整合提优 专题6 四边形中常添的辅助线-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9浙教版）

2整合提优 专题六四边形中常添的辅助线 专题解读 在四边形的问题中，添加辅助线的核心目的是转化图形、集中条件，通过构造全等三角形、直 角三角形、平行四边形等常见图形，将复杂的四边形问题转化为易解决的三角形、平行四边形问 题.四边形中添加辅助线的常用方法如下：(1)连结对角线（或平移对角线），分割四边形为两个三 角形；(2)通过连结或延长线段，构造全等三角形，转化边角关系；(3)已有一组平行线或涉及线段 中点时，构造平行四边形，利用其性质解题；(4)过顶点作对边的垂线，构造直角三角形，利用直角 三角形的性质求解；（⑤）涉及线段的中点或平行四边形对角线的交点时，构造三角形的中位线，借 助中位线的性质简化问题. 类型一连结对角线 3.*如图，正方形ABCD的边长为2，点E,F 分别在边AD,CD上.若∠EBF=45°，求 1.[2025温州瑞安期中]如图，在□ABCD中， △EDF的周长， M,N是对角线BD的三等分点， (1)求证：四边形AMCN是平行四边形 (2)若AM⊥BD,AD=13,BD=18,求CD 的长 B (第3题) (第1题) 类型三构造平行四边形 4.如图，在等边三角形ABC中，P为边AB上 的一点，Q为边AC上的一点，且AP=CQ, M是线段PQ的中点，连结AM,CP.若 AM=19cm,求CP的长. 类型二」构造全等三角形 2.如图，在平面直角坐标系中，四 边形ABCO是正方形.已知点 C的坐标为(3,1)，则点B的 (第4题) 坐标为 () (第2题) A.(3-1,3+1)B.(3-1,1) C.(1,w3+1) D.(3-1,2) 27 毫期升级训练 数学（浙教版）八年级 类型四构造直角三角形 类型五」构造中位线 5.如图，P为矩形ABCD内一点，且PA=4, 7.如图，在△ABC中，延长BC至点D,使得 PB=1,PC=5,求PD的长. D CD=BC,过AC的中点E,作EFCD(点 F在点E的右侧)，且EF=BC,连结DF.若 AB=4,则DF的长为 A.3 B.2 C.2√2D.√5 (第5题) (第7题) (第8题)》 8.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是边 AB,AD的中点，BC=10,CD=6,EF=4, ∠AFE=52°，则∠ADC的度数为 9.*如图，BD,AC是四边形ABCD的对角线， 6.已知四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD E,F,G,H分别是线段AD,DB,BC,AC的 交于点O. 中点 (1)如图①，若AC=8,BD=6,DM⊥AB于 (1)求证：线段EG,FH互相平分 点M,求DM的长 (2)当四边形ABCD满足什么条件时，EG⊥ (2)如图②，F是AC上一点，连结BF,过点 FH?请说明理由. F作GF⊥BF,过点D作DE⊥GF于点E. 若DE=4,EF=3,求BD的长， G (第9题) ① ② (第6题) 28105-7)m（(2)加图部分主体的体积=号×(3+ 10W5-7)×10×500=(25000√3-10000)m3.所以完成 这项工程需要土石(25000√3-10000)m. E D i=1:/3 人45°h6 A GH (第16题) 专题五 配方法的应用 1.C 2.5解析：因为x2一6x十q=0,所以x2一6x=一q.所 以x2-6x十9=9-q,即(x一3)2=9-g.由题意，得= 3,9-q=7,即q=2,所以p十q=3+2=5. 3.3或-7解析：因为x*4=46,所以2x(x十4)十4= 46.所以2x2+8x十4=46，即(x十2)2=25.所以x=3或 x=-7. 4.3a2-2√6x=2,则（√3x)2-2X√2X5x+(√2）2= 2十(W2)2.所以(W3x-√2)2=4.直接开平方，得3x一 2=士2，所以x,-6+25,x,-6-2 3 3 5.B解析：因为a+4b-a十6+号-0，所以(a a+)+(46+46+1D=0.即(a-2）》°+(26+1D Q所以a-号=0,23+1=0，所以a=号6=-分所以 a-6=3-(-2)=1 6A解析：因为m+子=一m-2,所以m十 n2=4n-4m一8.所以(m2+4m+4)+(n2-4n+4)= 0.所以(m+2)2+(n-2)2=0.所以m+2=0,n-2=0, 解得m=一2，m=2.所以2-2=一1-1=一2. 7.7解析：因为2a2+b2一4a一6b+11=0,所以2a2 4a+2+b2-6b+9=0.所以2(a一1)2+(b一3)=0.所 以a一1=0，b一3=0，解得a=1,b=3.所以3一1c< 3十1，即2<c<4.因为c是正整数，所以c=3.所以 △ABC的周长=1+3+3=7. 8.因为a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,所以a2-6a+ 9+b2-8b+16+c2-10c+25=0.所以(a-3)2+(b 4)2+(c-5)2=0.所以a=3,b=4,c=5.所以a2+b= 25=c2.所以△ABC是直角三角形. 9.>N解析：因为M=3x2十8，N=2x2+4x,所以 M-N=3.x2+8-(2x2+4x)=x2-4x+8=(x-2)2+ 4.因为(x-2)2≥0，所以(x-2)2+4>0.所以M-N> O.所以C>N. 10.(1)根据题意，得S,=a(a+4)=a2+4a,S2=(a十 2)2=a2+4a+4.因为S,-S2=(a2+4a)-(a2+4a+ 4)=-4<0,所以S1<S2.(2)因为A=2a2-6a+1, B=a2-4a-1,所以A一B=2a2-6a+1一a2+4a+1= a2-2a+2=(a-1)2+1>0.所以A>B. 方法归纳 用作差法比较代数式的大小 我们通常用作差法比较代数式的大小，如比较M 和N的大小：先求M一N,若M一N>0,则M>N;若 M-N<0,则M<N;若M-N=0,则M=N.反之亦 成立.利用配方法比较代数式的大小，通常情况下需要 先作差，然后配成“完全平方式十常数”的形式，利用完 全平方式的非负性比较大小 11.原式=3(x2-2x)+12=3(x2-2x+1)+9=3(x 1)2+9.因为无论x取何值，都有3(x一1)2≥0，即 3(x一1)的最小值为0，此时x=1.所以当x=1时，原多 项式的最小值为9. 12.由题意，得AP=2tcm,CQ=√3tcm,PC=(6- 2)m(0<1<4g)所以s=26-2a51=-5+ 351=-5(-3)=-E(-2)}°+99 4 因为(-)'≥0，所以-(-2)<0所以当1= 号时，S的录大值为5. 专题六四边形中常添的辅助线 1.(1)连结AC交BD于点O.因为四边形ABCD是平行 四边形，所以OA=OC,OB=OD.因为M,N是对角线 BD的三等分点，所以BM=DN.所以OB-BM=OD一 DN,即OM=ON.所以四边形AMCN是平行四边形. (2)因为AD=13,BD=18,M,N是对角线BD的三等分 点，所以DM=12,BM=6.因为AM⊥BD,所以AM= √AD2-DM=5.所以AB=√AM+BM=√61.因 为四边形ABCD是平行四边形，所以CD=AB=√6I. 2.A解析：如图，过点B作BGLy轴于点G,过点C作 CE⊥x轴于点E,延长GB,EC交于点H,则∠BHC= ∠CEO=90°.所以∠HBC+∠BCH=90°.因为点C的坐 标为（√3,1），所以OE=√3，CE=1.因为四边形ABCO是 正方形，所以BC=CO,∠BCO=90°.所以∠BCH+ ∠OCE=90°.所以∠HBC=∠ECO.在△BCH和△COE 3 ∠BHC=∠CEO, 中，∠HBC=∠ECO,所以△BCH≌△COE.所以 BC=CO, BH=CE=1,CH=OE=√3.所以BG=√3-1，HE= √+1.所以点B的坐标为(W一1，√3+1). (第2题) 3.如图，延长DC至点G,使CG=AE,连结BG.因为四 边形ABCD为正方形，所以AB=CB,∠A=∠BCD= ∠ABC=90°.所以∠BCG=90°.所以∠A=∠BCG.在 (AB=CB. △ABE和△CBG中，∠A=∠BCG,所以△ABE≌ AE-CG, △CBG.所以BE=BG,∠EBA=∠GBC.所以∠EBA十 ∠EBC=∠GBC+∠EBC,即∠ABC=∠EBG. 因为∠ABC=90°，所以∠EBG=90°.因为∠EBF=45°， 所以∠GBF=∠EBG一∠EBF=45°.所以∠GBF= BF=BF, ∠EBF.在△FBG和△FBE中，∠GBF=∠EBF,所以 BG=BE, △FBG≌△FBE.所以FG=FE.又因为FG=CF+ CG=CF+AE,所以EF=CF+AE.所以△EDF的周长 为DF+DE十EF=DF+DE+CF+AE=CD+AD= 2+2=4. --iG (第3题) 方法归纳 正方形中添加辅助线的方法 在正方形中，当出现以正方形的一边为直角边的 直角三角形时，我们经常通过延长该直角边作辅助线， 目的是通过证明三角形全等得到需要的边角关系 4.如图，作PN∥AC交BC于点N,连结NQ,连结AN 交PQ于点M'.因为△ABC是等边三角形，所以∠B= ∠ACB=60°，AB=AC=CB,所以∠PNB=∠ACB= 60°.所以△PBN是等边三角形.所以PB=PN.因为 AB=AC,AP=CQ,所以PB=AQ=PN.所以四边形 APNQ是平行四边形.所以PM'=QM'.所以，点M与点 M'重合，AM=MN=19cm.所以AN=38cm.在△ABN BN=BP. 和△CBP中，∠B=∠B,所以△ABN≌△CBP.所以 AB=CB, AN=CP=38 cm /MM N C (第4题) 5.过点P作PE⊥AD于点E,延长EP交BC于点F.因 为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠ADC= ∠BCD=∠ABC=90°.又因为PE⊥AD,所以∠AEF= ∠DEF=9O°.所以四边形ABFE和四边形EFCD都是矩 形.所以AE=BF,DE=FC.因为AE2十PE=PA2, PE2+DE2=PD2,BF2+PF2=PB2,FC2+PF2= PC2,所以PA+PC2=AE2+PE2+PF+FC2= BF2+PE2+PF2+DE=PB2+PD.所以4+5= 12+PD.所以PD=210. 6.(1)因为四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, 所以OA=OC=4,OD=OB=3,AC⊥BD.所以 ∠AOB=90°.所以AB=√32+4=5.因为S整无An 号AC,BD-AB,DM,所以号×8X6-DM所以 DM-4()②过点B作LDE,交DE的延长线于点 H,连结DF,则易得四边形EFBH是矩形.所以EH一 BF,BH=EF=3.在Rt△EDF中，DF= √DE+EF=5.由菱形的对称性，可知BF=DF=5, 所以EH=BF=5.所以DH=DE+EH=4+5=9.在 Rt△BDH中，BD=√DI+BI=3√IO. 7.B解析：如图，取AB的中点H,连结EH.所以 BH=专AB=号X4=2因为E为AC的中点，所以 EH/BC,EH=BC因为EFCD,所以点H,E,F在 同-条直线上.所以FH/BD.因为CD=2BC,EF= ,EH-号BC,所以FH=BD,所以四边形BHFD是 平行四边形.所以DF=BH=2. D (第7题) 4 8.142°解析：连结BD.因为E,F分别是边AB,AD的 中点，所以BD=2EF=8,EF∥BD.所以∠ADB= ∠AFE=52°.因为BC=10,CD=6,所以BD2+CD2= BC2.所以∠BDC=90°.所以∠ADC=∠ADB十 ∠BDC=142°. 9.(1)如图，连结EF,GF,GH,HE.因为E,F分别是线 段AD,DB的中点，所以EFAB,EF=?AB.因为G, H分别是线段BC,AC的中点，所以GH∥AB,GH= AB.所以EF/GH,EF=GH.所以四边形EFGH为 平行四边形.所以线段EG,FH互相平分.(2)当四边形 ABCD满足AB=CD时，EG⊥FH.理由：因为G,F分别 是线段BC,DB的中点，所以GF=2CD.因为AB= CD.所以GF=AB.由I),得EF=AB,所以EF GF.因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形 EFGH是菱形.所以EG⊥FH. G (第9题) 方法归纳 构造三角形的中位线解题 当题目中出现两条或多条线段的中点时，常构造 三角形的中位线解题.若两个中点是三角形两边的中 点，则直接连结这两点得三角形的中位线：若两个中，点 是四边形对边的中点，则往往需要先连结对角线，取对 角线的中点，再分别与原对边的两个中，点连结，得到两 个三角形的中位线.最后运用中位线的性质解题 专题七特殊四边形中的图形变换 1.3cm 2.四边形A'FCE是菱形.理由：因为四边形ABCD是菱 形，所以AD=CD,AD∥BC,AB∥CD.所以∠DAC= ∠DCA.因为菱形ABCD沿AC方向平移，得到菱形 AB'C'D',所以AD∥A'D',DC∥D'C',A'B'=D'C. 所以∠DAC=∠D'A'C,A'E∥BC,CE∥A'B'.所以四边 形A'FCE是平行四边形.因为∠DAC=∠DCA,所以 ∠D'A'C=∠DCA.所以EA'=EC.所以四边形A'FCE 是菱形 3.四边形ACC‘A'可能是菱形.因为四边形ABCD是矩 形，所以∠ABC=90°.在Rt△ABC中，AB=6cm,BC= 8cm,所以由勾股定理，得AC=10cm.因为矩形ABCD 沿BD方向平移，得到矩形A'B'C'D',所以AB∥A'B', AB=A'B',AA'CC,AA'=CC.所以四边形ABBA' 和四边形ACC'A都是平行四边形.所以BB'=AA'.若四 边形ACC'A'是菱形，则AA'=AC=10cm.所以BB'= 10cm.所以x=10. 4.B5.B 6.D解析：因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC= 5,∠A=90°.根据勾股定理，得BD=√5+12=13.由 折叠的性质，得A'D=AD=5,A'E=AE,∠DA'E= ∠A=90°.所以∠EA'B=90°，A'B=BD-A'D=8.设 AE=AE=x,则BE=12-x.在Rt△A'BE中，A'E2+ AB=BE,即2+8=(12-x.所以r=号所以 AE的长为号 7.C解析：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， 所以AB=BC=CD=AD=2,AD∥BC,∠B=∠D= 60°.所以△ACD是等边三角形.所以∠CAD=60°.因为 EG⊥AC,所以∠GOH=90°.由折叠，得∠EGF=∠B= 60°，所以∠OHG=30°.所以∠AGH=180°-∠OHG- ∠CAD=90°.所以FG⊥AD.过点A作AM⊥BC于点 M,则易得AM-FG,BM=MC=号BC=1.在 Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=√AB一BMP= √2-1=5，所以FG=5. 8.10wW2 9.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC, AD=BC.所以∠DAP=∠BPA.由翻折，可知PQ=PB, ∠BPA=∠DPA,所以∠DAP=-∠DPA.所以AD= PD.所以PD=BC.所以PD一PQ=BC一PB,即 DQ=CP. 10.(1)因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠ADC= ∠B=∠C=90°，AB=CD.由折叠，得AB=PD,∠A= ∠P=90°，∠B=∠PDF=90°，所以PD=CD,∠P= ∠C=∠PDF=∠ADC=90°.所以∠PDF-∠EDF= ∠ADC-∠EDF,即∠PDE=∠CDF.在△PDE和 ∠P=∠C, △CDF中，PD=CD, 所以△PDE≌△CDF. ∠PDE=∠CDF, (2)如图，过点E作EG⊥BC于点G,则∠EGF=90°.易 得EG=CD=4cm.在Rt△EGF中，由勾股定理，得 FG=√EF2-EG=√52-4=3(cm).易得四边形 ABGE是矩形，所以AE=BG.设CF=xcm.由(1)，知 5