整合提优 专题7 特殊四边形中的图形变换-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

2整合提优 专题七特殊四边形中的图形变换 专题解读 平移、轴对称（折叠）、旋转是三种常见的图形变换.与特殊四边形相关的图形变换问题，既是 图形变换性质的应用，也是特殊四边形自身性质的综合运用.解决此类问题时，需兼顾图形变换的 性质（平移、轴对称、旋转的特征）与特殊四边形的自身性质，必要时借助勾股定理、三角形全等等 知识，建立线段、角之间的数量关系.解题中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想. 7777 类型一特殊四边形中的平移变换 3.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC= 8cm,连结BD,将矩形ABCD沿BD方向平 1.[2024温州鹿城期未]如图，在矩形ABCD 移，得到矩形A'B'C'D',连结A'A,AC, 中，线段AC,BD相交于点O,AD=3cm, CC',C'A',设BB'=xcm.四边形ACC'A △ABO经过平移后得到△DCE,连结OE, 可能是菱形吗？若可能，求出x的值；若不可 则OE的长为 能，请说明理由 (第1题) 2.如图，将菱形ABCD沿AC方向平移，得到 菱形A'B'C'D',A'D交CD于点E,A'B'交 (第3题) BC于点F.判断四边形A'FCE是否为菱形， 并说明理由 类型二特殊四边形中的轴对称（折叠）变换 B (第2题)》 4.如图，把菱形ABCD沿AH折叠，点B落在 边BC上的点E处.如果∠BAE=40°，那么 ∠EDC的度数为 () A.10°B.15 C.18° D.20 B< H E (第4题) (第5题) 5.[2024杭州上城期中]如图，把一张矩形纸片 ABCD沿CE折叠，点B的对应点为B',连 结BD,与CE相交于点M.若B'E∥BD, ∠ADB=36°，则∠EMD的度数为() A.63°B.117°C.54°D.144 29 期升级训练 数学（浙教版）八年级 6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12,BC= 10.*如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与 5,点E在AB上.将△DAE沿DE所在的直 点D重合，点A落在点P处，折痕为EF. 线折叠，点A落在对角线BD上的点A'处， (1)求证：△PDE≌△CDF 则AE的长为 () (2)若CD=4cm,EF=5cm,求BC的长. A.3 b.3 10 C.3 D. 0 B H E (第10题) (第6题) (第7题) 7.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且 ∠BAD=120°，点E,F分别在边AB,BC 上，将菱形ABCD沿EF折叠，点B正好落 在边AD上的点G处，FG交AC于点H.若 EG⊥AC于点O,则FG的长为 () A.√6 B.2 C.5 D.√2 8.如图，将菱形纸片ABCD折 D 叠，使点C,D的对应点C, 11.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD D都落在直线AB上，折痕为 相交于点O,点E在DO上，DE=2EO,连 D'B C EF.若EF=6,AC'=8,则涂 (第8题) 结AE.将△ADE沿AD翻折，得△ADE', 色部分的面积为 F是AE的中点，连结E'F.若DE=2√2， 9.如图，在□ABCD中，P为边BC上的一点， 求△AFE的面积. 连结AP,DP,将△ABP沿AP翻折得到 △AQP,点Q恰好落在线段DP上.求证： DQ=CP. (第11题) (第9题) 30 2整合提优 12.将矩形纸片ABCD(AD>CD)先沿过点A 14.[2024温州段考]如图，在△ABC中， 的直线折叠，使得点B落在边AD上的点F ∠ACB=90°，D,E分别是边AB,AC的中 处，折痕为AE(如图①)；再沿过点D的直 点，将△ADE绕点E旋转180°得到 线折叠，使得点C落在边DA上的点N处， △CFE.若AC=BC=4,求四边形ADCF 点E落在边AE上的点M处，折痕为DG 的周长。 (如图②).如果第二次折叠后，点M正好在 ∠NDG的平分线DM上，求矩形ABCD D 的长边长与短边长的比值 (第14题) ① ② (第12题) 15.如图，在△ABC中，AC=2BC,D,E分别 是AC,AB的中点.将△ADE绕点E旋转 180°得△BFE.连结BD,CF (1)求证：四边形BCDF是菱形 (2)整体思想若AC=6,BD十FC=7,求四 边形BCDF的面积， 类型三」特殊四边形中的旋转变换 (第15题) 13.