整合提优 专题8 一次函数与几何图形的综合-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

期升级训练 数学（浙教版）八年级 专题八一次函数与几何图形的综合 专题解读 初中阶段，我们已经学习了三角形、四边形等基本几何图形.一次函数与几何图形的综合问 题，是将一次函数图象与三角形、四边形有机结合，综合运用一次函数的图象与性质、三角形及四 边形的概念、性质求解的一类题型，解决此类综合问题的核心是运用数形结合思想与转化思想，关 键是借助一次函数图象的交点、关键点的坐标，结合图形的几何特征（边长、角度、对称性等），将几 何问题转化为代数问题，进而分析求解： 类型一一次函数图象与三角形的综合 1)在△AOB的内部（不含边界），则m的值 可能是 (写出一个即可). 1如图，一次函数y}十6的图象与：菊、 B y轴分别交于点A,B,过点B的直线1平分 △ABO的面积，交x轴于点C,则直线L对 0 应的函数表达式为 () A (第3题) 4.如图，过点A(2,0)作x轴的垂线，与正比例 函数y=x和y=3x的图象分别交于点B, C,则△OCB的面积为 C 0 y /y=3x (第1题) C A.y= 1+6 B.y=2x+6 B ∥A(2,0) C.y= 32+6 D.y= 2x+6 (第4题) 2.如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为 5.如图，直线y=k1x十b1与y=k2x十b2相交 于点A(一2,0)，两直线与y轴分别交于点 (3,2),Rt△ABC的顶点A,C的坐标分别为 B,C,且与y轴围成的△ABC的面积为4，则 (-1,0),(2,0),∠CAB=90°，BC=5.把 b1一b2的值为 Rt△ABC向右平移，当点B落在直线CD上 时，线段BC扫过的面积是 y=k x+b y=hx+b2 A 22Q C (第5题) (第2题) 6.[2024杭州西湖期末]已知一段钢筋长 A.12B.15 C.16D.20 90cm,把它折弯成一个等腰三角形框，其底 边长记为xcm,腰长记为ycm 3.新考向结论开放题如图，直线y=一 3 22+ (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的 3与x轴、y轴分别交于点A,B,点P(m, 取值范围. 32 2整合提优 (2)当x=40时，求函数y的值，并求出此时 类型二一次函数图象与四边形的综合 等腰三角形的面积 8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的 顶点C的坐标为（一1,0），点B的坐标为(0， 2),AC⊥x轴，点A在第二象限.直线y= 2+5与x轴y轴分别交于点N,M.将 菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点 D落在△MON的内部（不包括三角形的 边)时，m的值可能是 () A.1 B.2 C.4 D.8 (第8题) (第9题) 9.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点， 7.分类讨论思想如图，直线1对应的函数表达 四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(10， 4 式为y=一3x十6，它与两坐标轴分别交于 0),点B的坐标为(4,8)，直线AC交y轴于 点D,CB边交y轴于点E,连结BD,动点P A,B两点，其中点B的坐标为(0,4). 从点C出发，沿折线C-B-A以2个单位/秒 (1)求点A的坐标 的速度向终点A匀速运动.设△PDB的面 (2)动点C从y轴上的点(0,10)出发，以每 积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，则当 秒1个单位的速度向y轴的负半轴运动，连 点P在BA上运动时，S关于t的函数表达 结AC.当△ABC为轴对称图形时，求点C 式为 () 运动的时间. A.S=15-3t B.S=3t C.S=5t-25 D.S=10t-50 10.把正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正 方形ABCC2,…按如图所示的方式放 置，点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分 0 A 别在直线y=kx十b(k>0)和x轴上.已知 (第7题) 点B1的坐标为(1,1)，点B2的坐标为(3， 2),则点B.的坐标为 () B 70CC2 (第10题) A.(2m-1,2m-1)B.(2m-1+1,2m-1) C.(2m-1,2n-1)D.(2m-1,n) 33 期升级训练 数学（浙教版）八年级 11.如图，四边形ABCD是正方形，点B,C分 12.如图，四边形OABC是平行四边形，其中点 别在正比例函数y=2x和y=k.x的图象 A的坐标是(10,0)，点O的坐标是(0,0)， 上，点A,D在x轴上 点C的坐标是(4,6). (1)若正方形ABCD的边长为2，则k的值 (1)点B的坐标为 为 (2)分类讨论思想已知D是线段CB上的 (2)若正方形ABCD的边长为a,则k的值 一个动点，连结OD,AD.若△OAD是等腰 是否会发生变化？若不会发生变化，请说明 三角形，求点D的坐标 理由；若会发生变化，请求出k的值， (3)已知直线y=kx十b将□OABC分成 2 /y=2x 面积相等的两部分，请直接写出k关于b的 y=kx 函数表达式. O A D (第11题) (第12题) 34△PDE≌△CDF,所以PE=CF=xcm.由折叠，得 AE=PE,BF=DF,所以PE=AE=BG=xcm.所以 AD=BC=(2x+3)cm,DF=BF=(x+3)cm. Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2=CF2+CD2,所以 (+3》=+所以=名所以5C=2×号+3 (cm. 3 B G (第10题) 方法归纳 解决矩形折叠问题的方法 1.由折叠的性质，知折叠前、后的对应线段相等、 对应角相等。 2.这类问题往往可以通过折叠的性质将对应线段 或对应角转换到同一个直角三角形中，利用勾股定理 来求解。 11.连结EE,交AD于点G.由翻折，可知EE⊥AD, EG=EG.所以∠DGE=90°.因为四边形ABCD是正方 形，所以∠ADE=45°.所以△DGE是等腰直角三角 形.因为DE=22,所以易得EG=DG=2.所以E'G= 2.所以EE=4.因为DE=2EO,所以EO=√2.所以 DO=DE+EO=3√2.因为四边形ABCD是正方形， 所以AO=DO=3W2,AC⊥BD.所以∠AOD=90°.在 Rt△ADO中，由勾股定理，得AD=√AO+DO=6.所 以AG=AD-DG=4.所以△AEE'的面积=号EE· AG=&因为F是AE的中点，所以AF=AE.所以 △AFE'的面积=号×△AEE'的面积=4 12.连结DE.因为沿过点A的直线折叠，使得点B落在 边AD上的点F处，所以易得∠EAD=45°.因为第二次 折叠后，点M正好在∠NDG的平分线上，所以易得点E 在∠CDG的平分线上，即DE平分∠CDG.所以 ∠GDE=∠CDE.因为DG为折痕，所以∠DGE ∠DGA=90°.因为四边形ABCD是矩形，所以∠C= 90°.所以∠DGE=∠C.又因为DE=DE,所以△DGE≌ △DCE.所以DG=DC.因为∠EAD=45°，∠DGA=90°， 所以易得△AGD为等腰直角三角形.由勾股定理，易得 AD=√2DG,所以AD=√2DC,即AD:DC=√2.所以矩 形ABCD的长边长与短边长的比值为√2. 13.D 14.因为将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,所以 AE=CE,DE=EF.所以四边形ADCF是平行四边 形.因为D,E分别是边AB,AC的中点，所以DE是 △ABC的中位线.所以DEBC.因为∠ACB=90°，所以 ∠AED=90°.所以DF⊥AC.所以四边形ADCF是菱 形.所以AD=DC=AF=CF.在Rt△ABC中，AC= BC=4,所以AB=4√2.因为D是边AB的中点，所以 AD=2√2.所以四边形ADCF的周长为2√2×4=8√2. 15.(1)因为D是AC的中点，所以AD=CD,AC= 2CD.因为AC=2BC,所以CD=BC.因为将△ADE绕 点E旋转180°得△BFE,所以BF=AD,∠A= ∠FBE.所以BFCD,BF=CD.所以四边形BCDF是 平行四边形.因为CD=BC,所以□BCDF为菱形.(2)令 BD和CF的交点为O.因为AC=6,所以BC=2AC- 3.设BD=x,CF=y,则x+y=7.由(1)，得四边形 BCDF是菱.形所以CFLBD,OB=号BD=号x,OC- CF=所以0B+Ox=B,即（分）°+ (2x)=9.整理，得x2+y=36.因为x2+y2=(x+ yP-2y,所以7-2y=6所以xy=号所以四边形 BCDF的面积为2y= 113 专题八一次函数与几何图形的综合 1D解析：因为一次函数y=子x十6的图象与x轴。 y轴分别交于点A,B,令y=0,得x=一8，令x=0,得 y=6,所以A(-8,0),B(0,6).因为过点B的直线1平分 △ABO的面积，所以AC=OC.所以C(一4,0).设直线l 对应的函数表达式为y=x十6.把C(一4,0)代入，得 一十6=0，解得k=号.所以直线1对应的函数表达式 3 为y=2x十6. 2.D解析：设直线CD对应的函数表达式为y=kx十 2k+b=0, k=2, b.把C(2,0),D(3,2)代人，得{ k+6=2.解得 b=一4， 所以直线CD对应的函数表达式为y=2x一4.因为 A(-1,0),C(2,0),所以OA=1,OC=2.所以AC=3.因 为BC=5,∠CAB=90°，所以AB=√52-32=4.当y= 6 4时，4=2x一4，解得x=4.所以当点B落在直线CD上 时，对应的坐标为(4,4).所以线段BC扫过的面积=5× 4=20. 3.答案不唯一，如1 4.4解析：把x=2分别代人y=x和y=3x,可得点B 的坐标是(2,2)，点C的坐标是(2,6)，所以BC=6一2= 4.因为点A的坐标是(2,0)，所以OA=2.所以S△cB 号0.aA=号×4xg= 5.4 6.(1)由题意，得x+2y=90,x>0,2y>x.整理，得 y=一x十45(0<<45.所以y关于x的函数表达式 为y=一号x+45,自变量x的取值范围是0心x<46, (2②当x=40时y=-号×40十5=25.所以易得底边 上的高为√25一202=15(cm).所以等腰三角形的面积 是2×40X15=300(cm). 7.(1)将(0,4)代入y=-3x+b,得6=4，所以直线1 对应的团数未达式为y=一号x十4.令y=0,得0 -3x十4，解得x=3.所以点A的坐标是(3,0).(2)当 4 △ABC为轴对称图形时，△ABC为等腰三角形.因为 A(3,0),B(0,4),所以OA=3,OB=4.所以AB= √32+4=5.分情况讨论：当AB=BC=5时，若点C在 点B的上方，则OC=OB+BC=9,此时点C运动的时间 为(10一9)÷1=1（秒）；若点C在点B的下方，则OC= BC一OB=1,点C的坐标为(0，一1)，此时点C运动的时 间为(10+1)÷1=11（秒）.当AB=AC=5时，易得点C 的坐标为(0，一4)，此时点C运动的时间为[10 (一4)]÷1=14（秒）.当AC=BC时，点C在点O,B之 间，设AC=BC=a,则OC=4一a.在Rt△ACO中， 0A+0C=AC,即3+(4-a)-a,解得a-罗所 以0C=4-三-名所以点C的坐标为(0，），此时点 C运动的时间为(10-)÷1=径（秒）.综上所述，当 △AC为轴对称图形时，点C运动的时间为1秒或11秒 或14秒或尽秒 8.C解析：因为菱形ABCD的顶点C的坐标为（一1， 0),点B的坐标为(0,2)，AC⊥x轴，所以易得点D的坐 标为（一2,2）.所以菱形ABCD沿x轴向右平移2个单位 时，点D在OM上在y-号x+5中，令y-2则 1 x十5=2，解得.x=6.所以菱形ABCD沿x轴向右平 移2十6=8（个）单位时，点D在MN上.因为点D落在 △MON的内部（不包括三角形的边），所以2<m<8.所 以m的值可能是4. 9.C解析：因为四边形ABCO是菱形，点A的坐标为 (10,0),点B的坐标为(4,8)，所以易得BC=OA=10, C(一6,8).设直线AC对应的函数表达式为y=kx十b.因 1 10k十b=0, 为直线过点A,C,所以 解得=一之所 -6k+b=8 b=5. 1 以直线AC对应的函数表达式为y=一2x十5当x一 0时，y=5,即D(0,5).所以ED=E0-OD=8-5=3.设 点D到直线AB的距离为h.由S△AC=S△Am十S△CD, 得7C·0E=ABh+2·ED.即号×10X8= ×10h十号X10X3,解得h=5.当点P在BA上运动 1 时，BP=2-10.所以s-A·B即=号×5(2-10) 5t-25. 10.A解析：因为点B,的坐标为(1,1)，点B2的坐标为 (3,2),所以正方形A,B,C,O的边长为1，正方形 A2B,CC,的边长为2.所以点A,的坐标为(0,1)，点 A2的坐标为(1,2).把(0,1)，(1,2)代入y=kx十b(k 么1。解得1”月 0),得 所以直线A,A2对应的函数 k+b=2, b=1. 表达式为y=x十1.因为点B,的坐标为(3,2)，所以点 A3的坐标为(3,4).所以易得点B3的坐标为(7,4).依此 规律，点B,的横坐标为2”一1，纵坐标为2”.所以点Bm 的坐标为(2”一1,2-1). 1) .解析：因为正方形ABCD的边长为2， 所以AB=CD=AD=2.所以点B,C的纵坐标为2.在 y=2x中，令y=2,得x=1,所以B(1,2).所以OA= 1.所以OD=1+2=3.所以点C的坐标为(3,2).将C(3, 2代人y=,得2=3，解得5=号 (2)k的值不会发生变化.理由：因为正方形ABCD的边 长为a,所以AB=CD=AD=a.所以点B的纵坐标为 a.