第三章 圆锥曲线的方程 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦圆锥曲线方程，涵盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识，通过石拱桥、卢瑟福实验等真实情境题，融合数学抽象、逻辑推理与模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|椭圆焦点、双曲线轨迹、抛物线应用等|第4题石拱桥情境考查抛物线实际应用，第6题结合卢瑟福实验体现科学情境真实性| |多选题|3题|椭圆方程、抛物线标准方程、曲线分类|第11题参数讨论曲线类型，培养推理能力与分类思想| |填空题|3题|抛物线准线、椭圆参数范围、焦点弦长|第14题直接考查抛物线焦点弦长，强化定义应用| |解答题|5题|椭圆方程与切线、双曲线面积、弦长计算等|第15题椭圆切线问题，第16题双曲线四边形面积，综合考查模型构建与运算能力|

高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B C A B B ABD AC 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】由椭圆的定义可得； 【详解】由椭圆方程可得， 由椭圆的定义， . 故选： B. 2．B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 3．D 【分析】联立方程直接求解可得. 【详解】直接联立方程，消去得， 解得或（舍去）， 所以或，即两曲线的交点为和. 故选：D 4．B 【分析】建立平面直角坐标系，求抛物线方程，由此确定焦点坐标，再求绳子最合适的长度. 【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为（） 由已知点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线方程为， 所以焦点坐标为， 所以绳子最合适的长度是， 故选：B. 5．C 【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题有，由双曲线性质有，，所以. 所以，所以. 又双曲线方程，则，， 所以，则双曲线离心率. 故选：C 6．A 【分析】由题可知双曲线的一条渐近线方程为，再利用过点即可求解. 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即可得， 设双曲线的方程为， 将代入计算可得，解得， 所以该粒子路径的顶点与双曲线的中心的距离为． 故选：A. 7．B 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线． 设动点到直线的距离分别为，点到直线的距离为． 由，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间，即时（如图），等号成立， 故动点到直线、直线的距离之和的最小值是3.    故选：B 8．B 【分析】不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点，设的内切圆半径为r，根据可得答案． 【详解】如图，不妨令，分别为椭圆C的左、右焦点， 由，得，， ，， 所以． 设的内切圆半径为r， 因为， 所以，得．    故选：B. 9．ABD 【分析】由题意得出的值，得到椭圆方程，由此判断出ABC选项，D选项需要对线段转化为，变成求最大值，从而得出结果. 【详解】由题意可知：，解得， ∴，A选项正确； ∴ ∴椭圆：，B选项正确； ∵，∴，C选项错误； ， 当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确； 故选：ABD 10．AC 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 11．AC 【分析】根据曲线的形状求出参数的值或取值范围，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若曲线表示圆，则，解得，A对； 对于B选项，由题意可知，且，曲线的方程中含、项， 即曲线不可能是直线，B错； 对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C对； 对于D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D错. 故选：AC. 12．. 【分析】由抛物线标准方程直接得解. 【详解】由题抛物线标准方程为，所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 13． 【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解. 【详解】直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故． 故答案为：. 14．4 【分析】方法一：根据题意有，联立抛物线求交点横坐标，即可得弦长. 方法二：直接用通径公式即可求解. 【详解】方法一：由题设，抛物线焦点为，则，令，则，故． 方法二：由题意可知是抛物线的通径长， 由，的通径长为2p，得． 故答案为：4. 15．(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程； （2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据弦长以及焦距计算可得，可求出的方程； （2）由对称性求得交点横坐标计算可得四边形的面积. 【详解】（1）过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程可得，解得； 因此可得，又，且， 解得， 故双曲线的方程为． （2）如下图所示： 联立，解得， 所以四边形的面积. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可; （2）利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）， ， 所以椭圆的标准方程为. （2）斜率为的直线过椭圆的右焦点 所以直线方程为：，联立椭圆的方程得： ，化简得： 设，则， 故. 18．(1) (2)． 【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可； （2）设，从而可求得，再把代入求解即可. 【详解】（1）由已知得，， ，，， 同理， ， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设，且，则，，   ． 由椭圆方程可得， 整理得，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程 一、单选题 1．椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 （    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 3．曲线与的交点是（    ） A． B． C．或 D．或 4．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（　　） A． B． C． D． 5．已知点F是双曲线的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（    ） A． B． C．10 D．11 7．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线、直线的距离之和的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D．4 8．已知，是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且的内切圆半径为1，若P在第一象限，则P点的纵坐标为（    ）． A．2 B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 10．顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 11．若方程所表示的曲线为，则下列说法正确的是（   ） A．可能是圆 B．可能是直线 C．若是焦点在轴上的椭圆，则 D．若是焦点在轴上的双曲线，则 三、填空题 12．抛物线的准线方程为__________． 13．若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是_____. 14．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，则______． 四、解答题 15．已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 16．设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． (1)求的方程； (2)求四边形的面积． 17．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长. 18．已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 19．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $