1.2.1 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²(a≠0)的图象及特征，通过回顾定义类比一次函数学习路径，从特殊y=x²入手引导描点法画图，搭建从具体到抽象的认知支架。 特色在于同一坐标系对比y=2x²与y=-2x²图象，结合小组讨论和多媒体动态演示，培养几何直观与推理意识，达标测评与拓展举例强化模型应用，助力学生掌握a对图象的影响，为教师提供结构化教学流程与互动策略。

第1课时　二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 授课人 教 学 目 标 1.经历描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象的过程. 2.学会观察、归纳、概括函数图象的特征. 3.掌握二次函数y=ax2(a≠0)图象的特征. 4.经历从特殊到一般的认知过程. 教学 重点 二次函数y=ax2(a≠0)图象的描绘和图象特征的归纳. 教学 难点 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图象. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.回忆二次函数的定义. 教师提出问题,学生进行回答. 定义:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫作二次函数. 2.我们该如何研究一个函数呢?从哪些方面入手呢? 探究结论:学习一次函数时,先研究正比例函数,同样在学习二次函数时,也是从最简单的二次函数入手,先研究b,c都等于0的情况,即研究最简单的二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质. 　　让学生回忆学习函数的过程和方法,引导学生在学习过程中发现研究问题的一般规律. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:如何画出二次函数y=x2的图象呢? 师生活动:师生共同讨论,得到画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线. 1.列表: 问题:自变量该如何取值呢? 学生交流、讨论,得到结论. 二次函数y=x2中自变量的取值范围是全体实数,而且当自变量互为相反数时,对应的函数值相等,因此,以原点为中心在原点的左右两侧均匀地选取便于计算的x值即可. x … -3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.5 … y=x2 … 0 1 … 2.描点:建立适当的直角坐标系,并以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出相应的点. 3.连线:用光滑曲线顺次连结各点,在连线过程中,观察图象的形状. 　　画二次函数y=x2的图象是本节课的重点与难点,因此,需要逐步引导,而列表是三个步骤中最为关键的环节,要分析透彻,鼓励学生发表自己的看法. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征 1.二次函数y=x2的图象总结 师生活动:学生在坐标纸上画出图象,教师巡视,及时发现问题,并予以纠正、指导. 教师利用展台展示学生的优秀作品,并引导学生大胆说出图象的特征. 二次函数y=x2的图象是一条关于y轴对称、过坐标原点并向上伸展的曲线.像二次函数y=x2的图象这样的曲线叫作抛物线.抛物线与它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点. 2.观察类比,探究异同 在同一个平面直角坐标系中画出二次函数y=-2x2和y=2x2的图象,并观察这两个图象有哪些特征. 师生活动:请同学们在同一平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象,完成后观察并分组讨论图象之间的异同点. 3.总结归纳,形成规律 一般地,二次函数y=ax2(a≠0)的图象具有以下特征: 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,顶点是坐标原点.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.a影响抛物线的开口大小和方向. 练习:在平面直角坐标系中画出二次函数y=0.2x2的图象,并填空. 二次函数y=0.2x2的图象是一条开口向　上　的抛物线,对称轴是　y轴　,顶点坐标是　(0,0)　,当x=　0　时,y有最　小　值,为　0　.  [答案:图略] 　　在同一平面直角坐标系中画函数图象,使得对比更加强烈,小组讨论的学习方式可以使个人想法得到纠正和补充. 利用数学绘图软件进行动态演示,所画抛物线准确,对比明显,结论易得,使学生感受深刻. 在分析总结过程中,把所得结论填进表格,对学生思路起到了引导作用,更直观易懂. 设置同步练习,可以巩固新知,促进理解. 【应用举例】 例1　已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3). (1)求a的值,并写出这个二次函数的表达式. (2)说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置. 解:(1)把点(-2,-3)的坐标代入y=ax2,得-3=a(-2)2, 解得a=-.所以这个二次函数的表达式是y=-x2. (2)顶点为(0,0),对称轴为y轴. 因为a=-<0, 所以这个二次函数图象的开口向下,顶点是图象上的最高点,图象在x轴的下方(除顶点外). 　　二次函数y=ax2(a≠0)的图象及其特征的及时巩固. 【拓展提升】 例2　已知a≠0,b<0,则一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的图象可以是图1-2-4中的 (　C　) 图1-2-4 　例3　若抛物线y=ax2与直线y=-x交于点(1,m),求m的值及抛物线的函数表达式.[答案:m=-1,抛物线的函数表达式为y=-x2] 给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 　　例2、例3是一次函数与二次函数相结合的数形结合问题,让学生体会参数对图象的作用. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.函数y=-x2的图象是一条　抛物线　,开口向　下　,对称轴是　y轴　,顶点坐标是　(0,0)　.  2.已知抛物线y=ax2(a≠0)和直线y=kx(k≠0)的交点是P(-1,2),则a=　2　,k=　-2　.  3.已知函数y=m的图象是不经过第一、二象限的抛物线,则m=　-1　.  4.若抛物线y=ax2(a≠0)过点(-1,3). (1)a的值是　3　;  (2)对称轴是　y轴　,开口向　上　;  (3)顶点坐标是　(0,0)　,顶点是抛物线上的最　低　点;  (4)抛物线在x轴的　上　方(除顶点外).  学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　从简单的应用开始,及时巩固新知,让学生获得对二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质的深层次的理解,从多个角度进行检测,达到学有所成的目的. 【课堂小结】 1.课堂总结: 请学生回顾本课的学习内容,思考以下问题: (1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象是什么样子的? (2)二次函数y=ax2(a≠0)中的a对函数图象有什么影响? 教师提示:明确二次函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴. 2.布置作业: 教材第12页作业题T1-T6. 　　课堂小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境环节中,教师应给予充分的时间让学生交流、讨论、作图,学生通过自己作图得到函数图象;在探究新知环节中,在学生总结自己的想法和结论后,教师及时做好总结和归纳,学生接受较快,效果明显. ②[讲授效果反思] 教师引导学生在分析二次函数的图象时从以下几点进行考虑:(1)开口方向;(2)对称轴;(3)顶点坐标. ③[师生互动反思] 在教学过程中,学生充分发挥主动性,每名学生都能积极主动参与,成为课堂的主人. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $