预学储备 1.2.2 二次函数y=a(x-m)²+k(a≠0)的图象及其特征-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

毫期升级训练 数学（浙教版）八年级 第2课时 二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的 图象及其特征 新知导学 知识点1 函数y=a(x-m)2(a≠0)与y=ax2 2x2的图象经过怎样的平移得到的. 的图象之间的关系 般地，函数y=a(x一m)(a≠0)的图象 与函数y=ax2的图象只是位置不同，它可由 y=ax2的图象向右（当m>0)或向左（当m< 0)平移|m个单位得到. 例1在同一平面直角坐标系中画出二次函数 知识点2函数y=a(x一m)2(a≠0)的图象 特征 y=-x2,y=-(x+2)2,y=-(x-1)2的图 二次函数y=a(x一m)(a≠0)的图象的顶 象.请说明二次函数y=-(x十2)2，y=-(x 点坐标是(m,0),对称轴是直线x=m,当a>0 1)2的图象是由二次函数y=一x2的图象经过 时，图象开口向上，当a<0时，图象开口向下. 怎样的平移得到的. 例2说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和 解：列表如下： 对称轴 3 -2 (1)y=2(x-2)2. y=-x2 9 4 (2)y=-(x-3)2. y=-(x+2)2… 0 9 16… (3)y=3(.x+5)2. y=-(x-1)2… -16-9 解：(1)抛物线y=2(x-2)2的开口向上，顶点 函数图象如图所示.由图可知，将二次函数 坐标为(2,0)，对称轴为直线x=2. y=一x2的图象向左平移2个单位可以得到二 (2)抛物线y=一(x一3)2的开口向下，顶点坐 次函数y=一（x十2)2的图象，将二次函数 标为(3,0)，对称轴为直线x=3. y=一x2的图象向右平移1个单位可以得到二 (3)抛物线y=3(x十5)2的开口向上，顶点坐标 为（一5,0），对称轴为直线x=一5. 次函数y=-(x一1)2的图象. 练2已知二次函数y=(x一1)2. (1)怎样平移函数y=x2的图象得到函数y= (x-1)2的图象？ (2)说出函数y=(x一1)2的图象开口方向、顶 点坐标和对称轴 (例1图)》 练1在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y=2(x十3)2与y=2x2的图象，并说明二次函 数y=2(x十3)的图象是由二次函数y= 44 知识点3函数y=a(x一m)2+k(a≠ 知识点④函数y=a(x一m)2+k 0)与y=ax2图像间的关系 (a≠0)的图象特征 般地，函数y=a(x一m)2十k(a≠0)的 二次函数y=a(x-m)2十k(a≠0)的图象 图象，可以由函数y=a.x2的图象先向右（当 的顶点坐标是(，k),对称轴是直线x=m,当 m>0)或向左（当m<0)平移|m|个单位，再向 a>0时，图象开口向上，当a<0时，图象开口 上（当k>0)或向下（当k<0)平移k个单位 向下 得到 例4说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和 例3请在平面直角坐标系中画出二次函数 对称轴 y=-(x+1)2+4与y=-(x-2)2+7的图 (1)y=5.x2-2. 象，并说明二次函数y=一(x+1)2十4与 、 y=一(x一2)2+7的图象可以分别由二次函数 (2)y=-2(x-1)+5. y=一x的图象经过怎样的平移得到， (3)y=-4(x+5)2-3. 解：画出函数图象如图所示，二次函数y 解：(1)抛物线y=5x2-2的开口向上，顶，点坐 一(x十1)2十4的图象可以由二次函数y= 标为(0，一2)，对称轴为y轴 一x2的图象向左平移1个单位，向上平移4个 (2)抛物线y=- 号1)2+5的开口向下，项 单位得到；二次函数y=一（x一2)2十7的图象 可以由二次函数y=一x2的图象向右平移2个 ,点坐标为(1,5)，对称轴为直线x=1. 单位，向上平移7个单位得到. (3)抛物线y=-4(x十√5)2-3的开口向下， y 顶点坐标为（一√5，一3)，对称轴为直线 8 x=-√5. 6 练4已知一个二次函数图象的形状与抛物线 (x-2)2+7 3 y=2x2相同，它的顶点坐标为(3，一4)，求该二 y=-(x+1)2+4 1 次函数的表达式 古4书2234 (例3图) 方法归纳 抛物线y=a.x2+k(a≠0)，y=a(x-m)2,y= a(x一m)2十k与抛物线y=a.x2的形状、开口方向 均相同，且都可以由抛物线y=ax2经过平移得到. 重点掌握平移的规律：左加右减，上加下减. 练3将二次函数y=青的图象先向右平移 3个单位，再向下平移1个单位，所得图象对应 的函数表达式为 45 毫期升级训练 数学（浙教版）八年级 预学过关 1.对于二次函数y=3(x一6)2的图象，下列说 7.将二次函数y=一3x2的图象先向左平移 法中正确的是 ( 1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 A.开口向下 y=a.x2十bx+c,则a= ,b= B.对称轴为直线x=一6 C C.顶点坐标为(6,0) 8.在平面直角坐标系中，将抛物线C1:y=(x D.与y轴没有交点 1)2一1先向左平移2个单位，再向下平移 2.[2025绍兴柯桥期未]在平面直角坐标系中， 3个单位得到新抛物线C2: 将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下 (1)求新抛物线C2对应的函数表达式， 平移3个单位后，所得新抛物线对应的函数 (2)写出新抛物线C2的开口方向、对称轴和 表达式为 () 顶点坐标. A.y=(x-2)2-3B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3D.y=(x十2)2+3 3.将函数y=x2的图象用下列方法平移后，所 得的图象不经过点A(1,4)的方法是() A.向左平移1个单位 B.向右平移3个单位 C.向上平移3个单位 D.向下平移1个单位 4.若二次函数y=a(x一m)2十n的图象如图 9.已知二次函数y=a(x十m)2(a≠0)的图象 所示，则一次函数y=一mx一n的图象经过 的顶点坐标为（一1,0），它的形状与抛物线 y女相同，但开口方向相反， A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 (1)直接写出这个二次函数的表达式. C.第二、三、四象限 (2)点B(2,一2)在这个函数的图象上吗？ D.第一、三、四象限 (第4题) (3)能通过左右平移该函数的图象，使它经 5.(1)抛物线y=-5(x+3)2-5可以由抛物 过点B(2,一2)吗？若能，请写出平移方案. 线 先向左平移 个单位，再 向 平移5个单位得到 (2)抛物线y=-(x+2)2+ 可以由抛物线 y=-(x一1)2先向 平移 个 单位，再向 平移2个单位得到， 6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移3个单 位后得到抛物线y=2(x+1)2,则a= ,h= 468.列表如下： 一2 -1 0 2 y 0 … 函数y=2x2的图象如图所示。 --8 6 4 3 -5-4-3-2-1012345x -2 -3 -4 (第8题) 9.(1)把A(3,18)代入y=ax2(a≠0)，得18=a·32,解 得a=2.所以y=2x2.把B(-1,k)代人，得k=2× (一1)2=2.(2)函数图象的对称轴是y轴，顶点坐标是 (0,0),开口向上，图象在x轴的上方（除顶点外）.(3)当 x=一2时，y=2×(一2)2=8≠10，所以这个函数的图象 不经过点（一2,10）. 10.因为一次函数y=kx一2(k≠0)的图象过点 A(-1,-1),所以-1=-k-2,解得k=-1.所以一次 函数的表达式为y=一x一2.令x=0,得y=一2，所以点 G的坐标为(0，一2).所以OG=2.因为二次函数y= ax2(a≠0)的图象过点A(-1,一1)，所以-1=a×(-1)2, 解得a=一1.所以二次函数的表达式为y=一x2.联立， y=-x-2, x1=一1， x2=2, y，解得 或 ,=-1 所以点B y2=-4. 的坐标为(2，-4.所以50aw=20G·l+20G· =号X2×-1+2×2x2=1+2=3. 第2课时二次函数y=a(x一m)2+k(a≠0)的 图象及其特征 【新知导学】 1.在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=2x2与 y=2(x+3)2的图象如图所示.将二次函数y=2x2的图 象向左平移3个单位得到二次函数y=2(x+3)2的 2 图象 y 5 3 y=2(x+3) 1 y=2x -5-4-3-2-10 12345x -2 (第1题) 2.(1)将函数y=x2的图象向右平移1个单位得到函数 y=(x一1)2的图象.(2)函数y=(x-1)2的图象开口向 上，顶点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=1. 3y=号(c-3)-1解析：先将二次西数y=号x的 1 图象向右平移3个单位，所得图象对应的函数表达式为 y=3x-3):再将二次函数y=3(x-3)2的图象向 下平移1个单位，所得图象对应的函数表达式为y= 3(x-3-1 4.因为一个二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同， 所以设这个二次函数的表达式为y=2(x一m)2十k.因为 这个二次函数图象的顶点坐标为(3，一4)，所以m=3, k=一4.所以这个二次函数的表达式为y=2(x一3)2一4. 【预学过关】 1.C解析：由y=3(x一6)2可知，该函数的图象开口向 上，对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,0).令x=0,得 y=108,所以该函数图象与y轴有交点，且交点坐标为 (0,108).故选项C说法正确， 2.C解析：将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛 物线对应的函数表达式为y=(x十2)；再将抛物线y= (x十2)向下平移3个单位.所得抛物线对应的函数表达 式为y=(x十2)2-3. 3.D解析：选项A:平移后，得函数y=(x十1)2的图 象，当x=1时，y=4,所以图象经过点A,该选项不合题 意.选项B:平移后，得函数y=(x一3)2的图象，当x= 1时，y=4,所以图象经过点A,该选项不合题意.选项C: 平移后，得函数y=x2+3的图象，当x=1时，y=4,所以 图象经过点A,该选项不合题意.选项D:平移后，得函数 y=x2一1的图象，当x=1时，y=0≠4，所以图象不经过 点A,该选项符合题意. 2 4.B解析：由二次函数y=a(x一m)2十n可知，该函数 图象的顶点坐标为(m,n).由题图可知，函数图象的顶点 坐标在第四象限，所以m>0,n<0.所以一m<0,一n> 0.所以一次函数y=一mx一n的图象经过第一、二、四 象限 5.(1)y=-5x23下(2)左3上 解析：(1)将抛物线y=一5.x2先向左平移3个单位得抛 物线y=一5(x十3)2，再将抛物线y=一5(x+3)2向下 平移5个单位得抛物线y=一5(x+3)2一5.(2)将抛物 线y=一(x一1)2先向左平移3个单位得抛物线y 一(x一1+3)=一(x十2)2，再将抛物线y=一(x十 2向上平移号个单位得抛物线y=-(女+2P+2 6.2一4解析：由题意，可知y=a(x一h一3)2= 2(x+1)2,所以a=2,h=一4. 7.一3一6一6解析：将二次函数y=一3x2的图象 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物 线对应的函数表达式为y=-3(x+1)2一3.因为y= -3(x+1)2-3=-3x2-6x-6,所以a=-3,b=-6, c=一6. 8.(1)将抛物线C1:y=(x一1)2一1先向左平移2个单 位，再向下平移3个单位得到的新抛物线C2对应的函数 表达式为y=(x一1+2)2-1-3，即y=(x+1)2一4. (2)由y=(x十1)2一4，可知新抛物线C2的开口向上，对 称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1，一4）. g.(1)y=-2+1识.(2)当x=2时y=-号× (2+1)=-号因为-号≠-2，所以点B(2,-2)不在 这个函数的图象上.(3)能.设平移后的图象对应的函数 表达式为y=-2(x+1+n).把B(2,-2)代入，得 一2=一号（2+1什n,解得，=-1，=-5.所以将该 函数的图象向右平移1个单位或5个单位，即可经过 点B. 第3课时二次函数y=ax2+b.x+c(a≠0)的 图象及其特征 【新知导学】 1.(1)y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-3-1=（x 1)2-4.(2)在y=x2-2x-3中，令y=0,则x2一2x 3=0,解得x1=一1，x2=3.所以这个函数的图象与x轴 的交点坐标为(-一1,0)，(3,0).令x=0,则y=一3.所以 2 这个函数的图象与y轴的交点坐标为(0，一3).由(1)，得 这个函数的图象的顶点坐标为(1，一4)，对称轴为直线 x=1.(3)这个二次函数的图象如图所示. (第1题) 2.A解析：根据对称轴公式，可知抛物线的对称轴为直 4 4 线x=2×-2-4-1 3.D解析：因为y=一x2十6x-7=一(x-3)2十2，所 以该抛物线开口向下，对称轴为直线x=3,与y轴的交点 坐标为(0，一7)，顶点坐标为(3,2)，故选项A,B,C错误， 选项D正确. 4.C解析：由题知，将抛物线y=3x先向左平移2个单 位，所得抛物线对应的函数表达式为y=3(x十2)2，再将 抛物线y=3(x十2)2向上平移1个单位，所得抛物线对 应的函数表达式为y=3(x十2)2+1. 5.A解析：由题知，将抛物线y=x2十3x一4= (+）”一空向左平移1个单位，得到的新抛物线对应 的函数表达式为y=(+号+1-5-x+5 6.(1)设抛物线对应的函数表达式为y=a(x一4)2十 2将00.代人.得Q4=16a+2,解得a=一所以 y=-(c-4+2令-x-4P+2=0,解得x 1 1 4+25或x=4-2,5.所以y=一10x-4)+2(0≤ ≤4+25.02当y-1.6时-+2-1.6， 解得x=2或x=6.所以x的取值范围是2<x<6. 7.D解析：因为二次函数y=ax2+bx十c的图象开口 向上，与y轴交于负半轴，所以a>0,c<0.所以点P(a, c)所在的象限是第四象限 【预学过关】 1.D解析：y=x2十2x一1=(x十1)2一2.将函数图象沿 x轴向右平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为 y=(x+1-2)2-2=(x-1)2-2. 2.14解析：设抛物线对应的函数表达式为y=a(x 6)2+3.2.因为点A(0,1.4)在抛物线上，所以36a+ 3