预学储备 1.2.3 二次函数y=ax²+bx=c(a≠0)的图象及其特征-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

3预学储备 第3课时二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象及其特征 新知导学 知识点1 b 4ac-b2 二次函数一般式的变形 坐标是（ 2a4a 当a>0时，抛物线的 对于二次函数的一般形式y=a.x2十bx+c 开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0 (a≠0)，通过变形，可以将其转化为y= 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最 高点. 一(a≠0) 4a 例2求抛物线y=x2-4x+3的开口方向、对 例1用配方法对二次函数表达式y=一x2十 称轴和顶点坐标. 2x十1进行变形，并写出该二次函数图象的开口 解：因为y=x2-4x十3，所以a=1,b=-4,c= 方向、对称轴和顶点坐标。 解：因为y=-x2+2x+1=-(x2-2x+1)十 2X1=2,对称 3所以项点的横坐标为二2二二4 2=-(x一1)2十2，所以变形为y=-(x 1)2十2.所以该二次函数的图象开口向下，对称 轴为直线x=2,顶点的纵坐标为如c一b Aa 轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2) 4×1×3-(-4)2 4×1 =一1.所以顶点的坐标为 练1已知二次函数y=x2一2x一3. (2,一1).因为a=1>0,所以抛物线开口向上. (1)用配方法对该二次函数表达式进行变形 方法归纳 (2)求这个函数的图象与x轴、y轴的交点坐 求二次函数y=ax2十b.x十c(a≠0)图象的顶 标、顶点坐标和对称轴： 点坐标，共有两种方法.(1)配方法：将y=ax2十 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个 bx十c转化为y=a(x一m)2十k的形式，则函数图 二次函数的图象 象的顶，点坐标为(m,k).(2)顶，点公式法：函数y= a.x2十bx十c(a≠0)图象的顶点坐标为 练2抛物线y=一2x2+4x一1的对称轴为 直线 ( (练1图) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 练3[2025攀枝花]关于抛物线y=一x2十 () 知识点2 6.x一7，下列说法中正确的是 二次函数y=ax2+b.x+c(a≠0)的 图象特征 A.开口向上 二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象是 B.对称轴是直线x=一3 会顶点 C.与y轴的交点坐标是(0,7) 一条抛物线，它的对称轴是直线x= D.顶点坐标是(3,2) 47 毫期升级训练 数学（浙教版）八年级 知识点3二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)与 其顶端恰好顶在抛物线形大门上的点C处.建 y=ax2的图象的关系 立如图所示的平面直角坐标系.求： 利用配方法将二次函数的一般式y=a.x2十 (1)大门所在抛物线对应的函数表达式. bx十c(a≠0)进行变形，进而根据二次函数y= (2)大门的高度. a(x-n)2十k(a≠0)与y=ax2的图象之间的 个y/m 平移关系类推即可. 例3已知函数y=2x2-12x+17. 0A) D x/m (1)该函数的图象是由函数y=2x2的图象经过 (例4图) 怎样的平移得到的？ 解：(1)由题图，得抛物线过点A(0,0),B(18, (2)写出该函数的图象的开口方向、对称轴、顶 0),C(17,1.7).设大门所在抛物线对应的函数表 点坐标 达式为y=a.x2十bx(a≠0).把B(18,0),C(17, 解：(1)因为y=2x2-12x+17=2(x2-6x+ 182a+18b=0, 1.7)代入，得 解得=0.1， 9)一1=2(x一3)2一1，所以该函数的图象是由 172a+17b=1.7 b=1.8. 函数y=2x2的图象向右平移3个单位，向下平 所以大门所在抛物线对应的函数表达式为 移1个单位得到的. y=-0.1x2+1.8x (2)该函数图象的开口向上，对称轴为直线x= (2)因为y=-0.1x2+1.8x=-0.1(x-9)2+ 3,顶点坐标为(3，一1). 8.1,所以抛物线的顶点坐标为(9,8.1).所以大 练4把抛物线y=3.x2先向左平移2个单位，再 门的高度为8.1m. 向上平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达 练6新情境生活实际某喷水景观喷出的水柱呈 式为 ( 抛物线形状，喷水头P距地面0.4m,水柱在距 A.y=3(x-2)2+1B.y=3(x-2)2-1 喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距 C.y=3(x+2)2+1D.y=3(x+2)2-1 地面2m,建立如图所示的平面直角坐标系，其 练5将抛物线y=x2+3x一4向左平移1个单 中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是 位，得到的新抛物线对应的函数表达式为( 水柱距地面的高度 A.y=x2+5.x (1)求抛物线对应的函数表达式和自变量的取 B.y=x2-x-8 值范围 C.y=x2+3x-2 D.y=x2+3.x+1 (2)身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的 知识点4 二次函数图象的简单应用 头发接触不到水柱时，求x的取值范围. y/m 对于抛物线形的实际问题，建立平面直角 坐标系可确定抛物线上几个关键点的坐标，利 0 小红4 x/m 用待定系数法可求出抛物线对应的函数表达 (练6图) 式，由此解决实际问题 例4已知一抛物线形大门，其地面宽度AB 18m.一名同学站在大门内，在离点B处1m远 的点D处，垂直地面立起一根1.7m长的木杆， 48 3预学储备 知识点5二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 例5如图所示为二次函数y=a.x2+bx十c的 系数a,b,c与图象的关系 图象，则下列说法中，正确的是 1.系数a决定图象的开口方向和大小：当a>0 A.b>0,c>0 时，开口向上，当a<0时，开口向下；|a越 B.b>0,c<0 大，开口越小，a越小，开口越大， C.b<0,c>0 2.系数c决定图象与y轴的交点位置：图象与 D.b<0,c<0 (例5图) y轴的交点坐标为(0，c).当c>0时，图象交 解析：由题图，可知函数图象开口向上，所以α> 于y轴正半轴；当c=0时，图象过原点；当 0.因为对称轴在y轴右侧，所以a,b异号，即 c<0时，图象交于y轴负半轴， b<0.因为函数图象交y轴于负半轴，所以c<0. 3.系数α，b共同决定图象对称轴的位置：对称 答案：D. 轴为直线x=一云当a,6同号时，对称轴在 练7如图所示为二次函数y=a.x2十bx十c的 y轴左侧；当a,b异号时，对称轴在y轴右 图象，则点P(a,c)所在的象限是 侧；当b=0时，对称轴是y轴.口诀：左同 A.第一象限 右异. B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (练7图) 预学过关 1.将函数y=x2+2x一1的图象沿x轴向右平 (2)求这个二次函数的图象的对称轴与顶点 移2个单位，所得图象对应的函数表达式为 坐标 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，画出 A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+2 这个二次函数的图象， C.y=(x-1)2+2D.y=(x-1)2-2 2.如图所示为足球守门员在点O处扔出一记 手抛高球后，足球在空中运动至落地的轨迹 .L1 是经过A,M,C三点的抛物线的一部分.其 320..34.x 2 中点A离地面1.4m,M是足球运动过程中 (第3题) 的最高点，离地面3.2m,离守门员的水平距 离为6m,C是足球落地点，则点C与守门员 之间的水平距离为 m. y/m 0 Cx/m (第2题) 3.已知二次函数y=x2-4x十3. (1)用配方法将y=x2-4x+3化成y a(x-m)2十k的形式. 494.B解析：由二次函数y=a(x一m)2十n可知，该函数 图象的顶点坐标为(m,n).由题图可知，函数图象的顶点 坐标在第四象限，所以m>0,n<0.所以一m<0,一n> 0.所以一次函数y=一mx一n的图象经过第一、二、四 象限 5.(1)y=-5x23下(2)左3上 解析：(1)将抛物线y=一5.x2先向左平移3个单位得抛 物线y=一5(x十3)2，再将抛物线y=一5(x+3)2向下 平移5个单位得抛物线y=一5(x+3)2一5.(2)将抛物 线y=一(x一1)2先向左平移3个单位得抛物线y 一(x一1+3)=一(x十2)2，再将抛物线y=一(x十 2向上平移号个单位得抛物线y=-(女+2P+2 6.2一4解析：由题意，可知y=a(x一h一3)2= 2(x+1)2,所以a=2,h=一4. 7.一3一6一6解析：将二次函数y=一3x2的图象 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物 线对应的函数表达式为y=-3(x+1)2一3.因为y= -3(x+1)2-3=-3x2-6x-6,所以a=-3,b=-6, c=一6. 8.(1)将抛物线C1:y=(x一1)2一1先向左平移2个单 位，再向下平移3个单位得到的新抛物线C2对应的函数 表达式为y=(x一1+2)2-1-3，即y=(x+1)2一4. (2)由y=(x十1)2一4，可知新抛物线C2的开口向上，对 称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1，一4）. g.(1)y=-2+1识.(2)当x=2时y=-号× (2+1)=-号因为-号≠-2，所以点B(2,-2)不在 这个函数的图象上.(3)能.设平移后的图象对应的函数 表达式为y=-2(x+1+n).把B(2,-2)代入，得 一2=一号（2+1什n,解得，=-1，=-5.所以将该 函数的图象向右平移1个单位或5个单位，即可经过 点B. 第3课时二次函数y=ax2+b.x+c(a≠0)的 图象及其特征 【新知导学】 1.(1)y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-3-1=（x 1)2-4.(2)在y=x2-2x-3中，令y=0,则x2一2x 3=0,解得x1=一1，x2=3.所以这个函数的图象与x轴 的交点坐标为(-一1,0)，(3,0).令x=0,则y=一3.所以 2 这个函数的图象与y轴的交点坐标为(0，一3).由(1)，得 这个函数的图象的顶点坐标为(1，一4)，对称轴为直线 x=1.(3)这个二次函数的图象如图所示. (第1题) 2.A解析：根据对称轴公式，可知抛物线的对称轴为直 4 4 线x=2×-2-4-1 3.D解析：因为y=一x2十6x-7=一(x-3)2十2，所 以该抛物线开口向下，对称轴为直线x=3,与y轴的交点 坐标为(0，一7)，顶点坐标为(3,2)，故选项A,B,C错误， 选项D正确. 4.C解析：由题知，将抛物线y=3x先向左平移2个单 位，所得抛物线对应的函数表达式为y=3(x十2)2，再将 抛物线y=3(x十2)2向上平移1个单位，所得抛物线对 应的函数表达式为y=3(x十2)2+1. 5.A解析：由题知，将抛物线y=x2十3x一4= (+）”一空向左平移1个单位，得到的新抛物线对应 的函数表达式为y=(+号+1-5-x+5 6.(1)设抛物线对应的函数表达式为y=a(x一4)2十 2将00.代人.得Q4=16a+2,解得a=一所以 y=-(c-4+2令-x-4P+2=0,解得x 1 1 4+25或x=4-2,5.所以y=一10x-4)+2(0≤ ≤4+25.02当y-1.6时-+2-1.6， 解得x=2或x=6.所以x的取值范围是2<x<6. 7.D解析：因为二次函数y=ax2+bx十c的图象开口 向上，与y轴交于负半轴，所以a>0,c<0.所以点P(a, c)所在的象限是第四象限 【预学过关】 1.D解析：y=x2十2x一1=(x十1)2一2.将函数图象沿 x轴向右平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为 y=(x+1-2)2-2=(x-1)2-2. 2.14解析：设抛物线对应的函数表达式为y=a(x 6)2+3.2.因为点A(0,1.4)在抛物线上，所以36a+ 3 3.2=1.4,解得a=一0.05.