如图，正方形OABC的边长为√2，将正方形 OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的 对应点B,的坐标为 (第13题) A.(-√2,0) B.(√2,0) C.(0,√2) D.(0,2) 318.142°解析：连结BD.因为E,F分别是边AB,AD的 中点，所以BD=2EF=8,EF∥BD.所以∠ADB= ∠AFE=52°.因为BC=10,CD=6,所以BD2+CD2= BC2.所以∠BDC=90°.所以∠ADC=∠ADB十 ∠BDC=142°. 9.(1)如图，连结EF,GF,GH,HE.因为E,F分别是线 段AD,DB的中点，所以EFAB,EF=?AB.因为G, H分别是线段BC,AC的中点，所以GH∥AB,GH= AB.所以EF/GH,EF=GH.所以四边形EFGH为 平行四边形.所以线段EG,FH互相平分.(2)当四边形 ABCD满足AB=CD时，EG⊥FH.理由：因为G,F分别 是线段BC,DB的中点，所以GF=2CD.因为AB= CD.所以GF=AB.由I),得EF=AB,所以EF GF.因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形 EFGH是菱形.所以EG⊥FH. G (第9题) 方法归纳 构造三角形的中位线解题 当题目中出现两条或多条线段的中点时，常构造 三角形的中位线解题.若两个中点是三角形两边的中 点，则直接连结这两点得三角形的中位线：若两个中，点 是四边形对边的中点，则往往需要先连结对角线，取对 角线的中点，再分别与原对边的两个中，点连结，得到两 个三角形的中位线.最后运用中位线的性质解题 专题七特殊四边形中的图形变换 1.3cm 2.四边形A'FCE是菱形.理由：因为四边形ABCD是菱 形，所以AD=CD,AD∥BC,AB∥CD.所以∠DAC= ∠DCA.因为菱形ABCD沿AC方向平移，得到菱形 AB'C'D',所以AD∥A'D',DC∥D'C',A'B'=D'C. 所以∠DAC=∠D'A'C,A'E∥BC,CE∥A'B'.所以四边 形A'FCE是平行四边形.因为∠DAC=∠DCA,所以 ∠D'A'C=∠DCA.所以EA'=EC.所以四边形A'FCE 是菱形 3.四边形ACC‘A'可能是菱形.因为四边形ABCD是矩 形，所以∠ABC=90°.在Rt△ABC中，AB=6cm,BC= 8cm,所以由勾股定理，得AC=10cm.因为矩形ABCD 沿BD方向平移，得到矩形A'B'C'D',所以AB∥A'B', AB=A'B',AA'CC,AA'=CC.所以四边形ABBA' 和四边形ACC'A都是平行四边形.所以BB'=AA'.若四 边形ACC'A'是菱形，则AA'=AC=10cm.所以BB'= 10cm.所以x=10. 4.B5.B 6.D解析：因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC= 5,∠A=90°.根据勾股定理，得BD=√5+12=13.由 折叠的性质，得A'D=AD=5,A'E=AE,∠DA'E= ∠A=90°.所以∠EA'B=90°，A'B=BD-A'D=8.设 AE=AE=x,则BE=12-x.在Rt△A'BE中，A'E2+ AB=BE,即2+8=(12-x.所以r=号所以 AE的长为号 7.C解析：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， 所以AB=BC=CD=AD=2,AD∥BC,∠B=∠D= 60°.所以△ACD是等边三角形.所以∠CAD=60°.因为 EG⊥AC,所以∠GOH=90°.由折叠，得∠EGF=∠B= 60°，所以∠OHG=30°.所以∠AGH=180°-∠OHG- ∠CAD=90°.所以FG⊥AD.过点A作AM⊥BC于点 M,则易得AM-FG,BM=MC=号BC=1.在 Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=√AB一BMP= √2-1=5，所以FG=5. 8.10wW2 9.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC, AD=BC.所以∠DAP=∠BPA.由翻折，可知PQ=PB, ∠BPA=∠DPA,所以∠DAP=-∠DPA.所以AD= PD.所以PD=BC.所以PD一PQ=BC一PB,即 DQ=CP. 10.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠ADC= ∠B=∠C=90°，AB=CD.由折叠，得AB=PD,∠A= ∠P=90°，∠B=∠PDF=90°，所以PD=CD,∠P= ∠C=∠PDF=∠ADC=90°.