证，快速排除错误选项（选填专用）。 易错警示：脱去 后得到的解集必须与原函数定义域取交集；同时需确保 和 均属于所利用的单调区间内，若单调性仅在某区间成立，不能跨区间脱去 ；若 的值域为正数，还需注意不等号方向是否受乘除影响。 【变式9-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026·山东·模拟预测）已知奇函数的定义域为，对于任意的正数，都有，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型10 抽象函数中的新定义问题 【典例10-1】（2026·北京·模拟预测）设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为（     ） A． B． C． D． 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题。 【典例10-2】（2026·北京顺义·二模）已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【变式10-1】（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 【变式10-2】（25-26高三上·北京东城·期末）若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得且； ③若，且为增函数，则； ④若，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是_____________． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·山东·模拟预测）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．2 D．1 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的定义域为，其图象是连续曲线，对任意的正实数，在上是增函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上不单调 C．可能存在最大值 D．可能存在最小值 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（     ） A． B． C． D． 创新提升 6．（25-26高三上·上海·期中）有下面三个命题： 命题1：若是周期函数，则是周期函数； 命题2：已知定义在上的函数，若对任意的，均有，则函数为偶函数； 命题3：已知定义在上的偶函数在上严格增，则存在函数在上严格减. 则真命题有（   ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 8．（25-26高三上·山东·期末）已知函数和满足，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·北京丰台·期末）若函数的定义域内存在区间，且，则称函数具有“性质”.下列说法错误的是（    ） A．具有“性质”的一次函数存在且有无数个 B．具有“性质”的二次函数存在且有无数个 C．存在，使函数具有“性质” D．对任意，函数都具有“性质” 10．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $