整合提优 专题4 二次根式的性质与计算-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

13.(1)设A种绳子购买了x根，B种绳子购买了 y根由题意，得+y=20, 解得=5， 所以A种 12x+8y=180, y=15. 绳子购买了5根，B种绳子购买了15根.(2)设A种绳子 裁了a根，C种绳子裁了c根，则12a+6c=240.化简，得 c=40一2a.所以剩余绳子的总长度为200一8a一4c= 200一8a一4(40一2a)=40(米).因为40÷6=6（根）. 4(米)，所以剩余的绳子最多可裁成6根B种绳子.(3)设 A种绳子裁了m根，B种绳子裁了n根，C种绳子裁了 /8m+6n+4t=200 t根.由题意，得 所以2m十n=20.所 {m+n+t=40, 以n=20-2m.由题意，得2≤m<,所以10-m≤m< 20一2m,解得5≤m<碧因为m是整数，所以m=5或 6.当m=5时，n=20-10=10,t=40-5-10=25:当 m=6时，n=20一12=8，t=40-6-8=26.所以A,B,C 三种绳子分别裁了5根、10根、25根或6根、8根、26根. 专题四二次根式的性质与计算 1.A 2.A解析：因为√a+b+5≥0，|2a-b+1|≥0，且 √a+b+5+|2a-b+1|=0,所以√a+b+5=0,|2a a+b+5=0, a=-2, b+1|=0.所以 解得 所以(b一 2a-b+1=0, b=-3. a)2025=(-1)2025=-1. 3.x3 4.10解析：由题意，得3a一6≥0,2-a≥0，所以a= 2.所以b=4.分情况讨论：①当2为腰长时，三条边的长 分别为2,2,4.因为2十2=4，所以不能组成三角形.②当 2为底边长时，三条边的长分别为2,4,4.因为2+4>4， 所以能组成三角形.所以周长为2十4+4=10.综上所述， 此等腰三角形的周长为10. 5.D解析：由数轴，易知m一n<0,2m十n<0,m<0,所 以原式=2m-n-|2m+nl-|m=-2m+2n+2m+ n+m=3n十m. 6.C解析：原式=√(2x-1)7-(1-3x)=|2x-1 1+3x.由√/1-3x有意义，可知1-3x≥0，所以x≤ 所以2x-1≤-号<0所以原式=1-2x-1十 1 3x=x. 易错分析 易忽视题目中的隐含条件 给出算式要求化简，则说明原式一定有意义，这是 题目的隐含条件，在求解时若忽视这一条件，则容易造 成化简失误.本题的解题关键是确定x的取值范围， 7.因为√x2一4x十m=√(x一2)2十m-4,且无论x取 任何实数，代数式√x2一4a十m都有意义，所以m一4≥ 0.所以m≥4.当m≥4时，√(m-3)+√(4-m)7= (m-3)+(m-4)=2m-7. 8.A9.C10.2-√3 11.因为(6+√1Π)2=17+2√66，（√14+√3）=17+ 2√42,17+2/66>17+2/42，所以（√6+11）2> (√4+3)2.又因为√6+√1I>0,√14十3>0，所以 √6+√I>√14十5， 12.(1)原式=2√5+2+5-(4+43+3)=33+2 7-45=-√5-5.(2)原式=9-2+8=7+22. 1a因为原++√/得=5+25+-28-=m+ 7 nB,m,n均为有理数，所以m=0,n=2.所以(m一 +2=(0-）}+2x9+1平 14.原式= x-y x十y L(x+y)-+x+y)x-」÷ x+西+-·y(x+y)2因为 2x x一y1 5+3,y=5-3,所以xy=(5+√3)×(W5-√3)= 2,x-y=(5+√3)-(5-√5)=23.所以原式= 2xy_2X223 x-y233 15.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√10+√2， B=√而-√2，所以R△ABC的面积=AC,BC_ 2 (而+②)（而-2）-10-2=4.(2)在R△ABC 2 2 中，∠C=90°，AC=√10+√2，BC=√0-√2，所以 AB=√AC+BC=√（√10+√2）2+（√10-√2）2= 26.(3)因为Rt△ABC的面积是4，AB=2√6，所以边 AB上的高是4X2=26 263 16.(1)如图，分别过点E,D作EG⊥AB,DH⊥AB,垂 足分别为G,H.所以EG∥DH.因为CD∥AB,所以易得 四边形DEGH是矩形.所以EG=DH=10m,ED= GH=3m,∠DHA=∠EGF=90°.因为∠DAH=45°，所 以∠ADH=45°=∠DAH.所以AH=DH=10m.在 Rt△EFG中，i=1:3=EG:FG,所以FG=√3EG= 10W3m.所以AF=FG+GH-AH=10√3+3-10= (10W3一7)m所以加固后堤坝下底增加的宽AF为 2 105-7)m（(2)加图部分主体的体积=号×(3+ 10W5-7)×10×500=(25000√3-10000)m3.所以完成 这项工程需要土石(25000√3-10000)m. E D i=1:/3 人45°h6 A GH (第16题) 专题五 配方法的应用 1.C 2.5解析：因为x2一6x十q=0,所以x2一6x=一q.所 以x2-6x十9=9-q,即(x一3)2=9-g.由题意，得= 3,9-q=7,即q=2,所以p十q=3+2=5. 3.3或-7解析：因为x*4=46,所以2x(x十4)十4= 46.所以2x2+8x十4=46，即(x十2)2=25.所以x=3或 x=-7. 4.3a2-2√6x=2,则（√3x)2-2X√2X5x+(√2）2= 2十(W2)2.所以(W3x-√2)2=4.直接开平方，得3x一 2=士2，所以x,-6+25,x,-6-2 3 3 5.B解析：因为a+4b-a十6+号-0，所以(a a+)+(46+46+1D=0.即(a-2）》°+(26+1D Q所以a-号=0,23+1=0，所以a=号6=-分所以 a-6=3-(-2)=1 6A解析：因为m+子=一m-2,所以m十 n2=4n-4m一8.所以(m2+4m+4)+(n2-4n+4)= 0.所以(m+2)2+(n-2)2=0.所以m+2=0,n-2=0, 解得m=一2，m=2.所以2-2=一1-1=一2. 7.7解析：因为2a2+b2一4a一6b+11=0,所以2a2 4a+2+b2-6b+9=0.所以2(a一1)2+(b一3)=0.所 以a一1=0，b一3=0，解得a=1,b=3.所以3一1c< 3十1，即2<c<4.因为c是正整数，所以c=3.所以 △ABC的周长=1+3+3=7. 8.因为a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,所以a2-6a+ 9+b2-8b+16+c2-10c+25=0.所以(a-3)2+(b 4)2+(c-5)2=0.所以a=3,b=4,c=5.所以a2+b= 25=c2.所以△ABC是直角三角形. 9.>N解析：因为M=3x2十8，N=2x2+4x,所以 M-N=3.x2+8-(2x2+4x)=x2-4x+8=(x-2)2+ 4.因为(x-2)2≥0，所以(x-2)2+4>0.所以M-N> O.所以C>N. 10.(1)根据题意，得S,=a(a+4)=a2+4a,S2=(a十 2)2=a2+4a+4.因为S,-S2=(a2+4a)-(a2+4a+ 4)=-4<0,所以S1<S2.(2)因为A=2a2-6a+1, B=a2-4a-1,所以A一B=2a2-6a+1一a2+4a+1= a2-2a+2=(a-1)2+1>0.所以A>B. 方法归纳 用作差法比较代数式的大小 我们通常用作差法比较代数式的大小，如比较M 和N的大小：先求M一N,若M一N>0,则M>N;若 M-N<0,则M<N;若M-N=0,则M=N.反之亦 成立.利用配方法比较代数式的大小，通常情况下需要 先作差，然后配成“完全平方式十常数”的形式，利用完 全平方式的非负性比较大小 11.原式=3(x2-2x)+12=3(x2-2x+1)+9=3(x 1)2+9.因为无论x取何值，都有3(x一1)2≥0，即 3(x一1)的最小值为0，此时x=1.所以当x=1时，原多 项式的最小值为9. 12.由题意，得AP=2tcm,CQ=√3tcm,PC=(6- 2)m(0<1<4g)所以s=26-2a51=-5+ 351=-5(-3)=-E(-2)}°+99 4 因为(-)'≥0，所以-(-2)<0所以当1= 号时，S的录大值为5. 专题六四边形中常添的辅助线 1.(1)连结AC交BD于点O.因为四边形ABCD是平行 四边形，所以OA=OC,OB=OD.