所以∠PDF-∠EDF= ∠ADC-∠EDF,即∠PDE=∠CDF.在△PDE和 ∠P=∠C, △CDF中，PD=CD, 所以△PDE≌△CDF. ∠PDE=∠CDF, (2)如图，过点E作EG⊥BC于点G,则∠EGF=90°.易 得EG=CD=4cm.在Rt△EGF中，由勾股定理，得 FG=√EF2-EG=√52-4=3(cm).易得四边形 ABGE是矩形，所以AE=BG.设CF=xcm.由(1)，知 5 △PDE≌△CDF,所以PE=CF=xcm.由折叠，得 AE=PE,BF=DF,所以PE=AE=BG=xcm.所以 AD=BC=(2x+3)cm,DF=BF=(x+3)cm. Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2=CF2+CD2,所以 (+3》=+所以=名所以5C=2×号+3 (cm. 3 B G (第10题) 方法归纳 解决矩形折叠问题的方法 1.由折叠的性质，知折叠前、后的对应线段相等、 对应角相等。 2.这类问题往往可以通过折叠的性质将对应线段 或对应角转换到同一个直角三角形中，利用勾股定理 来求解。 11.连结EE,交AD于点G.由翻折，可知EE⊥AD, EG=EG.所以∠DGE=90°.因为四边形ABCD是正方 形，所以∠ADE=45°.所以△DGE是等腰直角三角 形.因为DE=22,所以易得EG=DG=2.所以E'G= 2.所以EE=4.因为DE=2EO,所以EO=√2.所以 DO=DE+EO=3√2.因为四边形ABCD是正方形， 所以AO=DO=3W2,AC⊥BD.所以∠AOD=90°.在 Rt△ADO中，由勾股定理，得AD=√AO+DO=6.所 以AG=AD-DG=4.所以△AEE'的面积=号EE· AG=&因为F是AE的中点，所以AF=AE.所以 △AFE'的面积=号×△AEE'的面积=4 12.连结DE.因为沿过点A的直线折叠，使得点B落在 边AD上的点F处，所以易得∠EAD=45°.因为第二次 折叠后，点M正好在∠NDG的平分线上，所以易得点E 在∠CDG的平分线上，即DE平分∠CDG.所以 ∠GDE=∠CDE.因为DG为折痕，所以∠DGE ∠DGA=90°.因为四边形ABCD是矩形，所以∠C= 90°.所以∠DGE=∠C.又因为DE=DE,所以△DGE≌ △DCE.所以DG=DC.因为∠EAD=45°，∠DGA=90°， 所以易得△AGD为等腰直角三角形.由勾股定理，易得 AD=√2DG,所以AD=√2DC,即AD:DC=√2.所以矩 形ABCD的长边长与短边长的比值为√2. 13.D 14.因为将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,所以 AE=CE,DE=EF.所以四边形ADCF是平行四边 形.因为D,E分别是边AB,AC的中点，所以DE是 △ABC的中位线.所以DEBC.因为∠ACB=90°，所以 ∠AED=90°.所以DF⊥AC.所以四边形ADCF是菱 形.所以AD=DC=AF=CF.在Rt△ABC中，AC= BC=4,所以AB=4√2.因为D是边AB的中点，所以 AD=2√2.所以四边形ADCF的周长为2√2×4=8√2. 15.(1)因为D是AC的中点，所以AD=CD,AC= 2CD.因为AC=2BC,所以CD=BC.因为将△ADE绕 点E旋转180°得△BFE,所以BF=AD,∠A= ∠FBE.所以BFCD,BF=CD.所以四边形BCDF是 平行四边形.因为CD=BC,所以□BCDF为菱形.(2)令 BD和CF的交点为O.因为AC=6,所以BC=2AC- 3.设BD=x,CF=y,则x+y=7.由(1)，得四边形 BCDF是菱.形所以CFLBD,OB=号BD=号x,OC- CF=所以0B+Ox=B,即（分）°+ (2x)=9.整理，得x2+y=36.因为x2+y2=(x+ yP-2y,所以7-2y=6所以xy=号所以四边形 BCDF的面积为2y= 113 专题八一次函数与几何图形的综合 1D解析：因为一次函数y=子x十6的图象与x轴。 y轴分别交于点A,B,令y=0,得x=一8，令x=0,得 y=6,所以A(-8,0),B(0,6).因为过点B的直线1平分 △ABO的面积，所以AC=OC.所以C(一4,0).设直线l 对应的函数表达式为y=x十6.把C(一4,0)代入，得 一十6=0，解得k=号.所以直线1对应的函数表达式 3 为y=2x十6. 2.D解析：设直线CD对应的函数表达式为y=kx十 2k+b=0, k=2, b.把C(2,0),D(3,2)代人，得{ k+6=2.解得 b=一4， 所以直线CD对应的函数表达式为y=2x一4.因为 A(-1,0),C(2,0),所以OA=1,OC=2.所以AC=3.因 为BC=5,∠CAB=90°，所以AB=√52-32=4.当y= 6