所以抛物线对应的函数表达 式为y=-0.05(x-6)2+3.2.当y=0时，-0.05(x- 6)2十3.2=0，解得x1=-2(不合题意，舍去)，x2=14.所 以点C与守门员之间的水平距离为14m 3.(1)y=x2一4x十3=(x一2)2-1.(2)对称轴为直线 x=2,顶点坐标为(2，一1).(3)取二次函数图象上的五个 特殊点：(0,3)，(1,0)，(2，一1)，(3,0)，(4,3)，将上述五点 描出，并用光滑的曲线顺次连结，得到如图所示的函数 图象。 32马，0人 34 -2 3 (第3题) 1.3二次函数的性质 【新知导学】 1.因为y=-2x2+4x+5=一2(x-1)2+7,所以列表 如下： 一1 0 1 2 y 5 函数的图象如图所示.结合图象，可得该函数图象的顶点 坐标为(1,7)，对称轴为直线x=1,当x1时，y随x的 增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小. 717 L--L 314 (第1题) 2.D解析：因为y=x2-2x一3=(x一1)2一4，所以二 次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1.当x=1时， y=一4；当x=-1时，y=4-4=0;当x=2时，y=1- 4=一3.所以当一1<x<2时，y的取值范围是一4 y0. 3.在y=x2一3x一10中，令y=0,则x2一3x一10=0，解 得x1=5,x2=一2；令x=0,则y=一10.所以函数图象 与x轴的交点坐标为(5,0)，（一2,0），与y轴的交点坐标 为(0，-10) 2 4.y1>y2解析：由题意，得函数图象开口向上，对称轴 为直线x=一2.因为x1<x2<一2，所以点(x1y1),(x2, y2)均在对称轴的左侧，y随x的增大而减小.所以 y1>y2. 【预学过关】 1.D解析：选项A中，该函数是一次函数，k=1>0,所 以y随x的增大而增大，不符合题意.选项B,C,D中，函 数图象的对称轴均为y轴，选项B中函数图象开口向上， 当x>0时，y随x的增大而增大，不符合题意.选项C中 函数图象开口向下，当x<0时，y随x的增大而增大，不 符合题意.选项D中函数图象开口向下，当x>0时，y随 x的增大而减小，符合题意 2.D解析：该函数图象的对称轴为直线x=一2，则将 x=一2代人函数表达式，得y=一9，所以函数的最小值 为一9. 3.D解析：抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1.因 为13-1<|4-1<|-3-1，所以y1<y2<y3· 4.16解析：该函数图象的对称轴为直线x=4,所以当 x=4时，y=0,即0=16一32十c,解得c=16. 5.<一2解析：根据题意，知函数图象的对称轴为直 线x=2,所以h=一2.因为当x>2时，y随x的增大而 减小，当x<2时，y随x的增大而增大，所以函数图象开 口向下.所以a<0, 6.(1,0),(3,0)21解析：令y=0,得0=-x2+ 4x一3，解得x1=1,x2=3.所以函数图象与x轴的交点 的坐标是(1,0)，(3,0).因为y=一x2十4x一3=一(x 2)2+1,所以当x=2时，函数y的最大值是1. 7.(1)因为y=-2x2+4x十6=-2(x-1)2+8,所以抛 物线y=一2x2+4x十6的对称轴是直线x=1,顶点坐标 是(1,8).(2)令x=0,得y=6,所以抛物线与y轴的交点 的坐标为(0,6).令y=0,得0=一2x2十4x+6,解得x1= 3,x2=一1.所以抛物线与x轴的交点的坐标为(3,0)， (一1,0).(3)当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥ 1时，y随x的增大而减小.(4)因为一2<0，所以抛物线 开口向下.所以y有最大值，当x=1时，y有最大值8. 8.(1)因为抛物线y=ax2-2x十3经过点A(2,3),所以 3=a×2一2X2十3，解得a=1.所以y=x2一2x十3= (x一1)2+2.所以抛物线的顶点坐标为(1,2).(2)因为抛 物线y=x2-2x十3的对称轴为直线x=1,且开口向上， 所以当x≤1时，y随x的增大而减小；当x≥1时，y随x 的增大而增大.因为一2m2,所以当m=1时，n有最 小值2；当m=一2时，n有最大值11.所以2n11.