因为M,N是对角线 BD的三等分点，所以BM=DN.所以OB-BM=OD一 DN,即OM=ON.所以四边形AMCN是平行四边形. (2)因为AD=13,BD=18,M,N是对角线BD的三等分 点，所以DM=12,BM=6.因为AM⊥BD,所以AM= √AD2-DM=5.所以AB=√AM+BM=√61.因 为四边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB=√6I. 2.A解析：如图，过点B作BGLy轴于点G,过点C作 CE⊥x轴于点E,延长GB,EC交于点H,则∠BHC= ∠CEO=90°.所以∠HBC+∠BCH=90°.因为点C的坐 标为（√3,1），所以OE=√3，CE=1.因为四边形ABCO是 正方形，所以BC=CO,∠BCO=90°.所以∠BCH+ ∠OCE=90°.所以∠HBC=∠ECO.在△BCH和△COE 32整合提优 专题四 二次根式的性质与计算 专题解读 二次根式是初中阶段重要的代数式，其核心应用围绕性质展开：既可以运用二次根式的性质 求字母的值或取值范围，也可以借助性质化简二次根式.需要注意的是，有理数、整式中所学的法 则、性质、运算律及公式，在二次根式的运算中仍然适用；二次根式运算与化简的最终结果，必须化 为最简形式.同时，在化简、求值时，需关注题目给出的显性条件及隐含条件，确保结果准确无误 77 类型一 运用二次根式的性质求字母的值 6.*化简√4x2-4x十1-（√1-3x)2的结果为 或取值范围 () A.2 B.-4x+4 1,若代数式x+成 二有意义，则在平面直角坐 C.x D.5x-2 标系中，点(x,y)在 ( 7.无论x取任何实数，代数式√x2一4x+m都 A.第一象限 B.第二象限 有意义，化简式子(m-3)2十√(4-m)2. C.第三象限 D.第四象限 2.若a,b满足a十b+5+|2a-b+1=0,则 (b一a)2025的值为 ( A.-1 B.1 C.52025 D. -52025 类型三二次根式的计算与大小比较 3.[2026宁波模拟]若代数式3，一有意义，则 √/6-2x 8.[2025金华期未]下列运算正确的是() x的取值范围是 A.:⑧-2 B.2√2+√2=34 2 4.分类讨论思想如果a,b分别为等腰三角形的 C.√（-3)2=-3 D.2W3X4√3=8√3 两条边的长，且a,b满足b=4+√3a-6十 3√2一a,那么此等腰三角形的周长为 9计算6×言 -√20-245÷(-5)的结 果为 () A.-5B.5 C.7 D.-7 类型二]根据二次根式的性质化简二次根式 10.[2024宁波海曙段考]化简(2十√3)22s(2 5.数形结合思想已知m,n在数轴上对应点的位 √5)224的结果为 置如图所示，则2√J(m-n)一√(2m十n) 11.比较6+√11与/14+√3的大小. √m的化简结果是 0 n (第5题) A.-3n+3m B.3n-m C.-n十3m D.3n+m 23 期升级训练 数学（浙教版）八年级 12.计算： 类型五」二次根式的实际应用 (1)12+1 -(2+√3)2. 2-√5 15.[2025温州期中]如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=√10+√2，BC=10- 2,求： (1)Rt△ABC的面积. (2)斜边AB的长 (3)边AB上的高. (2)[2026金华义鸟段考](3十√2)(3 2)F×a. (第15题) 16.如图，某防洪指挥部发现某江边一处长 类型四与二次根式有关的求值问题 500m、高10m、背水坡的坡角为45°的防洪 13.若m,n均为有理数，且5+2+√ 大堤坝(CD∥AB)急需加固.经调查论证， 防洪指挥部专家组制定的加固方案是沿背 m十n√3，求(m-n)2十2n的值. 水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3m,加固后背水坡EF的坡比i=1：√3. (1)求加固后堤坝下底增加的宽AF (2)完成这项工程需要土石多少立方米（结 果保留根号)？ E D 1:3 人45° 14先化简再求值：（十y广十 A (第16题) 其中x=√5+√3，y=√5-√5. 24