在=2z中，令y-a,得x-号所以B(受，a)所以 QA=号所以0D=号+a=子a.所以点C的坐标为 (侵aa)将C(侵aa)代入y=k,得a=k·号a,因 为a≠0，所以k=号所以的值不会发生变化 12.(1)(14,6).(2)因为D是线段CB上一个动点，所以 设D(m,6)(4≤m≤14).因为△OAD是等腰三角形，所 以分情况讨论：①当OD=OA=10时，OD= √m十6=10，所以m=8(负值舍去).所以D(8,6), ②当OD=AD时，点D在OA的垂直平分线上，所以 D(5,6).③当OA=AD=10时，AD=√(10-m)2+6= 10,所以m=2或18.因为2<4,18>14，所以均不合题 意，舍去.综上所述，D(8,6)或(5,6).(3)如图，连结AC, OB交于点E.因为四边形OABC是平行四边形，所以 AE=CE.因为点A的坐标是(10,0)，点C的坐标是(4， 6),所以E(7,3).因为直线y=kx十b将□OABC分成面 积相等的两部分，所以直线y=kx十b过点E(7,3).所以 3=张+6所以63学，即关于6的园数表达式为k= y个 7B 0 (第12题) 整合提优自主检测 -、1.A2.C 3.C解析：因为AB=AC,∠B=35°，所以∠B=∠C= 35.所以∠BAC=110°.当∠BAD=90°时，∠DAC 110°-90°=20°.当∠ADB=90°，即AD⊥BC时， ∠ADC=90°.所以∠DAC=180°-∠ADC一∠C= 55°.综上所述，∠DAC的度数为20或55°. 4.C解析：如图，在AC上截取AE=AB,连结DE.因 为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠EAD.在△ABD和 AB=AE. △AED中，」 ∠BAD=∠EAD,所以△ABD≌△AED.所 AD-AD, 以BD=ED,∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE.因为 ∠B=2∠ADB,所以∠AED=2∠ADB=∠BDE.因为 ∠CED=180°-∠AED,∠CDE=180°-∠BDE,所以 ∠CED=∠CDE.所以CD=CE.所以AC=AE+CE= AB+CD=3+5=8. C E (第4题) 5.B解析：设他们每次搬运货物x箱.根据题意，得 60十80十40x≤10，第得<号因为x为正整数，所以 x的最大值为21.所以他们每次最多搬运货物21箱. 6.B解析：因为x2+y2+13=4y一6x,所以x2+6x+ 9+y2-4y+4=0.所以(x十3)2+(y-2)2=0.所以x+ 3=0,y-2=0.所以x=-3,y=2.所以√6y-47= √6X2-4×(-3)=2W6 7.C解析：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD, OC=7AC=1,0B=2BD=4因为△B0C绕若点C旋 转180°得到△B'O'C,所以∠O=∠BOC=90°，OC= OC=1,OB'=OB=4.所以AO'=AC+O'C=3.所以 AB=AO+BO=5. 8.C解析：连结DN.因为E,F分别为DM,MN的中 点，所以ED=EM,MF=FN,EF=号DN.所以当DN 的长最大时，EF的长最大；当DN的长最小时，EF的长 最小.当点N与点B重合时，DN的长最大，此时DN= DB=√JAD+AB=√5+12=13.所以EF长的最 大值为2X13=65当点V与点A重合时，DN的长最 小，此时DN=AD=5所以EF长的最小值为号×5 2.5.所以2.5EF6.5.所以EF的长可能为4. 9C解析：因为宜线y=-之十2与x轴交于点B,与 y轴交于点A,以易得A(0,2),B(4,0).所以OA=2, OB=4所以△AOB的面积为2×2×4=4.易知OB,= B,B=20B=2,AB,=0A=1,所以△，B,0的面 积为时×2X1=1同理，可得△A,B,B的面积为子， △A,B,B,的面积为6…所以△A,B.B1(n≥2)的 面积为宁 1 10.D解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AD= CD,∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°.由折叠，可知 EC=EF,DF=DC,∠DFE=∠C=90°，所以∠DFG= 90°=∠A,DF=DA.在Rt△ADG和Rt△FDG中， DG=DG, 所以Rt△ADG≌Rt△FDG.所以AG= DA=DF, FG.所以AG十EC=FG十EF=GE.故①正确.因为正方 形ABCD的边长是12，所以AB=BC=12.所以△BGE 的周长为BG+BE十GE=BG+BE+AG+EC=AB+ 8