整合提优 专题3 不等式(组)的解集及特殊解的应用-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

2整合提优 专题三 不等式（组)的解集及特殊解的应用 专题解读 与一元一次不等式（组）的解集、特殊解相关的应用问题，常见题型有四类：(1)利用数轴确定 一元一次不等式（组）的整数解；(2)已知不等式（组）的解或解集，确定式中字母的值或取值范围； (3)已知不等式（组）的整数解或整数解的个数，确定式中字母的值或取值范围；(4)利用一元一次 不等式（组）的整数解解决实际应用问题.解决此类问题，常运用数形结合思想，借助数轴直观分 析、求解. 77☑ 类型一求一元一次不等式（组）的整数解 类型二 由不等式（组）的解（解集）确定字母的 1.[2025嵊州期末]不等式9.x+3≥7x一2的最 值或取值范围 小整数解是 x+7>3x-3, 5.若不等式组 的解集为x<5, A.-2B.-1 C.0 D.1 x-1<m 5x-1>3.x-4, 则m的取值范围是 2.下列各数中，不是不等式组 6.已知3是关于x的不等式3x-ax+2 2 的整数解的为 2的一个解，则a的取值范围泉 A.-2B.-1C.0 D.1 3.若x=-3是关于x的方程x一m=1的解， 1-2x<5, 7.已知关于x的不等式组 有解，则 则关于y的不等式2(1-2y)≥-6+m的最 2x+a≤4 大整数解为 a的取值范围是 f3.x+1<2(x+2)①， 8.(1)已知x=a+2,x<8,求a的取值范围 的最小整数 (2)已知关于x的不等式x一a≤2的解集 不等式组1<5x+2② 中，所有x的值均在x<8的范围内，求a的 解是关于x的方程mx+6=x一2m的解，求 取值范围. m的值. x-a≤2， (3)已知关于x的不等式组 2a>-1的解 集中，所有x的值均在2≤x<8的范围内， 求a可取的整数值， 21 毫期升级训练 数学（浙教版）八年级 类型三由整数解（或整数解的个数）确定 四宝”的数量必须少于甲型号的“文房四宝” 字母的值或取值范围 数量的3倍，则有哪几种购买方案？ 9.[2025金华金东期未]若关于x的不等式x b>0恰有两个负整数解，则b的取值可能是 () A.3 B.2 C.-2 D.-3 3.x-a≥0， 10.若关于x的不等式组 的整数解 2x-b≤0 只有1,2,3，则a的取值范围是 .b 的取值范围是 x一2x-1 11.若关于x的不等式组 4 3’有且 13.新情境生活实际某学校开展“健康校园，阳 2x-m≤2-x 光跳绳”活动，为此学校准备购买A,B,C 只有两个整数解，求m的取值范围. 三种绳子.已知某厂家的绳子的规格与价格 如下表： 绳子种类 A B C 长度/米 8 6 4 价格/（元/根） 12 8 6 (1)已知购买A,B两种绳子共20根，花了 180元，则A,B两种绳子各购买了多少根？ (2)若该厂家有一根长200米的绳子，现将 其裁成A,C两种绳子销售，总价为240元， 类型四不等式（组）的整数解在实际问题中的 则剩余的绳子最多可裁成几根B种绳子？ 应用 (3)若该厂家有一根长200米的绳子，现将 12.*新情境传统文化[2024绍兴诸暨期中]“文 其裁成A,B,C三种绳子共40根（没有剩 房四宝”，即笔、墨、纸、砚，是我国独有的书 余)销售给学校，学校要求A种绳子的数量 法工具.某校开设了书法社团，计划为学生 少于B种绳子的数量，但不少于B种绳子 购买甲、乙两种型号“文房四宝”.经过调查 数量的一半，请写出所有的裁剪方案， 得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套 乙型号的价格贵40元，购买5套甲型号“文 房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用 1100元 (1)甲、乙两种型号的“文房四宝”每套的价 格分别是多少？ (2)若该校需购买甲、乙两种型号的“文房 四宝”共120套，总费用不超过8500元，并 且根据学生需求，要求购买乙型号的“文房 222=12.5.综上所述，t=4.5或12.5. 15.(1)设直线AC对应的函数表达式为y=kx+b.将 3k+b=0 4 A(3,0),C(9,8)代入，得 解得了‘所以 (9k+b=8 b=一4. 直线AC对应的函数表达式为y=兰一4.（②）因为，点C 的坐标为(9,8)，CD∥x轴，所以D(0,8),CD=9. 因为E是OD的中点，所以DE=OE.因为CD∥x轴， 所以∠DCE=∠OFE,∠CDE=∠FOE.所以△EDC≌ △EOF.所以CD=FO=9.因为点A的坐标为(3,0)，所 以OA=3.所以AG=AF=OF+OA=12.过点C作 CHLx轴于点H,则CH=&所以Sm=AG· CH=名×12X8=48(3)存在，分情况讨论：①当 ∠FCG=90时，因为AG=AF,所以AC是Rt△FCG的 斜边FPG上的中线.所以AF=2FG=AC.过点C作 CM⊥x轴于点M.所以∠CMA=90°.由(1)，易得在 Rt△ACM中，CM=8,AM=9一3=6，所以AF=AC= √62+82=10.因为点A的坐标为(3,0)，所以点F的坐 标为（一7,0）.设直线CF对应的函数表达式为y=z十 9m十n=8, n.将C(9,8),F(-7,0)代人，得 解得 -7n十n=0, m21 7 所以直线C℉对应的函数表达式为y=2x十 2 名令x=0,则y-子所以点E的坐标为(0，号》所以 1-号.@当∠CGF=90时，易得点G的坐标为(9,0.因 为点A的坐标为(3,0)，所以AF=AG=9一3=6.所以点 F的坐标为（一3,0）.同理，易得直线CF对应的函数表达 式为y=号x十2令x=0,则y=2.所以点E的坐标为 (0,2).所以t=2.综上所述，t的值为2或2. 专题三不等式（组)的解集 及特殊解的应用 1.A2.A 3.3解析：把x=一3代人方程x一m=1,得一3一m= 1,解得m=一4.把m=-4代人不等式，得2(1一 2y)≥一6一4，解得y3.所以所求最大整数解为3. 4.解不等式①，得x<3;解不等式②，得x≥一1.所以该 不等式组的解集为一1≤x<3.所以该不等式组的最小整 数解为-1.把x=一1代入方程mz+6=x一2m,得 一m十6=-1一2m,解得m=一7. x+7>3x一3①， 5.m≥4解析：记 解不等式①，得x< x-1<n②. 5;解不等式②，得x<m十1.又因为不等式组的解集为 x<5,所以m+1≥5，解得m≥4. 6a<4解析：因为3是关于x的不等式3-a+2 2 号的-个第所以9-出士>2，解得a< 7.a<8解析：解不等式1-2x<5,得x>-2.解不等 式2z十a<4,得x≤经2，因为关于x的不等式组 1-2x<5, 2x+a4 有解，所以-2<号，解得a<& 8.(1)因为x=a十2，x<8,所以a十2<8，解得a<6. (2)由x-a≤2，可知x≤a十2.因为关于x的不等式 x一a≤2的解集中，所有x的值均在x<8的范围内，所 以a十2<8，解得a<6.(3)解不等式组，得>-1 {xa十2， 因 |a十2<8， 为所有x的值均在2x<8的范围内，所以 解 a-1≥2， 得3≤a<6.所以a可取的整数值是3,4,5. 9.D10.0<a≤36≤b<8 ”解不等式①，得x>一2；解不等 2x-m2一x②， 式②，得x<”十2.因为不等式组有且只有两个整数解， 3 所以整数解为-10所以0，解得-2Sn< 12.(1)设甲型号的“文房四宝”每套的价格为a元，则乙 型号的“文房四宝”每套的价格为(a一40)元.根据题意， 得5a+10(a-40)=1100,解得a=100.所以a-40= 100一40=60.答：甲型号的“文房四宝”每套的价格为 100元，乙型号的“文房四宝”每套的价格为60元.(2)设 购买甲型号的“文房四宝”x套根据题意，得 (100x+60(120x)8500, 解得30<x≤32.5.因为x 120-x<3x, 为整数，所以x=31或32.所以有两种购买方案.方案一： 购买甲型号的“文房四宝”31套，乙型号的“文房四宝” 89套；方案二：购买甲型号的“文房四宝”32套，乙型号的 “文房四宝”88套. 方法归纳 利用不等式组解决方案决策问题的方法 一般先根据题中的不等关系列不等式组，再根据 不等式组的整数解确定有哪几种方案，最后通过分析、 比较，确定出最优方案. 1 13.(1)设A种绳子购买了x根，B种绳子购买了 y根由题意，得+y=20, 解得=5， 所以A种 12x+8y=180, y=15. 绳子购买了5根，B种绳子购买了15根.(2)设A种绳子 裁了a根，C种绳子裁了c根，则12a+6c=240.化简，得 c=40一2a.所以剩余绳子的总长度为200一8a一4c= 200一8a一4(40一2a)=40(米).因为40÷6=6（根）. 4(米)，所以剩余的绳子最多可裁成6根B种绳子.(3)设 A种绳子裁了m根，B种绳子裁了n根，C种绳子裁了 /8m+6n+4t=200 t根.由题意，得 所以2m十n=20.所 {m+n+t=40, 以n=20-2m.由题意，得2≤m<,所以10-m≤m< 20一2m,解得5≤m<碧因为m是整数，所以m=5或 6.当m=5时，n=20-10=10,t=40-5-10=25:当 m=6时，n=20一12=8，t=40-6-8=26.所以A,B,C 三种绳子分别裁了5根、10根、25根或6根、8根、26根. 专题四二次根式的性质与计算 1.A 2.A解析：因为√a+b+5≥0，|2a-b+1|≥0，且 √a+b+5+|2a-b+1|=0,所以√a+b+5=0,|2a a+b+5=0, a=-2, b+1|=0.所以 解得 所以(b一 2a-b+1=0, b=-3. a)2025=(-1)2025=-1. 3.x3 4.10解析：由题意，得3a一6≥0,2-a≥0，所以a= 2.所以b=4.分情况讨论：①当2为腰长时，三条边的长 分别为2,2,4.因为2十2=4，所以不能组成三角形.②当 2为底边长时，三条边的长分别为2,4,4.因为2+4>4， 所以能组成三角形.所以周长为2十4+4=10.综上所述， 此等腰三角形的周长为10. 5.D解析：由数轴，易知m一n<0,2m十n<0,m<0,所 以原式=2m-n-|2m+nl-|m=-2m+2n+2m+ n+m=3n十m. 6.C解析：原式=√(2x-1)7-(1-3x)=|2x-1 1+3x.由√/1-3x有意义，可知1-3x≥0，所以x≤ 所以2x-1≤-号<0所以原式=1-2x-1十 1 3x=x. 易错分析 易忽视题目中的隐含条件 给出算式要求化简，则说明原式一定有意义，这是 题目的隐含条件，在求解时若忽视这一条件，则容易造 成化简失误.本题的解题关键是确定x的取值范围， 7.因为√x2一4x十m=√(x一2)2十m-4,且无论x取 任何实数，代数式√x2一4a十m都有意义，所以m一4≥ 0.所以m≥4.当m≥4时，√(m-3)+√(4-m)7= (m-3)+(m-4)=2m-7. 8.A9.C10.2-√3 11.因为(6+√1Π)2=17+2√66，（√14+√3）=17+ 2√42,17+2/66>17+2/42，所以（√6+11）2> (√4+3)2.又因为√6+√1I>0,√14十3>0，所以 √6+√I>√14十5， 12.(1)原式=2√5+2+5-(4+43+3)=33+2 7-45=-√5-5.(2)原式=9-2+8=7+22. 1a因为原++√/得=5+25+-28-=m+ 7 nB,m,n均为有理数，所以m=0,n=2.所以(m一 +2=(0-）}+2x9+1平 14.原式= x-y x十y L(x+y)-+x+y)x-」÷ x+西+-·y(x+y)2因为 2x x一y1 5+3,y=5-3,所以xy=(5+√3)×(W5-√3)= 2,x-y=(5+√3)-(5-√5)=23.所以原式= 2xy_2X223 x-y233 15.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√10+√2， B=√而-√2，所以R△ABC的面积=AC,BC_ 2 (而+②)（而-2）-10-2=4.(2)在R△ABC 2 2 中，∠C=90°，AC=√10+√2，BC=√0-√2，所以 AB=√AC+BC=√（√10+√2）2+（√10-√2）2= 26.(3)因为Rt△ABC的面积是4，AB=2√6，所以边 AB上的高是4X2=26 263 16.(1)如图，分别过点E,D作EG⊥AB,DH⊥AB,垂 足分别为G,H.所以EG∥DH.因为CD∥AB,所以易得 四边形DEGH是矩形.所以EG=DH=10m,ED= GH=3m,∠DHA=∠EGF=90°.因为∠DAH=45°，所 以∠ADH=45°=∠DAH.所以AH=DH=10m.在 Rt△EFG中，i=1:3=EG:FG,所以FG=√3EG= 10W3m.所以AF=FG+GH-AH=10√3+3-10= (10W3一7)m所以加固后堤坝下底增加的宽AF为 2